【福建】高考数学复习方略：选修4-4《坐标系与参数方程》第1节《坐标系》.ppt

选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系,1.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平行于y轴的伸缩变换 变换公式 把xOy平面上的点(x,y)变换成xOy平 面上的一点(x,y)，这种变换称为平行于y轴的伸缩变换.,_ _,(2)平行于x轴的伸缩变换 变换公式 把xOy平面上的点(x,y)变换成xOy平 面上的一点(x,y)，这种变换称为平行于x轴的伸缩变换.,_ _,【即时应用】 (1)在伸缩变换 作用下，点P(1,1)的坐标变换为_. (2)在伸缩变换 作用下，方程x2+y2=1变换后的曲线方程 为_. 【解析】(1)在伸缩变换 作用下，点P(1，1)的坐标变 换为 ，即变换后的点的坐标为(3，2).,(2)在伸缩变换 作用下，方程x2+y2=1变换为 ,即 故方程x2+y2=1按 变换后的曲线的方程为 答案：(1)(3，2) (2),2.极坐标系 (1)极坐标系 在平面内取定一点O，O点叫作_，从O起引一条射线Ox,这 条从极点起的射线Ox叫作_，选定长度单位，角度的正方 向(逆时针转角为正向)，这种取定了极点、极轴、长度单位与 角度正向的坐标系统叫作极坐标系.,极点,极轴,(2)极径、极角与极坐标 对于平面上的一个点M，连接极点O与M，_叫作M点 的极径，记为，极轴Ox为始边_转到OM的角叫作M 点的极角，记为.有序数对(，)叫作M点的极坐标，记作 _或_，nZ.,线段OM之长,按逆时针,M(,),M(,+2n),【即时应用】 (1)思考:在平面直角坐标系内，点与有序实数对(x,y)是一一对应的，那么在极坐标系中，一个点和它的极坐标之间是什么对应关系？ 提示:虽然一个有序实数对(,)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(,)对应，极坐标系中的点与有序实数对(,)不是一一对应的.,(2)已知两点A，B的极坐标分别为(4， )，(4， ),则A，B两点间的距离是_. 【解析】AOB ，OAB为正三角形，故AB4. 答案:4,3.常见曲线的极坐标方程,=r(02),=0(R),=+0(R),=0(0),=+0(0),=2rcos,(- < ),【即时应用】 (1)过点A(2, )平行于极轴的直线是_. (2)以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程是_. 【解析】 (1)在所求直线l上任取一点M(,)，过M作MH垂直 于极轴,H为垂足,因为A(2, )，所以|MH|= .在直 角三角形MOH中,MH=OMsin,即sin= ，所以过点 A(2, )平行于极轴的直线为sin= .,(2)设D(,)为圆C上任意一点.圆C交极轴于另一点A.由已知 OA=8,在RtAOD中,OD=OAcos，即=8cos， 这就是圆C的 极坐标方程. 答案:(1)sin= (2)=8cos,4.极坐标和平面直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为_，x轴的正半轴 作为_，并在两种坐标系中取相同的_. (2)互化公式：如图所示，设M是坐标平面内任意一点，它的直 角坐标是(x,y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直 角坐标的互化公式如下表：,极点,极轴,长度单位,cos,sin,【即时应用】 (1)极坐标是(2， )的点的直角坐标为_. (2)极坐标方程 表示直线的倾斜角为_. (3)将圆(x-1)2+y2=1化为极坐标方程为_. 【解析】(1)由公式 ，得点(2， )的直角坐标 为 ，即点的直角坐标为,(2)极坐标方程 即 -sin+cos=1,-y+x=1, 直线的直角坐标方程为y=x-1,斜率k=1, 设直线的倾斜角为，即tan=1. 又0, )( ,),= 直线的倾斜角为 .,(3)圆的方程(x-1)2+y2=1即x2+y2-2x=0. 由公式 ，得2-2cos=0, 即=2cos为所求. 答案：(1)(1, ) (2) (3)=2cos,热点考向 1 伸缩变换 【方法点睛】 利用伸缩变换公式的思路 (1)一般地，我们可以将平行于y轴的伸缩变换公式 和平行于x轴的伸缩变换公式 综合成伸缩变换公式 然后对平面xOy上的点(x,y) 或曲线F(x,y)=0进行变换.,(2)求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.,【例1】(1)求正弦曲线y=sinx按 变换后的函数解析式； (2)将圆x2+y2=1变换为椭圆 的伸缩变换公式为 ，求l、k的值. 【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为 P(x,y)，变换后对应的点为P(x,y)，代入伸缩变换公 式即可.,【规范解答】(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意一点， 在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)， 即 ，代入y=sinx得2y=sin3x，所以 ， 即 为所求.,(2)将变换后的椭圆 改写为 ，伸缩变换为 ，代入上式得 ， 即 与x2+y2=1比较系数得,【互动探究】求将圆x2+y2=1按照伸缩变换公式 变换后 所得椭圆的焦距. 【解析】将圆x2+y2=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆 的方程为 即 c2=a2-b2=25-9=16.c=4,2c=8. 即所得椭圆的焦距为8.,【反思感悟】1.曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐 标的伸缩变换实现的,解题时需要区分变换前的点P的坐标(x,y) 与变换后的点P的坐标(x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系即可. 2.已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.,【变式备选】已知焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)的椭圆与直线 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长. 【解题指南】可以将直线与椭圆的方程看为方程组，化简为一元二次方程，利用根的判别式计算，也可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程,转化为圆心到直线的距离计算.,【解析】方法一：(判别式法) 设椭圆方程为 c=2,a2-b2=4. 由 ，得 整理，得 由=0，得, 即 与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7, a= ， 所以椭圆的长轴长为2 . 方法二：(伸缩变换法) 令 ,则椭圆 (ab0)变换为单位圆 x2+ y2=1, 直线 变换为直线,因为直线 与椭圆 有且仅有一个交点， 则直线 与单位圆x2+y2=1有且仅有一个交点. 