【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第4节《二次函数》.ppt

第四节 二次函数,1.二次函数的定义 形如：f(x)=_的函数叫做二次函数.其解析式我 们称为_,另外还有(1) _：f(x)=a(x-h)2+k(a0), 其中顶点坐标为_;(2)两根式：f(x)=_(a0)， 其中x1,x2为相应一元二次方程的两根.,ax2+bx+c(a0),一般式,顶点式,(h,k),a(x-x1)(x-x2),【即时应用】 (1)判断下列函数是否为二次函数.(请在括号中填写“是”或 “否”) y= ; ( ) y=x4-x2; ( ) y=x- ; ( ) y=1+3x-x2; ( ) y=2(x+1)2-3; ( ),(2)若二次函数的图象的最高点为(-1,-3),且过点(0,-4),则其解析式为_. (3)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),则抛物线的解析式为_.,【解析】(1)根据二次函数y=ax2+bx+c(a0)的定义知均是二次函数，均不是二次函数. (2)设y=a(x+1)2-3,又过点(0,-4), -4a(0+1)2-3,解得a=-1, y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.,(3)点A(-1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点, 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1) 将M(0,1)代入,得1=-a,即a=-1, y=-(x+1)(x-1)=-x2+1. 答案：(1)否 否 否 是 是 (2)y=-x2-2x-4 (3)y=-x2+1,2二次函数的图象与性质, +),(-, ,R,R,(-, , +),(-, , +),b=0,( ),x=,【即时应用】 (1)二次函数y=-2x2+4x-5的对称轴为_,顶点坐标为_. (2)已知函数f(x)=3x2-12x+5,当x0,3时, f(x)min=_,f(x)max=_. (3)函数f(x)=x2+4ax+2在(-,6)内递减,则a的取值范围是_. (4)已知函数y=x2+bx+c为偶函数,则函数y=cx+b-1必过定点_.,【解析】(2)f(x)=3(x-2)2-7,f(x)在0,2上递减,在 (2,3上递增,f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5. (3)由已知得： 6a-3. (4)由已知得：b=0,函数y=cx+b-1=cx-1, 过定点(0,-1). 答案：(1)x=1 (1,-3) (2)-7 5 (3)a-3 (4)(0,-1),热点考向 1 求二次函数的解析式 【方法点睛】 求二次函数解析式的方法 求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：,【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的 截距为1,在x轴上截得的线段长为2 ,求f(x)的解析式. 【解题指南】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方 程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设 f(x)的一般式,亦可设顶点式.,【规范解答】设f(x)的两零点分别为x1,x2, 方法一：f(x)=ax2+bx+c,则由题知： c=1,且对称轴为x=-2. =-2,即b=4a.f(x)=ax2+4ax+1. |x1-x2|= b=4a=2 函数f(x)的解析式为f(x)= x2+2x+1.,方法二：f(x-2)=f(-x-2), 二次函数f(x)的对称轴为x=-2. 设f(x)=a(x+2)2+b, 且f(0)=1,4a+b=1. f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1, |x1-x2|= b=-1.f(x)= x2+2x+1.,【反思感悟】用待定系数法求二次函数的解析式： (1)设一般式是通法； (2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式； (3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式, 若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.,【变式训练】(2012龙岩模拟)二次函数f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x，f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)在区间-1，1上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的范围.,【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由f(0)=1得c=1，故f(x)=ax2+bx+1. 因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x， 即2ax+a+b=2x, 所以 ，解得 ，从而f(x)=x2-x+1.,(2)由题意得x2-x+12x+m在-1,1上恒成立， 即x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立. 设g(x)=x2-3x+1-m，其图象对称轴为直线x= . 所以g(x)在-1，1上递减，故只需g(1)0, 即1-31+1-m0,解得m-1.,【变式备选】已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为15; (3)f(x)=0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式.,【解析】依条件，设f(x)=a(x-1)2+15(a0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15. 令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,设两根为x1,x2, 则x1+x2=2,x1x2=1+ . 而 =(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) =23-32(1+ )=2- , 2- =17，则a=-6. f(x)=-6x2+12x+9.,热点考向 2 二次函数的图象与性质的应用 【方法点睛】 1.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值,2.