电动力学电磁波的辐射.pptx

输入输入导导行行电电磁磁波波发射天线发射天线接收天线接收天线电磁波的传播电磁波的传播入射、反射、透射、绕射入射、反射、透射、绕射传输传输导导行行电电磁磁波波第1页/共89页 由发射机产生的高频振荡能量，经过发射天线由发射机产生的高频振荡能量，经过发射天线变为电磁波能量，并向预定方向辐射，通过媒变为电磁波能量，并向预定方向辐射，通过媒质传播到达接收天线附近。接收天线将接收到质传播到达接收天线附近。接收天线将接收到的电磁波能量变为高频振荡能量送入接收机，的电磁波能量变为高频振荡能量送入接收机，完成无线电波传输的全过程。完成无线电波传输的全过程。第2页/共89页发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。在这个过程中，经历了信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的传输、发电磁波的传输、发射、传播、接收等过程射、传播、接收等过程。 接收机接收天线馈线下行波 发射机发射天线馈线导行波第3页/共89页拉杆天线拉杆天线第4页/共89页引向天线引向天线第5页/共89页第6页/共89页对数周期天线第7页/共89页中国远中国远程相控程相控阵雷达阵雷达第8页/共89页螺旋天线螺旋天线第9页/共89页微带天线微带天线第10页/共89页 （1 1) ) 一、矢势 完全类似稳恒磁场的矢势的定义得时变电磁场 的矢势! 因为 所以0BABA1 电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势1.1.1 1 用势描述电磁场二、标势因为)(AttBE第11页/共89页 矢量恒等式： 即 （2 2) ) 所以0)(AtE0)(（a) a) （b) b) 比较式(a)(a)和(b)(b)得： AtEAtE 分别为时变电磁场矢势和标势。 注意这里的 没有静电场中电势的意义!,A第12页/共89页一、洛伦兹规范( (规定) )因为 仅仅规定矢势 的旋度，由亥姆霍兹定理知：要唯一确定矢势，还必须规定矢势的散度值 ! ! 否则矢势 不唯一! ! 不唯一导致标势 也不唯一! !ABAAAA对时变电磁场，通常规定矢势的散度为：tA012tcA（1 1） 或1.21.2 规范变换和规范不变性 式(1)(1)是洛伦兹规范( (规定) )！第13页/共89页例如：任意矢势和任意标势为tAA000A 是给定矢势， 是给定标势， 是任意标量函数！式（a)a)称为规范变换。由式(a)(a) 确定电场强度和磁感应强度为0,A0000000)(AttAttAtEAAAAB（a) 上式表示：由不同的矢势和标势 和确定相同的电场 和磁场 ! ! 称为规范不变性。),(00A),(AEB第14页/共89页要唯一确定 ，即唯一确定标量函数 ，还必须规定 散度值( (洛伦兹规范) )：，AAtA（b) 22020ttA由式（c)c)确定一个标量函数 后，将 代入式(a)(a)唯一确定矢势 和标势 。将式(a)代入式(b)得：A（c) c) 任何物理量和物理规律作与式(a)类似的规范变换后， 保持不变，称为规范不变性。第15页/共89页自由222ttAEE自由自由)(tA自由At2（1 1） 洛伦兹规范( (规定) )：tA因为（a) （b) 将式(b)代入式(a)得：（c) （d) 将式(d)(d)代入式(c)(c)得标势的微分方程：1.31.3 达朗贝尔方程 第16页/共89页tAEABHtEJH/传导)(1tAtJA传导因为)(222tAJtAA传导（a) （c) （b) 将式(b)和(c)代入式(a)得：（d) （f) （e) 将式(e)代入式(d)得：AAA2)(矢量等式：矢量等式：第17页/共89页A是矢势 的源， 是标势 的源! ! ，AtAEAB,BE传导J自由由式(1)(1), , (2)(2)求得 后, ,再代入 求求电场电场强度强度 和和磁感磁感强度强度 ！ （2 2） 洛伦兹规范( (规定) )：tA（g) 将式(g)(g)代入式(f)(f)得矢势的微分方程：传导JAtA222第18页/共89页式(1)(1), , (2)(2)具有相同的形式，称为达朗贝尔方程。其意义是：电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势以相同波动方式在空间传播，而由他们导出的电磁场E和B也以波动方式在空间传播。 