【福建】高考数学复习方略：第4章《平面向量、数系的扩充与复数》第3节《平面向量的数量积》.ppt
第三节 平面向量的数量积,1.平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量 积是数量_，记作ab，即ab=_. (2)向量的投影 设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_；向 量b在a方向上的投影是_.,|a|b|cos,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,(3)数量积的几何意义 数量积ab等于_ 的乘积.,a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos,【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则 =_； 方向上的投影为_. (2)已知|a|=1，|b|=2，ab=1，则向量a、b的夹角等于_.,【解析】(1) 方向上的投影为 (2) 又0180, =60. 答案：(1) (2)60,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.,x1x2+y1y2=0,【即时应用】 (1)思考：若ab<0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角. (2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假(请在括号 内填“真”或“假”) |a|+|b|= ( ) 若为向量a、b的夹角，则cos= ( ) 若a(a+b),则=1 ( ) (a+b)(4a+b)=18 ( ),【解析】|a|+|b|= 故真. 真. a+b=(1,-1)+(2,4)=(2+1,4-1)， a(a+b)=(2+1)-(4-1)=-2+2=0， =1,真. a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)， (a+b)(4a+b)=36+30=18,真. 答案：真 真 真 真,3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：ab=ba; (2)数乘结合律：(a)b=_=_; (3)分配律：a(b+c)=_.,(ab),ab+ac,a(b),【即时应用】 (1)思考：(ab)c与a(bc)相等吗？ 提示：不一定相等，ab,bc均为实数，(ab)cc，a(bc)a,所以(ab)c与a(bc)不一定相等. (2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)b=0，则a与b的夹角为_.,【解析】设a,b的夹角为， (2a+b)b=0，2ab+b2=0， 2|a|b|cos+|b|2=0, 又|a|=|b|0，0180， cos=- ,=120. 答案：120,热点考向 1 平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积题目类型及求法 (1)已知向量a、b的模及夹角，利用公式ab=|a|b|cos 求解； (2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.,2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2=aa=|a|2或 (2)|ab|= (3)若a=(x,y),则|a|=,【例1】(1)(2012新课标全国卷)已知向量a,b的夹角为 45，且|a|=1,|2a-b|= 则|b|=_. (2)在边长为1的正三角形ABC中，设 (3)已知向量a=(2,1),b=(-1,k), a(2a-b),则(a+b)(a-b) =_.,【规范解答】(1)a,b的夹角为45，|a|=1， ab=|a|b|cos45= |2a-b|2= |b|= 答案:,(2)由题意画出图形如图所示，取基底 ，结合图形可得 答案：,(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由a(2a-b)得a(2a-b)=10+(2-k)=0, k=12, b=(-1,12), (a+b)(a-b)=a2-b2=(22+12)-(-1)2+122=-140. 答案：-140,【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC 的中点”，又该如何求 ？ 【解析】D、E分别为BC、AC的中点， ,【变式备选】在ABCD中，AC为一条对角线，若 =(2，4)， =(1，3)，则 =_. 【解析】 =8. 答案：8,热点考向 2 平面向量的垂直问题 【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则ab ab=0；若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab x1x2+y1y2=0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.,【例2】已知a= =a-b, =a+b，若AOB是以O为直 角顶点的等腰直角三角形，求向量b. 【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用 列出 方程组，求出b.,【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则 =a-b =( )， =a+b=( )， 由题意可知, 从而有： 解得 或 . 所以,方法二：设向量b=(x,y)，依题意， 则(a-b)(a+b)=0， |a-b|=|a+b|， 所以|a|=|b|=1,ab=0. 所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量， 即有 解得,【反思感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而可以应用方程思想解决问题.利用向量的坐标运算表示向量的平行与垂直关系，好处在于将向量的几何特征转化为代数特征，运算过程也就代数化，从而降低了思维难度，在进行向量的运算时，若能建立坐标系使用坐标运算，应尽量采用坐标运算.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 求t的值. 【解析】(1)由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 所以 故所求的两条对角线的长分别为,(2)由题设知： =(2,1)， =(3+2t,5+t). 由( ) 得( ) =0， 即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以,热点考向 3 平面向量的夹角的求法 【方法点睛】 求向量夹角的方法 (1)利用向量数量积的定义， 其中两向量夹角的范围为0180，求解时应求出三个量：ab,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系. (2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则,(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用 正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】ab0 00(<0)是为锐角(钝角)的必要而不充分条件.,【例3】(1)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等 于( ) (2)若平面向量 满足 且以向量 为邻边的 平行四边形的面积为 ，则 与 的夹角的取值范围是 _.,【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.,【规范解答】(1)选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)， a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)， (2a+b)(a-b)=30+33=9, |2a+b|=3 ,|a-b|=3, 又0，= .,(2)由 可得， 答案： ,【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k-1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1) k-1,2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角，(2a+b)(a-b)0， 即(2k-1)(k+1)0,k , 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k .,【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.,【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，O为坐标原点， (1) 求sin2的值. (2)若 ,且(-,0),求 的夹角.,【解析】(1) =(cos，sin)-(2，0)=(cos-2，sin)， =(cos，sin)-(0，2)=(cos，sin-2)， =cos(cos-2)+sin(sin-2)=cos2- 2cos+sin2-2sin=1-2(sin+cos)= ， sin+cos= ，1+2sincos= ， sin2= -1=- .,(2) =(2+cos,sin)， 即4+4cos+cos2+sin2=7 4cos=2即cos= . -<<0,=- . 又 设为 的夹角， ,1.(2012湖南高考)在ABC中，AB=2，AC=3， 则 BC=( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A. 即23cos A=5, 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=22+32-223,2.(2013福州模拟)已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向 上的投影为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.设a与b的夹角为，则|a|cos = =,3.(2012安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若 (a+c)b,则|a|=_. 【解析】a+c=(3,3m),(a+c)b=3(m+1)+3m =0 答案：,4.(2012浙江高考)在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10， 则 =_. 【解析】 = =55cos-53cosAMB-53cosAMC+32. 又AMB+AMC=, cosAMB+cosAMC=0, =55(-1)+9=-16. 答案：-16,
