【福建】高考数学复习方略：第6章《不等式、推理与证明》第5节《合情推理和演绎推理》.ppt

第五节 合情推理和演绎推理,1.合情推理,特殊,事例,一般结论,相似之处,有相似之处,【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“”或“”) (ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn; ( ) loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则有sin(+)=sinsin; ( ) (a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2. ( ) (2)已知数列 是第_项.,(3)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_. 【解析】(1)错.(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2; 错.sin(+)=sincos+cossinsinsin; 对.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2满足向量数量积的运算.,(2)由题可知该数列的第n项 得 2n-1=45，n=23. (3)两个正四面体的棱长的比为12，则其高之比为12， 底面积之比为14，故其体积的比为18. 答案：(1) (2)23 (3)18,2.演绎推理,大前提,小前提,一般,特殊,M是P,S是M,S是P,【即时应用】 (1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以 整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假(填 “真”，“假”) 使用了归纳 ( ) 使用了类比 ( ) 使用了演绎推理 ( ) 使用了“三段论”但推理形式错误 ( ) 使用了“三段论”但小前提错误 ( ),(2)判断下列推理过程是否是演绎推理(请在括号中填“是”或 “否”) 两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直 线的同旁内角，则A+B=180 ( ) 某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此 得高三所有班级人数超过50人 ( ) 由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 ( ) 在数列an中，a1=1,an= (an-1+ )(n2,nN*)，由此归 纳出an的通项公式 ( ),【解析】(1)假：不满足归纳的定义； 假：不满足类比的定义； 真：满足演绎推理的定义； 真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式. 假，使用了“三段论”但小前提是正确的.,(2)是，使用了“三段论”. 不是，使用了归纳不是演绎推理. 不是，使用了类比. 不是,使用了归纳. 答案：(1)假 假 真 真 假 (2)是 否 否 否,热点考向 1 归纳 【方法点睛】 归纳的特点 (1)归纳是由部分到整体、由特殊到一般的推理. (2)由归纳所得的结论不一定正确，通常归纳的个数越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.,【例1】(1)已知：f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)= fn-1(fn-1(x)(n1且nN*),则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_. 1=1 (2)观察式子： 3+5=8 你可以猜出的一个一般性结论是_. 7+9+11=27 (3)设f(x)= ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.,【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x). (2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论. (3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1, 可得x+(1-x)=1.,【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)= 得 f2(x)=f1(f1(x)= f3(x)=f2(f2(x)= f4(x)=f3(f3(x)= 故猜想fn(x)= 答案：,(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29= 125=53，所以第n个等式的第一个数应为第1+2+(n-1) +1个奇数，即为 共有n个奇数，即第n个等式应为 n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+n(n-1)+ 2n-1=n3. 即(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3. 答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3,(3)f(0)+f(1)= = = 同理可得：f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= . 由此猜想f(x)+f(1-x)= . 证明：,【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+ f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值. 【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得 f(-2 012)+f(2 013)= , f(-2 011)+f(2 012)= , 故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)= 2 013 =671,【反思感悟】本例实质是由前几项，归纳猜想一般性结论的 题目，其解题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递 推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x 的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式 的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第1+2+(n- 1)+1个奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是 0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的 联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x， 即f(-x)+f(1+x)= 也成立.,热点考向 2 类比 【方法点睛】 类比的特点 (1)类比是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法. (2)比的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：,【例2】(1)(2013厦门模拟)设ABC的三边长分别为 a,b,c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则 类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R .,(2)(2013漳州模拟)如图，椭圆的 中心在坐标原点，F为左焦点，A，B 分别为长轴和短轴上的一个顶点， 当FBAB时，此类椭圆称为“黄金 椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ,【解题指南】(1)“三角形”与“四面体”类比，“面积”与“体积”类比，“内切圆”与“内切球”类比，“面积分割法”与“体积分割法”类比，即可得到结论. (2)由“椭圆”到“双曲线”进行类比.,【规范解答】(1)设四面体ABCD的内切球球心为O， 连接OA,OB,OC,OD， 则VVO-ABCVO-BCDVO-CDAVO-ABD S1R S2R S3R S4R R(S1S2S3S4)， 所以 答案：,(2)由题意知,(a+c)2=(b2+c2)+c2，整理得c2-ac-a2=0,即 e2-e-1=0,解得 答案：,【变式训练】请用类比完成下表：,【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象； 三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 由以上分析可知：,故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略) 答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一,【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件：_ 充要条件：_ 【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等. 答案:三组对面分别平行 两组对面分别平行且全等(答案不唯一),热点考向 3 演绎推理 【方法点睛】 演绎推理的特点 演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论， 它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.其推理的依据用集 合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M 的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个,判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论. 【提醒】应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，有时可省略.,【例3】证明：函数f(x)=-x2+2x在1,+)上是减函数. 【解题指南】证明函数的增减性，其大前提是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得. 【规范解答】任取x1,x21,+)，且x11,x1+x22, f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)0, 函数f(x)=-x2+2x在1,+)上是减函数.,【反思感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.,【变式训练】已知函数y=f(x)，满足： 对任意a,bR,ab，都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数. (2)若x,y为正实数且 比较f(x+y)与f(6)的大小.,【解析】(1)设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)， x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0， f(x2)-f(x1)(x2-x1)0， x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)为R上的单调增函数.,(2)因为x,y为正实数,且 所以 当且仅当 即 时取等号， 因为f(x)在R上是增函数，x+y 6， 所以f(x+y)f(6).,1.(2012龙岩模拟)把正整数1，2，3，4，5，6按某种规律填入下表. 按照这种规律连续填写，2 011出现在第_行第_列.,【解析】依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列.注意到2 011=4502+3，因此2 011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第三行；2 011所填的位置应是第5023+2= 1 508列，即2 011出现在第3行第1 508列. 答案：3 1 508,2.(2012陕西高考)观察下列不等式 照此规律，第五个不等式为 .,【解析】左边的式子的通项是 右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为 答案：,3.(2012厦门模拟)“点动成线，线动成面，面动成体”.如图，x轴上有一条单位长度的线段AB，沿着与其垂直的y轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体(正方形ABCD)，再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体(正方体ABCD-A1B1C1D1).请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m，n，p的值分别为_.,【解析】依题意，线段AB平移到CD位置后，可形成正方形ABCD，它有4个顶点、4条边、1个面；正方形ABCD平移到正方形A1B1C1D1位置后,可形成正方体ABCD-A1B1C1D1，它有8个顶点、12条棱、6个面；把正方体ABCD-A1B1C1D1沿着与x轴、y轴、z轴都垂直的第四维方向进行平移得到四维方体后，原来的8个顶点,在平移后形成新的8个顶点，所以四维方体就共有8+8=16个顶点；原先的8个顶点在平移的过程又形成新的8条棱，所以四维方体就共有12+12+8=32条棱；正方体的12条棱在平移的过程都会形成一个新的面，四维方体就共有6+6+12=24个面. 答案：16，32，24,4.(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: sin213+cos217-sin13cos17; sin215+cos215-sin15cos15; sin218+cos212-sin18cos12; sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48; sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.,【解析】方法一: (1)选择式,计算如下: sin215+cos215-sin15cos15=1- sin30=,(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)= 证明如下: sin2+cos2(30-)-sincos(30-) =sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin) 方法二: (1)同方法一.,(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)= 证明如下: sin2+cos2(30-)-sincos(30-) = -sin(cos30cos+sin30sin) = - cos2+ + (cos60cos2+sin60sin2)- sincos- sin2,