传导JAtA222自由222t(1)(1)(2)(2)第19页/共89页二、时变电磁场的推迟势积分形式 矢势和标势满足达朗贝尔方程： (1/)v一、静态场的电势和磁矢势的积分方程VRVdr )(412其解为：VVdRrJAJA)(422222222211tvJtAvA2 推迟势推迟势（a a）（1）第20页/共89页式(2)(2)是体积V V内时变体分布电荷源和电流源在场点P P产生的标势和矢势。（2 2）在体积V V内有时变电荷源 和电流源 分布。对比式(a)(a)得达朗贝尔方程（1 1）的解为： ),(trVVdRvRtrJtrA)/,(4),(VVdRvRtrtr)/,(41),(),(trJ式（2 2）推导： 现求解式（1 1）的A,时变点电荷元 产生标势 满足Vdtrdq),(),(tR)(12222rrdqtv自由第21页/共89页222210vt 点电点电荷元荷元 观察点观察点 P PR),(tR因为标势有球对称，与角变量无关，只与R角变量无关。在球坐标中，上式变为01122222tvRRRRRtRutR/ ),(),(设 ，代入上式有0122222tuvRuVdtrdq),( rrO),(),(tRtzyx2/ 1222)()()(zzyyxxRrrR时变点电荷元以外区域的标势 满足),(tR第22页/共89页上式是一维波动方程，其解是球面波： 波源波源观察点观察点P PR)(),(vRtftRuRvRtftR/)(),(因为静点电荷元 的电势：Vdtrdq),(可设想时变点电荷的标势也有形式(b)(b)。由式(a)(a)和(b)(b)得时变点电荷元 产生的标势为RVdvRtrtRd4),(),(),(tRrrRVVdtrdq),(RVdrRd4)()(Vdrdq)(（a)(b)(c)第23页/共89页同理，得时变体分布电流源产生的矢势：式(2)(2)表示：场点P P在时刻t t的标势和矢势不是由同一时刻t t的电荷电流分布决定，而是由较早时刻（t-R/v)t-R/v) 的电荷电流分布决定。因此达朗贝尔方程的解式(2)(2)称为推迟势。电磁场以有限速度v v向外传播。 （2 2）时变电荷源以 分布在体积 V V内，对式( (c)c)积分得时变体分布电荷源在场点P P产生的标势为),(trVVdRvRtrJtrA)/,(4),(VVdRvRtrtr)/,(41),(（2 2）第24页/共89页三、电磁波辐射的求解方法1 1、已知时变电荷源 和电流源 的空间分布后。2 2、由式 求得矢势和标势的时间和空间分布。3、将求得的矢势和标势。代入下式求电磁场 的时间和空间分布。),(tr),(trJVVdRvRtrtr)/,(41),(VVdRvRtrJtrA)/,(4),(AttrE),(AtrB),(第25页/共89页3 电偶极辐射电偶极辐射电磁波是从交变运动的电荷系统或交变电流天线辐射出来的。3.1 3.1 计算辐射场的公式（正弦时谐电磁场 的推迟势积分形式） 电荷源作正弦变化：tiertrtr)()cos()(),(电流源作正弦变化：tierJtrJtrJ)()cos()(),(（a）第26页/共89页将式(a)(a)代入下式得正弦变化矢势和标势的复数形式为VvRtiVdRerJtrA)()(4),(（1 1）VVdRvRtrJtrA)/,(4),(VvRtiVdRertr)()(41),(VVdRvRtrtr)/,(41),(式(1)(1)表示：空间场点R R处 的相位比电荷电流源 的相位落后 ! ! 是电磁波从电荷电流源 处传递到场点所用的时间!A,J,kRvR /J,第27页/共89页波源波源观察点观察点P PR（2 2）VikRVdeRrJrA)(4)(VikRVdeRrr)(41)(2/1222)()()(zzyyxxRrrR)(),(rArVrrO将(1)(1)式中 去掉得正弦变化矢势和标势的复数形式：tie第28页/共89页式中， 波数，推迟作用因子 表示电磁波从电荷电流源传至观察点有相位 滞后。对正弦交变电流 ， 由式（2）完全确定辐射的电磁波。2kikRekRtierJtrJtrJ)()cos()(),(交变电流分布在小区域，即小区域的线度 小于电磁波的波长 和观察距离 ：rll,lr3.2 3.2 矢势的展开式第29页/共89页 OP电磁作用的区域分成三个区域：1 1、近区： 。