【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第3节《函数的奇偶性与周期性》.ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数奇偶性的定义 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. (1)f(x)为偶函数_; (2)f(x)为奇函数_.,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),【即时应用】 (1)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”) y=x2-|x| ( ) y=sin3x ( ) y=x+ ( ) y=3x-3-x ( ) y=|x|cosx ( ) y=x2,x(-1,1 ( ),(2)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是_. (3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2,则f(x)=_.,【解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数,为偶函数， ,为奇函数,是非奇非偶函数. (2)由已知得a-1=-2a,解得a= , f(x)= x2+bx,又f(-x)=f(x), 即 x2-bx= x2+bxbx=0, 又x- , ,b=0,故a+b= +0= .,(3)由题意知f(0)=0,当x0, f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2, 综上，f(x)= . 答案：(1)否 是 是 是 否 否 (2) (3),2.奇偶函数的图象性质 偶函数的图象关于_对称；奇函数的图象关于_对称.,y轴,原点,【即时应用】 (1)函数f(x)=x- 的图象关于_对称. (2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程 f(x)=0的所有实根之和是_. 【解析】(1)因为f(x)=x- 为奇函数，所以其图象关于原点对 称. (2)由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交点亦关 于y轴对称，或在y轴上，故其和为0. 答案：(1)原点 (2)0,3.周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 内的任何值时，都有_，那么就称函数y=f(x)为周期 函数，T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么 这个_就叫做它的最小正周期,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小的正数,【即时应用】 (1)已知函数f(x),对xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)时， f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_. (2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最 小正周期为_.,【解析】(1)f(x+4)=f(x), f(x)的最小正周期为4， f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012. (2)f(x+1)=-f(x), f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x). 最小正周期为2. 答案：(1)2 012 (2)2,热点考向 1 判定函数的奇偶性 【方法点睛】 判定函数的奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法：,(2)图象法：,(3)性质法：用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性 【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.,【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)= (3)f(x)= 【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原 点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数 的奇偶性.,【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), f(x)为奇函数. (2)使f(x)= 有意义， 则有 0且1+x0, 解得函数的定义域为(-1,1,不关于原点对称，因此函数f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为： (-，0)(0,+)，关于原点对称， 当x0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 当x0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， 函数f(x)为奇函数.,【互动探究】若将本例(2)的函数改为f(x)= 其奇偶 性又如何呢？ 【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1)，关于原点对 称， f(x)= 又f(-x)= =-f(x)， 函数f(x)为奇函数,【反思感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先要求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则可能得到错误结论.,【变式备选】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)=,【解析】(1)由 ,得x=-1或x=1. 函数f(x)的定义域为-1,1. 又对于定义域内的任意x,f(-x)=0=f(x), 函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.,(2)显然函数的定义域为R， 又f(-x)= = = =-f(x)， 函数f(x)为奇函数.,(3)由 ，得-2x2且x0 函数f(x)的定义域关于原点对称， f(x)= 又f(-x)= =-f(x)， 函数f(x)为奇函数.,热点考向 2 函数奇偶性的应用 【方法点睛】 应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的解析式，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.,(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解. (4)已知奇偶性判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.,【例2】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)= 2x2-x，则f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)若函数f(x)= 为奇函数，则a=( ) (A) (B) (C) (D)1 (3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-,0上是减函 数，若f(a)f(2),则实数a的取值范围是_.,【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性： (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解； (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构 建a的方程求解； (3)得到f(x)在0,+)上的单调性，即将原不等式转化为 f(|a|)f(2),从而求解.,【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3. (2)选A.函数f(x)为奇函数,f(x)+f(-x)=0恒成立， 即 恒成立. 可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立. 整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0, a= .,(3)由已知得f(x)在0,+)上为增函数，且f(a)=f(|a|), f(a)f(2),f(|a|)f(2),|a|2. 得:a2或a-2. 答案：a2或a-2,【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析式. 【解析】当x0时，-x<0, 又x0时，f(x)=2x2-x, f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又f(-x)=-f(x), 即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x. 综上,f(x)= .,【反思感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.,【变式备选】奇函数f(x)的定义 域为-5,5.若当x0,5时， f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)<0的解集是_. 【解析】由奇函数图象对称性补出其在-5,0)上的图象，由图 象知解集为(-2,0)(2,5. 答案：(-2,0)(2,5,热点考向 3 函数周期性的应用 【方法点睛】 关于函数周期性的几个常用结论 (1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； f(x+a)= ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周 期；,f(x+a)=- ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； (2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 kT(kZ,k0)也是函数y=f(x)的周期， 即f(x+kT)=f(x)； 若已知区间m,n(m<n)上的图象，则可画出区间 m+kT,n+kT(kZ,k0)上的图象.,【例3】(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3x-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1x3时，f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( ) (A)335 (B)338 (C)1 678 (D)2 012,【规范解答】选B.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x), 当-3x<-1时，f(x)=-(x+2)2， 当-1x<3时，f(x)=x. f(1)=1,f(2)=2, f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1, f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1. 2 012=3356+2. f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=335+f(1)+f(2)=338.,【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x， 恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数; (2)当x2,4时，求f(x)的解析式.,【解析】(1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2, f(x)=x2+2x. 又当x2,4时，x-4-2,0, f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).,又f(x)是周期为4的周期函数， f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x2,4时， f(x)=x2-6x+8.,1.(2013漳州模拟)若函数f(x)为奇函数，则下列各式中成立的是( ) (A)f(x)+f(-x)0 (B)f(x)-f(-x)0 (C)f(x)f(-x)0 (D)f(x)f(-x)0 【解析】选C.f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x),f(x) f(-x)=-f2(x)0.,2.(2012福建高考)设函数 则下列结论 错误的是( ) (A)D(x)的值域为0,1 (B)D(x)是偶函数 (C)D(x)不是周期函数 (D)D(x)不是单调函数,【解析】选C.,3.(2013福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x2,3时，f(x)=x，则x-2,0时，f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=2+|x+1| (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2x+4,【解析】选C.设-1x0,则22-x3, f(2-x)=2-x,又f(2-x)=f(x),f(x)=2-x. 设-2x-1,则2x+43,f(x+4)=x+4. 又f(x+4)=f(x),f(x)=x+4, 综上知，f(x)= 故选C.,4.(2012上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_. 【解析】由已知条件y=f(x)+x2是奇函数，得f(x)+x2=-f(-x) +(-x)2,即f(1)+1=-f(-1)+1.又f(1)=1，所以f(-1)=-3， 故g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 答案：-1,5.(2012厦门模拟)函数 为偶函数，则 实数n的值为_. 【解析】f(x)为偶函数，即 为奇函数, 而 g(-x)+g(x)=0,即2n-1=0，解得 答案：,