【福建】高考数学复习方略：第6章《不等式、推理与证明》第7节《数学归纳法》.ppt

第七节 数学归纳法,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤: (1)(归纳奠基) 证明当n取_(n0N+)时命题成立; (2)(归纳递推) 假设n=k(kn0,kN+)时命题成立，证明当 _时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.,第一个值n0,n=k+1,【即时应用】 判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1. ( ) (2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ) (3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时，第 一步是检验n等于3. ( ) (4)用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1 时,左边式子应为1+2+22. ( ),【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等. (2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推. (3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0. (4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23. 答案：(1) (2) (3) (4),热点考向 1 用数学归纳法证明等式 【方法点睛】 用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.,(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.,【例1】是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.,【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 解得 以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 对一切正整数n都成立. (1)当n=1时，由以上可知等式成立;,(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2) 则当n=k+1时， (k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1) (k+1)2-(k+1)2 =(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1) 由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.,【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明. 2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.,【变式训练】已知nN+，证明： 【证明】(1)当n=1时，左边= 右边= ，等式成立; (2)假设当n=k(kN+)时等式成立，即有: 那么当n=k+1时， 左边=,=右边, 所以当n=k+1时等式也成立. 综合(1)、(2)知对一切nN+，等式都成立.,热点考向 2 用数学归纳法证明不等式问题 【方法点睛】 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,【例2】(2012大纲版全国卷)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2xn<xn+1<3; (2)求数列xn的通项公式.,【规范解答】(1)用数学归纳法证明2xn<xn+1<3. 当n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为 令y=0,解得x2= 所以2x1<x2<3.,假设n=k时，结论成立，即2xkxk+1<3, 直线PQk+1的方程为 令y=0，解得xk+2= 由归纳假设知，xk+2=,即xk+2xk+1. 所以2xk+1xk+23， 即当n=k+1时，结论成立. 由知，对于任意的正整数n,2xnxn+13成立.,(2)由(1)及xn+1= 设bn=xn-3，则 数列 是首项为 公比为5的等比数列. 所以 即数列xn的通项公式为,【变式训练】证明不等式 【证明】(1)当n=1时，左边=1,右边=2，不等式成立. (2)假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即 那么当n=k+1时，,方法一:分析法 要证 因为01显然成立, 所以,方法二：综合法(放缩法),方法三:综合法(基本不等式法) 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)、(2)可知，原不等式对任意正整数n都成立.,归纳猜想证明类问题 【方法点睛】 归纳猜想证明类问题的解题步骤 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【例】(2012南京模拟)已知数列an满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论. 【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an. (2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.,【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得 (2)由(1)得n=1时，命题成立； 假设n=k时，命题成立，即 那么当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+ak=2k+1-ak, 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 2ak+1=2+2- ,ak+1=2- , 即当n=k+1时，命题也成立. 根据、得,对一切nN+,an= 都成立.,【互动探究】若本例中Sn+an=2n+1变为Sn+an=2n，其余不变，又将如何求解? 【解析】(1)将n=1,2,3分别代入已知可得 猜想 (2)当n=1时，a1=1,猜想显然成立; 假设当n=k(k1且kN+)时，猜想成立,即 那么,当n=k+1时， 当n=k+1时猜想也成立. 综合、知，当nN+时猜想成立.,【反思感悟】“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.,【变式备选】数列an中，a1=1, (n2)， 求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】因为a1=1， (n2)， 所以 同理可求得a4= , 归纳猜想， 下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当n=1时，易知猜想正确.,(2)假设当n=k(kN+)时，猜想正确，即 那么当n=k+1时， 即当n=k+1时，猜想也正确. 由(1)、(2)可知，猜想对任意正整数都正确.,1.(2012南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)= (nN+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是 ( ) (A)1 (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+4 【解析】选D.当n=1时，左边是1+2+3+4，是由1加到n+3，故选D.,2.(2013三明模拟)用数学归纳法证明等式:1+2+3+n2= (nN*),则从n=k到n=k+1时,左边应添加的项 为 () (A)k2+1 (B)(k+1)2 (C) (D)(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2,【解析】选D.n=k时,等式左边=1+2+3+k2,n=k+1时,等式左边=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.比较上述两个式子,n=k+1时,等式的左边是在假设n=k时等式成立的基础上,等式的左边加上了(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2.,3.(2013龙岩模拟)已知f(n)= (nN*)，用数 学归纳法证明不等式f(2n) 时，f(2k+1)比f(2k)多的项数 是 . 【解析】多的项数等于2k+1-2k=2k. 答案：2k,