因 ，电磁场保持恒定电场和磁场的特点。2、感应区： 。为过渡区域。3 3、远区（辐射区）： 。电磁场为横电磁波。对远区有：R1,1ikRekRRRrerRr（a a）将式(a)(a)代入RrrVikRVdeRrJrA)(4)(第30页/共89页 OP（a a）RrrVrerikrerVderJrArr)()(4)(注意到相因子 不能忽略 ，分母 ，可忽略 ，即取 。式(a)(a)作近似为)(rerikre reikrererr rerrR VreikrikrVrerikrVderJeVderJrArr)(4)(4)()(（b b）得：第31页/共89页将式( (a)a)中将相因子对 作级数展开，有： rekr VrikrVdreikrJrerA.)1)(4)(式（1 1）中的第一项是电偶极辐射，第二项是磁偶极辐射和电四极辐射。我们只讨论电偶极辐射，对磁偶极辐射和电四极辐射不作要求。（1 1）第32页/共89页发射机时变电信号导线接地接地电基本振子天线结构dladli d l赫兹电偶极子( )q t( )q t高频电流的直导线，当导线长度远小于波长时，称为电偶极子。近似认为导线上每一点的电流都有相同的振幅和相位。tQtqsin)(0tItIcos)(0lId3.3 3.3 电偶极子（电基本振子）辐射第33页/共89页一、电基本振子的电磁场 取载流为I(t)I(t)的短导线，长度为dldl，横截面积为S S，因为短导线的体积dV=SdldV=Sdl，线电流元为 tItIedlIVdJzcos)(00O线电流元第34页/共89页在球坐标系中, ,矢势的球坐标分量为：ikrzrerdlIAA4coscos004sinsin0AerdlIAAikrzzzikrzlikrzeAerdlIeerdlIerA0044)(0sinsin11)(2ArArerreerArHrr线电流元在场点P P点产生的矢势（推迟势）为将式(a)(a)的矢势代入下式求得磁场强度复数形式：(a)(a) 第35页/共89页(1) 20200sin14rjkrHHk I dljHekrkr（ ）3j02303j02302cos1j4cosj1j40krrkrI dlkEekrkrI dlkEekrkrkrEEiH将式(1)(1)代入 得电场强度复数形式： (2) ikreiiiiikreikre第36页/共89页二、电基本振子的电磁场分析 1 1、近区场 当kr 1 1时，即r kr 1 1时，r r ，场点P P与源点距离r r 远大于波长的区域称为远区！在远区中 32)(1)(11krkrkr由上式( (1)1)和(2)(2)作上面近似得远区电磁场复数形式：20000sinsin42sinsin42jkrjkrjkrjkrI dlkI dlEjejerrI dlkI dlHjejerr2、远区场（2）iiiiikreikreikreikre第40页/共89页00sin2sin2jkrjkrI dlEjerI dlHjer 远区电磁场的特性：（1 1）电场、磁场和传播方向相互垂直，横电磁波(TEM(TEM波) )！电磁能量沿波传播方向传播，称为辐射场。远区电磁场与近区电磁场的分布不相同！ ikreikreii第41页/共89页00sin2sin2jkrjkrI dlEjerI dlHjer（2 2）电磁场的振幅与r r成反比，与I I、d dl l / /成正比，特别是电磁场的振幅与电长度dl /dl /有关！为介质的波阻抗。HEikreikreii第42页/共89页00sin2sin2jkrjkrI dlEjerI dlHjer（3 3）电场与磁场的相位相同，等相位面是半径r r球面！等相位面上E E、H H 振幅与 有关，所以辐射场是非均匀球面波！ikreikreii第43页/共89页（4 4）场的方向性：电磁场的振幅正比于sinsin！在垂直于天线轴(Z(Z轴) )的方向( (=90=90) )，辐射场最大；平行天线轴(Z(Z轴) )的方向( (=0=0) )，辐射场为零。电基本振子的辐射有方向性，方向性是天线的一个主要特性。 