由题意,得 ,整理得a2+3b2=16. a2-b2=4，解得a2=7, a= ， 椭圆的长轴长为2 .,热点考向 2 极坐标系与点的极坐标 【方法点睛】 极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系有四个要素:极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向,(2)如果(，)是点M的极坐标，那么(，2k)或 (，(2k1)(kZ)都可以作为点M的极坐标但这样建立的极坐标系平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系由极径的意义可知0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们约定，极点的极径0，极角可以取任意角,【例2】已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5， )，B(5， )，C( )，试判断ABC的形状，并求出它的面积. 【解题指南】在极坐标系中作出三点A、B、C，通过观察，利用解斜三角形的方法，计算三边的长，从而判断其形状，并求其面积.,【规范解答】在极坐标系中，设极点为O， 由已知得AOB ，BOC ， AOC . 又OAOB5，OC ，由余弦定理得 AC2OA2OC22OAOCcosAOC 所以AC .同理，BC ,AB=5.,于是ACBC，所以ABC为等腰三角形. 又ABOAOB5，所以ABC中AB边上的高h 所以,【互动探究】如规定0，则本例条件中的C点坐标也可表示 成什么形式?如将OC反向延长，它具有什么性质？ 【解析】C点坐标为( ).OC的反向延长线平分AOB,又知 OA=OB,故可利用平面几何的性质，判断OC的反向延长线垂直于 AB.,【反思感悟】判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，因极坐标系中的点的坐标是用极角与极径表示的，所以通常利用解三角形的方法求解，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.,【变式备选】在极坐标系中，O为极点，点A，B的极坐标分别为(3， )，(4, )，求： (1)|AB|；(2)AOB的面积； (3)直线AB与极轴交点的极坐标. 【解析】(1)AOB= AOB为直角三角形, |AB|= (2),(3)设直线AB与极轴交于点C，则ACO= +B. 由于 sinACO=sin( +B)= = 又sinA= ,在AOC中，由正弦定理，得 所以点C的极坐标为( ，2k)，kZ.,热点考向 3 极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 【方法点睛】 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提 (1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴非负半轴为极轴； (3)规定长度单位相同 2.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，根据三角函数的定义，当0时，有：, (极坐标化为直角坐标公式)； (x0)(直角坐标化为极坐标公式).,【提醒】当0时,公式也成立, 因为点M(,)与点 M(-,)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-, +)，此时，有,【例3】(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点 圆心为直线 与极轴的交点，求 圆C的极坐标方程 【规范解答】在 中，令=0，得=1， 所以圆C的圆心坐标为(1，0). 因为圆C经过点 所以圆C的半径 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为=2cos.,【变式训练】O1和O2的极坐标方程分别为4cos， 4sin. (1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程. 【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长度. 因为xcos，ysin， 由4cos，得24cos， 所以x2y24x，,即x2y24x0为O1的直角坐标方程. 同理，x2y24y0为O2的直角坐标方程. (2) 由 , 解得 或 即O1，O2的交点为(0,0)和(2，2)两点，故过交点的直线 的直角坐标方程为xy0.,【变式备选】在极坐标系中，设圆3上的点到直线 (cos sin )2的距离为d，求d的最大值. 【解析】将极坐标方程3化为普通方程为x2y29， (cos sin )2可化为x y2. 在x2y29上任取一点A(3cos ，3sin )， 则点A到直线的距离为d 故d的最大值为4.,【备选类型】极坐标系的综合应用 【方法点睛】 求曲线的极坐标方程的基本步骤 与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同即 第一步:建立适当的极坐标系； 第二步:在曲线上任取一点P(，)； 第三步:根据曲线上的点所满足的条件写出等式； 第四步:用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；,第五步:证明所得的方程是曲线的极坐标方程 通常，第五步的过程不必写出，只要对方程进行检验，最后加以确认即可,【例】过原点的一动直线交圆x2(y1)21于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程. 【解题指南】在直角坐标系的相应位置上建立极坐标系，按求轨迹方程的解题步骤求点P的轨迹方程.,【规范解答】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P作PR垂直于直线y2，则有|PQ|PR|.设P(，)，Q(0，)，则有02sin .因为|PR|PQ|，所以|2sin |2sin |，所以2或sin 1即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24或x0.,【反思感悟】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标系要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.,【变式训练】如图，点A在直线x5上移 动，等腰OPA的顶角OPA为120 (O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨 迹方程. 【解析】取点O为极点，x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系，则直线x5的极坐标方程为cos 5. 设A(0，0)，P(，)，,因为点A在直线cos 5上， 所以0cos 05. 因为OPA为等腰三角形，且OPA120，而OP，OA0 以及POA30， 所以0 ，且030. 把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为 cos(30)5.,【变式备选】已知抛物线y2=4x的焦点为F. (1)写出以F为极点，Fx为极轴时抛物线的极坐标方程； (2)过F作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,B和C,D四点，求AB+CD的最小值,【解析】(1)如图，设抛物线上任一点M(,)，由定义知 MF=MR,所以MF=NQ=NF+FQ， 即=2+cos 为抛物线的极坐标方程；,(2)设直线AB的倾斜角为,依题意不妨设CD的倾斜角为 + (0 )， 则AB= CD= AB+CD= = 16,(当且仅当sin 2=1时，等号成立). 所以当= 时，AB+CD取得最小值16.,