【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第11节《导数概念、导数的运算》.ppt

第十一节 导数概念、导数的运算,1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度 v(t),就是平均速度v(t,d)=_在d趋于0时的极限.,(2)函数f(x)在x=x0处的导数 定义：设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值 在d趋于0时(d0)趋于_，则称 此_为函数f(x)在x=x0处的导数或_，记作_. 符号表示为_f(x0)(d0).,确定的极限值,极限值,微商,f(x0),【即时应用】 (1)思考：f(x0)与(f(x0)相等吗？ 提示：在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0.,(2)有一机器人的运动方程为s=t2+ (t是时间，s是位移)，则 该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为_. 【解析】s=t2+ ,v=s(t)=2t- . 该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为： s(1)=21- =1. 答案：1,2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点，则d趋于0时，比值 _的极限值叫作f(x)的导函数，记作_. (2)符号表示为_f(x)(d0).,f(x),【即时应用】 (1)思考：f(x)与f(x0)有何区别与联系? 提示:f(x)是x的一个函数,f(x0)是常数,是f(x)在点x0处的一个函数值. (2)f(x)是f(x)= x3+2x+1的导函数，则f(-1)的值是_. 【解析】f(x)= x3+2x+1, f(x)=x2+2, f(-1)=(-1)2+2=3. 答案：3,3.导数的实际意义 (1)物理意义 若物体的运动方程为s=f(t),则f(t)为物体在任意时刻t的_ _. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点_处的_.相应地，切线方程为 _.,瞬,时速度v(t),(x0,f(x0),切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),【即时应用】 (1)思考：曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0)的切线,两说法有区别吗? 提示:有.前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_. 【解析】y=2x，曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案：2,(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是_. 【解析】f(e)= ， 所求的切线方程为 y-f(e)=f(e)(x-e)， 即y-lne= (x-e)，化简得x-ey=0. 答案：x-ey=0,(4)曲线y=sinx+cosx在x=处的切线方程是_. 【解析】根据y=sinx+cosx求导可得y=cosx-sinx，所以当x=时，y=-1,又因为切线过点(,-1)，所以可得曲线在x=处的切线方程为y+1=-(x-),即y=-x+-1. 答案：y=-x+-1,4.一些基本的初等函数的导数公式表 (公式对函数定义域内的自变量x有效),0,ex,ax(lna)(a0,a1),(a0,a1,x0),cosx,-sinx,【即时应用】 (1)y=x-5，则y=_. (2)y=4x，则y=_. (3)y=log3x，则y=_. (4)y=sin ，则y=_. 答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) (4)0,5.导数运算法则 (1)(f(x)=f(x); (2)(f(x)g(x)=_; (3)(f(x)g(x)=_; (4) =_(f(x)0); (5) = _(f(x)0). (6)若y=f(u),u=g(x),则yx=fuux.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【即时应用】 (1)y=x3+sinx，则y=_. (2)y=(2x2+3)(3x-2)，则y=_. (3)f(x)= ，则f(x)=_. (4)f(x)=e-x+ln(2x+1),则f(x)=_.,【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx. (2)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9. 或：y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9. (3)f(x)= (4)f(x)= 答案：(1)3x2+cosx (2)18x2-8x+9 (3) (4),热点考向 1 根据导数的定义求函数的导数 【方法点睛】 根据导数的定义求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求差：即f(x0+d)-f(x0). (2)求比：即 (3)令d趋于0得导数.,【例1】用导数定义求函数f(x)= 在x=1处的导数. 【解题指南】本题是利用定义求函数的导数，所以可先求出f(x0+d)-f(x0),再求 当d趋于0时，趋于何值， 即为所求结果.,【规范解答】f(1+d)-f(1)= = 当d趋于0时，此式趋于- ， f(1)=- .,【反思感悟】根据导数定义求简单函数的导数不作重点要求，考试时不宜使用定义求导，而是应用导数公式和运算法则求解.,【变式训练】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+d这段时间内的平均速度; (2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法).,【解析】(1)s=8-3t2, s(1+d)-s(1)=8-3(1+d)2-(8-312)=-6d-3d2, =-6-3d (*) (2)定义法:质点在t=1时的瞬时速度 由(1)知，当d趋于0时，(*)式趋于-6，即质点在t=1时的瞬时 速度为-6. 导数公式法:质点在t时刻的瞬时速度 v=s(t)=(8-3t2)=-6t. 当t=1时,v=-61=-6.,热点考向 2 导数的运算 【方法点睛】 函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.,【提醒】化简函数时，乘积的形式常化成和、差的形式，根式化为分数指数幂的形式，较复杂的公式化为简单公式的和或差.熟记导数公式和求导法则是运算关键.,【例2】(1)若f(x)=x2-2x-4lnx，则f(x)0的解集为( ) (A)(0,+) (B)(-1,0)(2,+) (C)(2,+) (D)(-1,0),(2)求下列函数的导数： y=(2x2-1)(3x+1)； y= y= y=3xex-2x+e. 【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数，再解不等式； (2)借助于导数公式及运算法则求导.,【规范解答】(1)选C.f(x)=2x-2- 0, 即 0,x0,(x-2)(x+1)0,x2. (2)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导： y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1， y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.,方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导： y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1) =4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3.,根据题意把函数的解析式整理变形可得： y= y=,根据题意利用除法的求导法则进行求导可得： 根据求导法则进行求导可得： y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.,【反思感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，灵活选择解题方法决定了解题是否正确、顺利. 