00sin2sin2jkrjkrI dlEjerI dlHjeriiikreikre第44页/共89页( , )sinF 电偶极子（电基本振子）的方向性函数为 立体方向图面方向图 E0(0 )面方向图 H0(90 )第45页/共89页00s in2s in2jk rjk rId lEjerId lHjer平均能流密度矢量：21Re21ReHEeHESravikreikreii3.4 3.4 辐射能流和辐射功率20)sin2(21rdlIeSrav将 代入上式得平均能流密度矢量为：（3 3）第46页/共89页以电基本振子天线为球心，用一个半径为r r的球面把它包围起来，平均能流密度矢量在球面上的积分值是天线辐射出的功率。avSavSavSS球面辐射功率为ddrrdlISdSPSavrsin)sin2(21220200 （4 4）空气的波阻抗 20)2(31dlI第47页/共89页120000220402rI dlP2( / )rPdl空气中的辐射功率为天线的辐射功率等效为电流I(t)I(t)在等效电阻上平均的损耗功率，该等效电阻称为辐射电阻。令 rTTrrrrRIdtRtITdttPTtPPRtIRtItP2000220220221)(cos1)(1)()(cos)()(rrRIP2021第48页/共89页辐射电阻为： 辐射电阻是天线的重要参数，衡量天线的辐射能力，辐射电阻越大，天线的辐射功率越强。它仅取决于天线的结构与工作波长。（5 5）2220)(802dlIPRrr第49页/共89页EBEcccc+-B振荡电偶极子附近的电磁场线第50页/共89页例1、计算长度dl /0 =0.1的电基本振子，当电流振幅值为2 mA时的辐射电阻和辐射功率。222208080(0.1)7.8957rdlR辐射功率为 解： 辐射电阻 WRIPrr791.158957. 7)102(21212320第51页/共89页线天线：天线的横截面的半径远小于电磁波波长：2lIdzr5.2 5.2 半波天线d0,)(sin0,)(sin)(00zlezlkIlzezlkIzItitiRoyz5 天线天线辐射辐射振荡器中心馈给电流的线天线，天线上电流是驻波形式，两端是波节，天线长为l l。天线上电流对称分布为：zI一、对称天线的电流分布第52页/共89页2/2l23/4l2l23/2l不同长度对称天线上的电流分布图2/2l4/32ll 22/32l)(zI)(zI)(zI)(zIzzzzoooo两段长度为 的直导线，从中间对称供给电流，构成对称天线。l对称天线上的电流分布为：0sin(|)IIk lz第53页/共89页RrcoszcoszrRo第54页/共89页 利用电偶极子（电流元）的远区辐射电场公式： 对称天线上任意电流元在远区产生电场为： 在分母上可取 ，相位因子中取 ，上式变为rRikrerdzzIiEsin2)(ikReRdzzlkIidEsin2)(sin0coszrR)cos(0sin2)(sinzrikeRdzzlkIidE第55页/共89页由式(1)(1)和(2)(2)可见：对称天线辐射电磁波是TEMTEM波，非均匀球面波，其方向性由 角决定！（1）对称天线上电流在远区产生电场为：llikzikrlldzezlkeRIidEEcos0)(sinsin2sin)cos()coscos(20klklerIiEikr对称天线上电流在远区产生磁场为：（2 2）sin)cos()coscos(20klklerIiEHikr第56页/共89页半波天线： ，由式(1)(1)和(2)(2)得对称半波天线辐射电磁波为二. . 对称天线的电参数 1 1、 对称天线的方向性函数对称天线的未归一化方向性函数：（3 3）sin)cos()coscos(/60),(),(0klklrIEf22lsin)cos2cos(20ikrerIiEsin)cos2cos(20ikrerIiH第57页/共89页 仅与 有关，与 无关。对称天线的归一化方向性函数：（4 4）),(fsin)cos2cos(),(Fmax),(),(ffF2 2、 对称天线的辐射功率和辐射电阻平均能流密度矢量：21Re21ReHEeHESrav对称半波天线的归一化方向性函数为：第58页/共89页半波天线的辐射功率和辐射电阻为： 128.73220IPRrrddrESdSPSavrsin222002 dklklIPRrr0220sin)cos()coscos(602dklklI0220sin)cos()coscos(30200220564.36sin)cos2cos(30IdIPr对称天线的辐射电阻为： （5 5）对称天线的辐射功率为： 第59页/共89页1. 