《平面直角坐标系》课件.ppt

一平面直角坐标系的建立思考思考:声响定位问题声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各，已知各观测点到中心的距离都是观测点到中心的距离都是1020m，试确定，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为度为340m/s，各相关点均在同一平面上），各相关点均在同一平面上）(2004年广东高考题年广东高考题)y yx xB BA AC CP Po o 以接报中心为原点以接报中心为原点O，以，以BA方向为方向为x轴，建立轴，建立直角坐标系直角坐标系.设设A、B、C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点， 设设P（x,y）为巨响为生点，由）为巨响为生点，由B、C同时听同时听到巨响声，得到巨响声，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分线线PO上，上，PO的方程为的方程为y=x，因，因A点比点比B点晚点晚4s听到爆炸声，听到爆炸声，y yx xB BA AC CP Po o则则 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)故故|PA| |PB|=3404=1360由双曲线定义知由双曲线定义知P点在以点在以A、B为焦点的为焦点的双曲线双曲线 上，上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心距中心 处处.m10680用用y=x代入上式，得代入上式，得 ，|PA|PB|,5680 x 解决此类应用题的关键：解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐坐 标标 法法例例1.已知已知ABC的三边的三边a,b,c满足满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边分别为边AC,CF上上的中线，建立适当的平面直角坐标系的中线，建立适当的平面直角坐标系探究探究BE与与CF的位置关系。的位置关系。(A)FBCEOyx以以ABC的顶点为原点的顶点为原点，边边AB所在的直线所在的直线x轴，建立直角轴，建立直角坐标系，由已知，点坐标系，由已知，点A、B、F的的坐标分别为坐标分别为解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cCx y设点 的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）.2 22222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因为2()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BE与与CF互相垂直互相垂直.建系时，根据几何特点选择适当的直角建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。坐标轴上。【思维导图思维导图】题型一运用坐标法解决解析几何问题【例1】解解以以O1O2的中点的中点O为原点，为原点，O1O2所在的所在的直线为直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则标系，则O1(2，0)，O2(2，0)【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：尽量把点和线段放在坐标轴上对称中心一般放在原点对称轴一般作为坐标轴已知圆已知圆C1：(x3)2y21和圆和圆C2：(x3)2y29，动，动圆圆M同时与圆同时与圆C1及圆及圆C2相外切，求动圆圆心相外切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程【变式1】解在在 ABCD中，求证：中，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)思维启迪思维启迪 解答本题可以运用坐标方法，先在解答本题可以运用坐标方法，先在 ABCD所在所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，的坐标，再由距离公式完成证明也可以运用向量的线性运算以及数再由距离公式完成证明也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明量积运算加以证明题型二用坐标法解决平面几何问题【例2】解解 法一法一坐标法：以坐标法：以A为坐标原点为坐标原点O，AB所在的直线为所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOy，【反思感悟反思感悟】 本例实际上为平行四边形的一个重要定理：本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明和法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的这种的这种“以算代证以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式的解题策略就是坐标方法的表现形式之一法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给之一法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感人以简捷明快之感已知在已知在ABC中，点中，点D在在BC边上，且满足边上，且满足|BD|CD|，求证：，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)【变式2】证明法一以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，法二法二 延长延长AD到到E，使，使DEAD，连接连接BE，CE，则四边形则四边形ABEC为平行四边形，为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得得|AE|2|BC|22(|AB|2|AC|2)，即，即(2|AD|)2(2|BD|)22(|AB|2|AC|2)，所以，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)二二. .平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换思考：思考：（1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=sin2x?xO 2 y=sinxy=sin2x 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来的的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12 上述的变换实质上就是一个坐标的上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：压缩变换，即： 设设P(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意一点，一点，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩缩为原来为原来 ，得到点得到点P(x,y).坐标对应关坐标对应关系为：系为：12x= xy=y121通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x=xy=3y2通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。的一个坐标伸长变换。2 在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），），保持横坐标保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原不变，将纵坐标伸长为原来的来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来的的 ，在此基础上，将纵坐标变为原，在此基础上，将纵坐标变为原来的来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x= xy=3y123通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。的一个坐标伸缩变换。3定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中任意一点，在变换任意一点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。行伸缩变换。0,02平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸 缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研 究几何变换究几何变换想一想想一想如何理解点的坐标的伸缩变换？如何理解点的坐标的伸缩变换？提示提示在平面直角坐标系中，变换在平面直角坐标系中，变换将点将点P(x，y)变换到变换到P(x，y)当当1时，是横向拉伸变换，当时，是横向拉伸变换，当01时，是纵向拉伸变换，当时，是纵向拉伸变换，当01时，时，是纵向压缩变换是纵向压缩变换题型三平面直角坐标系中的伸缩变换【例3】思维启迪思维启迪 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解标，利用方程的思想求解【变式3】求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线变成曲线x2y21. 思维启迪思维启迪 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆方法技巧求图形伸缩变换的策略【示例】【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x，y表示练习：练习：1.在直角坐标系中，求下列方程所对在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换应的图形经过伸缩变换x=xy=3y后的图形。后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，求满足下列在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变变为曲线为曲线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的的方程并画出图形。方程并画出图形。x=3xy=y思考：在伸缩思考：在伸缩 下，椭圆是否可以下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？线？4课后习题解答课后习题解答习题习题1.1(第第8页页)1 1解解设两定点设两定点A、B，以线段，以线段AB的中点为原点，的中点为原点，AB所所 在直线为在直线为x轴建立直角坐标系，则轴建立直角坐标系，则A、B的坐标为的坐标为(3， 0)、(3，0) 设动点为设动点为P(x，y)，由已知得到，由已知得到|PA|2|PB|226， 即即(x3)2y2(x3)2y226，整理得，整理得x2y24. 这就是点这就是点M的轨迹方程这是以的轨迹方程这是以AB的中点为圆心，的中点为圆心，2 为半径的圆为半径的圆2解解以直线以直线l为为x轴，过点轴，过点A与与l垂直的直线为垂直的直线为y轴建立平轴建立平 面直角坐标系则点面直角坐标系则点A的坐标为的坐标为(0，3)设设ABC的外的外 心为心为P(x，y)，因为，因为P是线段是线段BC的垂直平分线上的点，的垂直平分线上的点， 所以所以B、C的坐标分别为的坐标分别为(x2，0)，(x2，0) 因为因为P也在线段也在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上， 整理得整理得x26y50. 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程3.证明证明法一法一如图所示，如图所示，AD，BE， CO分别是三角形分别是三角形ABC的三条高，取边的三条高，取边 AB所在的直线为所在的直线为x轴，边轴，边AB上的高上的高CO 所在的直线为所在的直线为y轴建立直角坐标系设轴建立直角坐标系设 A，B，C的坐标依次为的坐标依次为(a，0)，(b， 0)，(0，c)，由方程由方程与与，解得，解得x0.所以，所以，AD，BE的交点的交点H在在y轴上轴上因此，三角形的三条高线相交于一点因此，三角形的三条高线相交于一点所以(b)(xa)cy0. 得到(ab)x0.因为ab0，所以x0.所以点H在AB边的高线上，即ABC的三条高线交于一点5.