二次函数的单调性问题的解法 主要根据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 【提醒】配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.,【例2】(1)(2013福州模拟)已知函数 则对任意x1,x2R，若00 (C)f(x1)-f(x2)0 (D)f(x1)-f(x2)<0,(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. 当a=-2时,求f(x)的最值； 求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数； 当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,【规范解答】(1)选D. 函数f(x)的图象如图所示. 由图象提供的信息及函数的解析式知f(x)是偶函数，且f(x)min=f(0)=-1. |x2|x1|0. f(x2)f(x1), 即f(x1)-f(x2)<0.,(2)当a=-2时, f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数, f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35. 函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为 要使f(x) 在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或 a-6.,当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其图象如图所示： 又x-4,6,f(|x|)在区间(-4,-1)和(0,1)上为减函数,在区间(-1,0)和(1,6)上为增函数.,【互动探究】若将本例(2)中单调变为不单调,则结果如何？ 【解析】需-4-a6,解得：-6a4.,【变式备选】已知f(x)=x2+3x-5，xt,t+1，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的解析式求h(t)的最小值,【解析】f(x)=x2+3x-5的对称轴为x=- ， 当t+1- ，即t- 时， h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5 =t2+5t-1(t- )； 当t- t+1，即- t- 时， h(t)=f(- )=(- )2+3(- )-5 =- (- t- )；,当t- 时， h(t)=f(t)=t2+3t-5(t- ); 综上可知：h(t)=,当t- 时， h(t)=t2+5t-1(- )2+5(- )-1=- ； 当- t- 时，h(t)=- ； 当t- 时，h(t)=t2+3t-5(- )2+3(- )-5=- ; 即对于任意的实数t恒有h(t) - ， 即h(t)有最小值- ,热点考向 3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综 合问题 【方法点睛】 1.一元二次方程根的分布问题的求解策略 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.,2.与一元二次不等式相关问题的求解技巧 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.,【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1x4的一切x值都有 f(x)0,求实数a的取值范围. 【解题指南】解答本题可以有两条途径：(1)分a0,a0,a=0 三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min0, 从而求出a的取值范围； (2)将参数a分离得a 然后求g(x)= 的最大值即可.,【规范解答】方法一：当a0时,f(x)=a(x- )2+2- , 由f(x)0,x(1,4)得： 或 或 , 或 或 ,a1或 a1或 ,即a , 当a0时, ,解得a ; 当a=0时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6,不合题意. 综上可得,实数a的取值范围是a .,方法二：由f(x)0,即ax2-2x+20,x(1,4), 得a 在(1,4)上恒成立. 令g(x)= = ( ,1),g(x)max=g(2)= , 所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立,只要a 即可.,【反思感悟】1.一元二次不等式的求解，恒成立问题及一元二次方程根的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论及考虑全面. 2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.,【变式训练】若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间 0,2上是增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是 ( ) (A)0m4 (B)0m2 (C)m0 (D)m0或m4,【解析】选A.f(x)=a(x-2)2+b-4a,对称轴为x=2, 由已知得a0,结合二次函数图象知， 要使f(m)f(0)，需满足0m4.,1.(2013三明模拟)设b0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下 列之一，则a的值为( ) (A)1 (B)-1 (C) (D) 【解析】选B.结合图象可知是,由 0,f(0)=a2-1=0,解得 a=-1或1(舍).,2.(2013厦门模拟)已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x-2,+) 时是增函数，当x(-,-2时是减函数，则f(1)=( ) (A)13 (B)-3 (C)7 (D)由m值而定 【解析】选A.f(x)在(-，-2上为减函数,在-2,+)上 是增函数, f(x)的对称轴x= =-2, m=-8. f(1)=2-m+3=13.,3.(2013漳州模拟)函数y=ax2+bx与y= (ab0,|a|b|) 在同一直角坐标系中的图象可能是( ),【解析】选D在A中由抛物线的开口向上得到a0，由抛物线 与x轴的另一个交点的横坐标满足0- 1，不能得到 | |1，A不正确在B中由抛物线的开口向下得到a1，B不正确在C中由抛物线的开口向下得到a<0，由抛,物线与x轴的另一个交点的横坐标满足 1，此时对数函数图象应该单调递增，C错误在D中由抛物 线的开口向上得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标 满足-1 0 ，可以得到| |1，此时对数函数图象单调 递减，D正确,4.(2013泉州模拟)若函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c0)没有零 点,则 的取值范围是( ) (A)(1,+) (B)1,+) (C)(2,+) (D)2,+) 【解析】选A.f(x)=ax2+bx+c(a,b,c0)没有零点， b2-4ac0,即4acb2， 又a0,b0,c0， ,