【福建】高考数学复习方略：第8章《平面解析几何》第7节《抛物线》.ppt

第七节 抛物线,1.抛物线的定义 (1)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 在平面内； 动点到定点F距离与到定直线l的距离_； 定点_定直线上. (2)焦点：_. (3)准线：_.,相等,不在,定点F,定直线l,【即时应用】 (1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的 轨迹是什么？ 提示:若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l 垂直的一条直线.,(2)若动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为_. 【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(2，0)为焦 点，x=-2为准线的抛物线，其方程为：y2=8x. 答案:y2=8x,2.抛物线的标准方程和几何性质,x轴,x轴,x0,x0,O(0,0),e=1,y轴,y轴,y0,y0,O(0,0),e=1,【即时应用】 (1)思考:抛物线y2=2px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的 距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py (p0)，结果如何? 提示:由抛物线的定义得：|MF|=x0+ ；若抛物线方程为 x2=2py(p0)，则|MF|=y0+ .,(2)抛物线4y=-x2的焦点坐标为_. 【解析】抛物线4y=-x2的标准方程为x2=-4y，所以2p=4，再由 抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为 (0,-1) . 答案: (0，-1),(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的 抛物线方程是_. 【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以 =6， 又因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为： y2=24x. 答案: y2=24x,热点考向 1 抛物线的定义及其应用 【方法点睛】 利用抛物线的定义解决的问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线； (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用. 【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.,【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小 1，则点P的轨迹为_. (2)(2012厦门模拟)设P是抛物线y2=4x上的一动点， 求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值； 若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|+|PF|的最小值.,【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等，即轨迹为抛物线； (2)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.,【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的 距离小1，所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相 等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故轨迹为抛物线. 答案:抛物线 (2)由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则 |AP|+|PF|AF|= ，从而知点P到A(-1,1)的距离与 点P到F(1,0)的距离之和的最小值为 ，所以点P到A(-1,1)的 距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为 .,如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的 准线于点Q，交抛物线于点P1，此时 P1Q|=|P1F|，那么PB|+|PF| |P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即最小值为4.,【互动探究】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，结果如何？ (2)本例(2)中“B(3,2)”改为“ B(1,5)”，结果如何？ 【解析】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，则说明动点P到定点M(-2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等，且点M在定直线上，所以点P的轨迹为一条直线；,(2)因为点B的坐标为(1,5)，且抛物线方程为y2=4x，所以该点在抛物线外，要求使|PB|+|PF|最小的点P，只需BF连线与抛物线相交，其交点即为所求P点，此时，最小值即|BF|的长,|BF|=5.,【反思感悟】本题(1)是利用到定点的距离与到定直线的距离相等，即用抛物线的定义来求解，在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果. 2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.,【变式备选】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相 切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】方法一：设动圆半径为r,动圆圆心坐标为O(x,y),因 动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,则O到(2,0)的距离为r+1,动圆与直 线x+1=0相切，O到直线x+1=0的距离为r. 所以O到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等, 故O的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线，其 方程为y2=8x.,方法二：设动圆圆心坐标为O(x,y)，动圆半径为r, 据题意有 化简得y2=8x,即动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.,热点考向 2 抛物线的标准方程与性质 【方法点睛】 求抛物线的标准方程的方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量. 抛物线的标准方程及其性质的应用 由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等.,【提醒】抛物线方程中的参数p0，其几何意义是焦点到准线的距离.,【例2】设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+) 【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M纵坐标的取值范围.,【规范解答】选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物 线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416， 即有 ，解得y02或y02.,【反思感悟】1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距离. 2.当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视.,【变式训练】已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为( ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程 ，圆x2+y2- 6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得： 3+ =4，所以p=2.,【变式备选】(2011湖北高考)将两个顶点在抛物线y2=2px(p0) 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 ( ) (A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n3,【解析】选C. 根据抛物线的对称性， 正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数n=2.,热点考向 3 直线与抛物线的位置关系 【方法点睛】 1.直线与抛物线的位置关系的判定 设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0. (1)若m0 ，当0时，直线与抛物线有两个公共点. 当=0时，直线与抛物线只有一个公共点. 当<0时，直线与抛物线没有公共点.,(2)若m=0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行(或重合). 2.直线与抛物线相交的几个结论 已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两 点，设A(x1，y1)、B(x2，y2) ，则有以下结论： (1)|AB|=x1+x2+p或|AB|= (为AB所在直线的倾斜角)；,(2)x1x2= ； (3)y1y2=-p2； (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物 线的通径长为2p.,【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.,【例3】(2012漳州模拟)已知抛物线C：y2=2px(p0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l ，使得直线l与抛 物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于 ？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.,【解题指南】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方 程；第二步依题意假设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛 物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线 l的距离等于 列出方程，求解出t的值.,【规范解答】(1)将(1,-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1， p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由 得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以 =4+8t0，解得t .另一方面，由直线OA与直线l的距离 等于 可得 ，t=1，由于-1 ,+)， 1 ,+)，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.,【反思感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数法求解； 2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是利用两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.,【变式训练】已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为 m、n(mn)的两段，那么( ) (A)m+n=mn (B)m-n=mn (C)m2+n2=mn (D)m2-n2=mn 【解析】选A.由题意设直线AB的方程为y=k(x-1), 由 ，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1, mn=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=x1+x2+2=m+n.,1.(2013厦门模拟)已知抛物线C:y=4x2，若存在定点A与定直 线l,使得抛物线C上任一点P，都有点P到点A的距离与点P到l的 距离相等，则定点A到定直线l的距离为( ) (A) (B) (C)2 (D)4 【解析】选A.由题意知定点A即为焦点 定直线l即为 准线 于是定点A到定直线l的距离为 .,2.(2012福建高考)已知双曲线 的右焦点与抛物 线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于( ) (A) (B) (C)3 (D)5 【解析】选A.y2=12x的焦点(3,0)，由题，4+b2=9，b2=5，双 曲线的焦点到其渐近线的距离为,3.(2012泉州模拟)已知抛物线方程C：y2=2px(p0),点F为其 焦点，点N(3，1)在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意 一点， 的最小值为4. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点 P，且 ,试判断1+2是否为定值？若是定值， 求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.,【解析】(1)准线方程为l: ,点M到l的距离设为d， 由抛物线定义， 所以p=2， 所以y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，F(1,0)， 设l：y=k(x-1),则P(0,-k),由 ，知(1，k)=1(x1-1,y1)=2(x2-1,y2)， k=1y1=2y2, k0, 将y=k(x-1)代入y2=4x， 得y2- y-4=0,y1+y2= ,y1y2=-4, 1+2=k( )=-1，为定值.,