一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.,【变式训练】(2012厦门模拟)函数y=mx2m-n的导数为y=4x3, 则( ) (A)m=1,n=2 (B)m=-1,n=2 (C)m=1,n=2 (D)m=1,n=2 【解析】选D.由题可得y=(2m-n)mx2m-n-1=4x3， 对应相等可得 ，解得m=1,n=2.,热点考向 3 导数的几何意义 【方法点睛】 1.导数的几何意义 函数在切点处的导数是该点处切线的斜率. 2.导数几何意义的应用 已知切点坐标可以求斜率，已知斜率也可以求切点坐标.当 所给的点A(x0,y0)是切点时，切线斜率k=f(x0).当所给的 点M(a,b)不是切点时，可以设出切点P(x0,y0)， 则f(x0)=,3.求切线方程的方法步骤 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程，可按如下方式求得： 第一，求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 y-f(x0)=f(x0)(x-x0)；如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.,【提醒】利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上，在切线上，该点处的导数是切线斜率.,【例3】(1)曲线y= 在点M( ,0)处的切线的斜率 为( ) (A)- (B) (C)- (D),(2)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 (3)(2012莆田模拟)设f(x)=xlnx+1，若f(x0)=2，则f(x) 在点(x0,y0)处的切线方程为_.,【解题指南】利用导数的几何意义，(1)先计算y，再求出 x= 时y的值，即可得到切线斜率；(2)先求出切线方程，再 得到与y轴交点的纵坐标；(3)先求导，解方程得出x0,f(x0)， 用点斜式求得切线方程.,【规范解答】(1)选B. y= = 所以x= 时，y=,(2)选C.y=3x2，切线斜率为3, 切线方程为y=3x+9，与y轴交点的纵坐标是9. (3)f(x)=xlnx+1，f(x)=lnx+1, 又f(x0)=2,lnx0+1=2, 解得x0=e,f(x0)=e+1,故切线方程为y-(e+1)=2(x-e)， 即2x-y-e+1=0. 答案：2x-y-e+1=0,【互动探究】若把本例(2)中“在点P(1,12)处”改为“过点 (1,12)”， 则此时切线与y轴交点的纵坐标又是什么?,【解析】当P为切点时，由例题(2)知，切线与y轴交点的纵坐 标为9. 当P不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)， 则 ，即 ，解得x0=- ， 切点为(- , )，切线斜率k=3(- )2= , 切线方程为y= x+ ，与y轴交点的纵坐标为 .,【反思感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合(切点). 2.审题时注意所给点是否是切点.,【变式备选】 1.(2012漳州模拟)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数， 则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( ) (A)- (B)0 (C) (D)5,【解析】选B.f(x)是R上以5为周期的可导偶函数， y=f(x)在x=5处的切线的斜率与在x=0处的切线的斜率相同， 又y=f(x)为偶函数， y=f(x)在x=0两侧的单调性相反(常数函数除外). 该函数在x=0处切线的斜率为0.,2.(2012宁波模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)- x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是( ) (A)y=2x-1 (B)y=x (C)y=3x-2 (D)y=-2x+3,【解析】选A.由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8， 即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4， 由得3f(x)=3x2，f(x)=x2, f(x)=2x，切线方程为y-1=2(x-1)， 即y=2x-1,故选A.,3.(2012莆田模拟)若曲线y= 在点(a, )处的切线与两个 坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=( ) (A)64 (B)32 (C)16 (D)8,【解析】选A.曲线y= 过点(a, ), 且y= . 曲线y= 在点(a, )处的切线斜率 k= ,且a0, 切线方程为：y- = (x-a). 该直线与两坐标轴的交点坐标分别为 (3a,0),(0, ), 三角形的面积为：S= 3a = . 依题意得： =18,a=64.,1.(2013南平模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)x2，则f(1)( ) (A)1 (B)2 (C)1 (D)2 【解析】选B.f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2f(1)2，f(1)2.,2.(2013福州模拟)如图，函数y=f(x) 的图象在点P(5,f(5)处的切线方程是 y=-x+8，则f(5)+f(5)=( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0,【解析】选C.点P(5,f(5)在切线y=-x+8上, f(5)=-5+8=3, 由导数的几何意义知f(5)=-1, f(5)+f(5)=3+(-1)=2.,3.(2012广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1，3)处的切线方程为_. 【解析】y=3x2-1,y|x=1=3-1=2,切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0,4.(2012漳州模拟)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线， 则实数a的取值范围是_. 【解析】由题意知该函数的定义域为x0，f(x)=2ax+ .因为 存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x0范围内 导函数f(x)=2ax+ 存在零点.等价于方程2ax+ =0在(0,+) 内有解，显然可得a=- (-,0). 答案：(-,0),5.(2012三明模拟)已知函数f(x)= +ln(x+1), 其中实数a-1. (1)若a=3,求y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)的单调性.,【解析】(1)a=3, f(x)= +ln(x+1), f(x)= k切=f(0)= ,f(0)=- . 切线方程为y+ = (x-0), 即：y= x- .,(2)f(x)= f(1)=0, a=-3. f(x)= +ln(x+1), f(x)=,又f(x)的定义域为 , 即x|x-1且x3. 当x(-1,1和x7,+)时，f(x)0, 当x1,3)和(3，7时，f(x)0, f(x)的单调增区间是(-1，1和7,+). 单调减区间是1,3)和(3,7.,