1. 什么是天线阵？什么是天线阵？若干个辐射单元以各种形式（如直线、圆环、三角和平面等）在空间排列组成的天线系统称为天线阵。 2. 2. 控制天线阵辐射的因素有哪些？(1)阵元数目；(2)阵元排列方式；(3)阵元间距；(4)每个阵元的馈给电流的大小和相位。 天线阵的概念：5.3 5.3 天线阵第60页/共89页例如，二元天线阵是由相隔一定距离的两个辐射天线元组成。 纵向二元阵 横向二元阵 第61页/共89页在电磁场中，电荷连续分布在体积V V内，单位体积运动电荷受电场和磁场力( (洛伦兹力密度）为：（2 2）BJEf传导自由7 电电磁场的动量磁场的动量7.1 7.1 电磁场的动量密度和动量流密度电磁场的动量密度和动量流密度HE,电磁场运动电荷传导自由JHE,SV ,体积V V内运动电荷受电场和磁场力( (洛伦兹力）为：VVdVBJEdVfF)(传导自由（1）一、电磁场和电荷系统动量守恒定律第62页/共89页在真空中，麦克斯韦方程为)(00tEJB传导自由01E(a) 将式( (a)a)分别代入式(1(1) )中的 得： 传导自由J,BtEBBEEf000)(1)(b) (b) 用麦克斯韦方程 , , 将式( (b)b)写成对电场和磁场对称形式： tBE0B)()(1)()(1)(00000BEtBBEEBBEEf(c) (c) 第63页/共89页(3)(3) 定义电磁场的动量密度（单位体积电磁场的动量）为用矢量等式将式（c）中方括号写为一个张量的散度：由矢量等式得： )(0HEgEEEE)()()(21)()(EEEEEE)(21)()(2EIEEEE第64页/共89页(d) (d) )(21)(2EIEEEEEE)()()21(2EIEE(e) (e) 同理得 )21()()(2BIBBBBBB定义电磁场的动量流密度张量（或称为电磁场应力张量）为)1(21)1(202000BEIBBEET(4)(4) 式(4)中 是单位张量。I第65页/共89页将式( (d)d)、式( (e)e)、式(3(3) )和式(4(4) )代入式( (c)c)得： Tgtf(5(5) )将式(5)在电荷分布体积V V内积分得：SdTdVTdVgdtddVfSVVV(6(6) )SdTdVgdtddVfSVV式(5)(5)和式(6)(6)分别是电磁场和电荷系统动量守恒定律的微分方程和积分方程！第66页/共89页式(6)(6)中各项的物理意义：单位时间内体积V V中电磁场动量的增加值。体积V V内电磁场总动量。VdVfFVdVgdtddtGd体积V V内运动电荷受电场和磁场力，或单位时间内体积V V内运动电荷的总机械动量的增加值。VdVgG电磁场的动量流密度张量（或称为电磁场应力张量）。T第67页/共89页SV ,n式(6)(6)用文字表述为：单位时间内！从表面S S流入体积V V的电磁场动量= =体积V V中运动电荷的总机械动量的增加值+ +体积V V中电磁场动量的增加值！SdTS单位时间从表面S S流入体积V V的电磁场动量！SdTSHE,电磁场运动电荷 电磁场第68页/共89页EecBn1电磁场的动量密度矢量为： ScHEBEg20001)()(对平面时谐正弦电磁波，有：二、电磁场的动量密度矢量与能流密度矢量的关系 (7(7) )式(7)中 是电磁场的能流密度矢量。S电磁场的时间平均动量密度矢量为： Re2)(1)(10000BEdtBETdttgTgTTav(8(8) )( (f)f)第69页/共89页将式( (f)f)代入式(8(8) )得： (9(9) )(10(10) )naveEEcg)(20将平面电磁波的能流密度矢量：代入式(7(7) )得电磁场的动量密度矢量为： necwSnecwg式(10)中 是平面电磁波的能量密度。w第70页/共89页三、电磁场的动量流密度张量的意义在直角坐标系中，电场和磁场为kzyyxxkzyyxxeBeBeBBeEeEeEE,( (g)g)将式( (g)g)代入动量流密度张量式(4(4) )得 张量的9个直角坐标分量： TzyxjiBEBBEETijjijiij,),1(211202000(11(11) )分量 的意义是：通过垂直于直角坐标系 i 轴的单位面积流过的动量 j j 轴的分量。), (zyxjiTij第71页/共89页例如：POzxyxxTxzTxyTzxzyxyxxxpTpTpT单位面积电磁场的动量第72页/共89页xzyOABCS如图：ABCABC为一面元 ，这面元的直角坐标三个分量分别是三角形OBCOBC，OCAOCA和OABOAB的面积。