【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第1节《函数及其表示》.ppt

第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示,1.函数与映射的概念,数集,集合,任意,数x,唯一确定,f(x),任意,元素x,唯一确定,元,素y,【即时应用】 (1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”) A=R，B=x|x0,f:x|x| ( ) A=R，B=R，f:xx2 ( ) A=Z,B=R，f:x ( ) A=Z，B=Z，f:xx2-3 ( ),(2)设A=0,1,2,4，B= ,0,1,2,6,8，判断下列对应关系是 否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”) f:xx3-1( ) f:x(x-1)2( ) f:x2x-1( ) f:x2x( ),【解析】(1)否，因为A中的元素0在B中没有对应元素; 否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素; 是，满足函数的定义，是从A到B的函数. (2)是，满足映射的定义，是从A到B的映射； 否，当A中的x=0,2,4时在B中没有象； 否，当A中的x=4时在B中没有象； 否，当A中的x=2时在B中没有象. 答案：(1)否 是 否 是 (2)否 否 是 否,2.函数的构成要素 函数由_、_、_三个要素构成，对函数y=f(x),xA，其中， (1)定义域是:_. (2)值域是：_.,定义域,值域,对应关系,自变量x的取值范围A,函数值的集合f(x)|xA,【即时应用】 (1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”) f(x)=x与g(x)=( )2 ( ) f(x)=|x|与g(x)= ( ) f(x)=x|x|与g(x)= ( ) f(x)= 与g(t)=t+1(t1) ( ),(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_. (3)设集合A=x|y= ,集合B=y|y=x2,xR,则AB=_.,【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； 否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同； 否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； 是，函数f(x)= (x1)与g(t)=t+1(t1)是 同一函数.,(2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3. (3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0, AB=x|x2. 答案:(1)否 否 否 是 (2)-1,0,3 (3)x|x2,3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有：_，_和_.,解析法,列表法,图象法,【即时应用】 (1)判断下列四个图象是否是函数f(x)= 的图象. (请在括号中填“是”或“否”),(2)如图所表示的函数的解析式为_. (3)若f( +1)=x+2 ，则f(x)的解析式为_.,【解析】(1)f(x)= ，是否否否. (2)由题中图可知：图象分为两段，每一段都是线段， 当0 x1时，y= x； 当1x2时，y=- x+3； 综上可知： .,(3)方法一：令t= +1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, f(x)=x2-1(x1). 方法二：x+2 =( +1)2-1, f( +1)=( +1)2-1. 又 +11, f(x)=x2-1(x1).,答案：(1)是 否 否 否 (2)y= (3)f(x)=x2-1(x1),4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.,对应关系,【即时应用】 (1)已知函数f(x)= ，则f(f( )=_. (2)设f(x)= ,若f(x)=3，则x=_.,【解析】(1)f( )=- +3= , f(f( )=f( )= +1= . (2)当x-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求； 当-1x2时，x2=3，得x= ，只有 符合要求； 当x2时，2x=3,得x= ,不符合要求. 综上可知，x=-1或 . 答案：(1) (2)-1或,热点考向 1 求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】 1.求简单函数的定义域的方法 (1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题：由实际意义及使相应解析式有意义的不等式(组)求解.,(3)求抽象函数的定义域： 若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出. 若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域. 2.求简单函数值域的方法 根据简单函数解析式的特点，分别选用：(1)直接观察法； (2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)基本不等式法；(6)换元法.,【例1】(1)(2012江苏高考)函数 的定义域 为_ (2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，则f(x)的定义域是_. (3)求下列函数的值域. y=x2+2x,x0,3, y=log3x+logx3-1, y= , (2013厦门模拟)y=,【规范解答】(1)要使f(x)有意义，则必须满足 即 故定义域是 答案:,(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1, 2x2，故f(x)的定义域为 ,2. 答案： ,2,(3)y=(x+1)2-1，在0,3上的图象如图所示， 由图象知：0y32+23=15, 所以y0,15.,y= ，定义域为(0,1)(1,+)， 当0 x1时，y =-3, 当x1时，y =1, 综上可知，y(-,-31,+).,因为x2-1-1，又y=2x在R上为增函数, y= 2-1= . 故值域为 ,+) 当x0时，y=x2+11； 当x0时,y=-x20,y(-,0(1,+).,【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(log2x)的定义域. 【解析】由本例()中知f(x)的定义域为 ,2, 函数y=f(log2x)中， log2x2, 即： log2xlog24, x4, 故函数f(log2x)的定义域为 ,4.,【变式备选】若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值 范围为_. 【解析】因为函数f(x)的定义域为R，即 0, 对xR恒成立，亦即x2+2ax-a0恒成立, 需=(2a)2-4(-a)=4a2+4a0即可, 解得:-1a0. 答案：a|-1a0,热点考向 2 分段函数及其应用 【方法点睛】 分段函数求值，解不等式及求解析式的方法 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的求值，解不等式及求解析式等相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，从而选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍. 【提醒】分段函数由几个部分组成，但它表示的是一个函数.,【例2】(1)已知函数f(x)= ， 则f(x)-f(-x)-1的解集为( ) (A)(-,-1)(1,+) (B)-1,- )(0,1 (C)(-,0)(1,+) (D)-1,- (0,1),(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.,【解题指南】(1)求解分段函数有关的不等式，一般的思路是根据每一段的解析式分类求解，再求其并集. (2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法.,【规范解答】(1)选B.当-1x0时，0-x1，此时 f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1, f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1， 得x- ，则-1x- . 