OABCOABC是一个体积元 。通过三角形OBCOBC面的单位面积流入体内的动量三个直角坐标分量为： S SzxzyxyxxxpTpTpT,通过三角形OCAOCA面的单位面积流入体内的动量三个直角坐标分量为：zyzyyyxyxpTpTpT,VV第73页/共89页通过三角形OABOAB面的单位面积流入体内的动量三个直角坐标分量为：zzzyzyxzxpTpTpT ,xzyOABCS S当体积 时，通过三个三角形OBCOBC，OCAOCA和OABOAB面流入体内的动量等于从三角形ABCABC面流出的动量。因此，通过三角形ABCABC面流出动量的三个直角坐标分量为：0VVzxzyxyxxxxTSTSTSpzyzyyyxyxyTSTSTSpzzzyzyxzxzTSTSTSp第74页/共89页通过三角形ABCABC面流出动量矢量为：上式是通过面元 流出的动量。由上式得通过闭合面 流出的总动量为：TSepepeppzzyyxx SSdTpdSSS第75页/共89页同样可证 0 ,0B TT ET B 0E T第76页/共89页0 ,0E TT EB TT B11 1 112 1 213 1 31121 2 12222232331 3 1323233 3 3TTTTTTTTT e ee ee ee Tee ee ee ee ee ee e11 112213 3TTTeee1112TT013T0第77页/共89页1121TT221 122223 3TTTeTeee2122TT212 122233 3TTTT eeee1222TT由此可见，T只有分量33T，即T只有沿kk的分量， 用0BkEk，可求得 1111212313TTTT eeee031T0023T0032T0第78页/共89页2200112EBkk第79页/共89页7.2 7.2 辐射压力辐射压力一、辐射压力的产生由于电磁波具有动量，它入射于物体时对物体施加压力，这种压力称为辐射压力。可见光引起的辐射压力称为光压。二、辐射压力的公式平面电磁波斜入射（入射角 ）到理想导体表面上，作用在导体单位面积的压力为：2cosavwP (1(1) )式(1)中 是导体外电磁波的平均能量密度。avw第80页/共89页式(1)推导：1、在体积 内入射平面电磁波的动量为：cc理想导体表面单位面积入射波反射波coscV coscosavavavwcgVgp入射入射入射入射2、在体积 内反射平面电磁波的动量为：coscosavavavwcgVgp反射反射反射反射coscV 3、在全反射时，平面电磁波的动量变化为：入射p反射p第81页/共89页理想导体表面入射波反射波2cos)(coscosavavwwppp反射入射反射入射5、理想导体单位面积上 受压力（压强）为：22coscos)(avavavwwwpF入射入射4、理想导体外电磁波的总平均能量密度等于入射电磁波的平均能量密度+入射电磁波的平均能量密度，即为avavavavwwww入射反射入射2入射p反射pp入射波第82页/共89页 nrEiBiErB导 体真 空第83页/共89页002121iiEE1EE第84页/共89页220001112EB n TnEEBBI20112Bn22cosin2202cosiBn第85页/共89页洛伦兹规范为Z012tcA（1 1） 第7次作业第五章 P. 186 5题 问题（3）不要！（1）解：矢势和标势满足达朗贝尔方程： 022220222211tcJtAcA（2 2） 将标势用赫兹矢量 表示为：（3 3） Z将式(3(3) )代入洛伦兹规范式(1(1) )得： 第86页/共89页（4 4）0)1(2tZcAtZcA21式(4(4) )中 是无散度的量，对任一时刻成立，假设t=0t=0时刻该量是零，得： )1(2tZcA（2）解：将自由电荷密度用矢量 表示为：PP（1）第87页/共89页PZtcZ022221)(1)(（2 2） 将 ， 代入得： PZ022221tc由式(2(2) )得：0)11(02222PZtcZPZtcZ0222211式(4(4) )中 是无散度的量，对任一时刻成立，假设t=0t=0时刻该量是零，得： )11(02222PZtcZ第88页/共89页第1页感谢您的观看！第89页/共89页