当0 x1时，-1-x0，此时，f(x)=-x+1， f(-x)=-(-x)-1=x-1, f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1, 解得x ，则0 x1. 故所求不等式的解集为-1,- )(0,1.,(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x1). 点(1,1),(0,2)在射线上, , 解得 . 左侧射线对应函数的解析式为 y=-x+2(x1); 同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3).,再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2(1x3,a0)， 点(1,1)在抛物线上， a+2=1,a=-1, 1x3时，函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1x3), 综上，函数的解析式为y= .,【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值域. 【解析】方法一：由函数y=f(x)的图象可得其值域为y1，所以 函数y=f(x)的值域为y|y1. 方法二：由函数y=f(x)的解析式可知,当x1时，y(1,+),当 1x3时，y1,2;当x3时，y(1,+), 所求函数的值域为1,+).,【反思感悟】分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应关系也不同的函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决.,【变式备选】 1.设函数f(x)= ，若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选B.由已知得 ,解得 , f(x)= , 当x0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x， 得x=-2或x=1,又x0，故x=1舍去, 当x0时，由f(x)=x得x=2, 所以方程f(x)=x有两个解.,2.甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数解析式.,【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时. 当货车从甲地前往乙地时, 由题意，可知y=50 x(0 x3); 当货车卸货时,y=150(3x4)； 当货车从乙地返回甲地时, 由题意，知y=150-60(x-4)(4x6.5). 所以y= .,热点考向 3 求函数值 【方法点睛】 求函数值的类型及解法 (1)求f(g(x)类型的函数值时，遵循先内后外的原则； (2)对于分段函数的求值问题，应根据自变量所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；,(3)对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解； (4)对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.,【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函 数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求f(f( )的值. 【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将 f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出f( )，再求 f(f( )的值.,【规范解答】若x0，则有f(x+1)= f(x)， 取x=- , 则有f( )=f(- +1)= =-f(- )=-f( ). (f(x)是偶函数，f(- )=f( ). 由此得f( )=0,于是，f( )=f( +1)= = f( ) = f( +1)= ( )f( )=5f( )=0, 若x=0，则0f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0, f(f( )=f(0)=0.,【反思感悟】对于这类给出函数所满足的抽象的性质，但不知道函数解析式的求值问题，主要考查对函数、映射概念的理解及应用，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.,【变式训练】 1.(2012莆田模拟)已知f(x)= ，则f( )+f(- )的值为( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2,【解析】选C.f( )+f(- ) =f( -1)+1+cos(- ) =f( )+1-cos =f( -1)+2-cos =f(- )+2-cos =cos(- )+2-cos =2-2cos =1,故选C.,2.已知定义域为x|xR，且x1的函数f(x)满足 f( )= f(x)+1，则f(3)=_. 【解析】f(- )= f(3)+1, f( )= f(- )+1,f(3)= f( )+1, 22f(3)-2-2= f(3)+1, f(3)=2. 答案：2,【变式备选】设对任意实数x,y均有 f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y, (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式. 【解析】(1)令x=y=0,f(0)=0. (2)当x为任意实数，y=0时, f(x)=2f(0)+x2+3x, f(x)=x2+3x.,1.(2012福建高考)设f(x)= g(x)= 则f(g()的值为( ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D) 【解析】选B.因为为无理数，所以g()=0，f(g()=f(0)=0,2.(2012安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是 ( ) (A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x| (C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x 【解析】选C.(A)f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)，满足要求； (B)f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足要求； (C)f(2x)=2x+12(x+1)=2f(x)，不满足要求； (D)f(2x)=-2x=2f(x)，满足要求.,3.(2013南平模拟)若函数f(x)满足关系式 则f(2)的值为( ) (A)1 (B)-1 (C) (D) 【解析】选B.令x=2得 令 得 联立得f(2)=-1.,4.(2011福建高考)设V是全体平面向量构成的集合，若映射 f:VR满足：对任意向量a=(x1,y1)V,b=(x2,y2)V,以及任意 R，均有 f(a+(1-)b)=f(a)+(1-)f(b), 则称映射f具有性质P.,现给出如下映射： f1:VR,f1(m)=x-y,m=(x,y)V; f2:VR,f2(m)=x2+y,m=(x,y)V; f3:VR,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)V. 其中，具有性质P的映射的序号为_.(写出所有具有性质P 的映射的序号),【解析】由题意知 a+(1-)b=(x1,y1)+(1-)(x2,y2) =(x1+(1-)x2,y1+(1-)y2)， 对于：f1(a+(1-)b)=x1+(1-)x2-y1-(1-)y2, 而f1(a)+(1-)f1(b)=(x1-y1)+(1-)(x2-y2)=x1+(1-)x2-y1-(1-)y2, f1(a+(1-)b)=f1(a)+(1-)f1(b).故中映射具有性质P.,对于：f2(a+(1-)b)=x1+(1-)x22+y1+ (1-)y2， 而f2(a)+(1-)f2(b)=( +y1)+(1-)( +y2) = +(1-) +y1+(1-)y2， f2(a+(1-)b)f2(a)+(1-)f2(b)， 故中映射不具有性质P.,对于：f3(a+(1-)b)=x1+(1-)x2+y1+(1-)y2+1， 而f3(a)+(1-)f3(b)=(x1+y1+1)+(1-)(x2+y2+1) =x1+(1-)x2+y1+(1-)y2+1. f3(a+(1-)b)=f3(a)+(1-)f3(b). 故中映射具有性质P. 具有性质P的映射的序号为. 答案：,