2022年小学数学知识点___ .pdf

学习必备欢迎下载小学数学知识点第一 章 数和数的运算一概念（一 ）整数1 整 数的意义自然 数和0 都是 整数。2 自 然数我们 在数物体的时候，用来表示物体个数的1， 2 ， 3 叫做自 然数。一个 物体也没有，用 0 表 示 。 0 也是自然数。3 计 数单位一（ 个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相 邻两个计数单位之间的进率都是 10 。 这样的计数法叫做十进制计数法。4 数 位计数 单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5 数 的整除整 数 a 除以 整数 b(b 0 ），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能 被 b 整除，或者说b 能整 除 a 。如果 数 a 能被 数 b （ b 0 ）整 除， a 就叫 做 b 的 倍数，b 就叫 做 a 的约数（或 a 的因 数）。倍数和约数是相互 依存的。因 为 35 能 被 7 整除，所以 35 是 7 的倍 数， 7 是 35的约 数。一个 数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大 的 约数是它本身。例如：10的约 数有 1 、2 、5、10 ，其中最小的约数是1，最大的约数是10 。一 个数的倍数的个 数是无 限的 ，其中最小的倍 数是它本身 。 3的 倍数有 ： 3、 6 、 9 、 12 其中 最小的倍 数是 3 ，没有最大的倍数。个位 上是0 、 2、 4 、 6 、 8 的数 ，都能被2 整 除 ， 例 如 ： 202 、 480 、 304 ， 都能 被 2 整 除。 。个位 上是0 或 5 的数 ， 都 能 被 5 整除，例如： 5 、 30 、 405都能 被 5 整除。 。一个 数的各位上的数的和能被3 整除，这个数就能被3 整 除，例如：12 、 108 、 204都 能 被 3 整 除 。一个 数各位数上的和能被9 整除 ，这个数就能被 9 整 除。能 被 3 整除的数不一定能被9 整除，但是能被9 整除的 数一定能被3 整除 。一个 数的末两位数能被4（ 或 25 ）整除，这个数就能被4（或25 ）整除。例如：16 、 404 、1256都能 被 4整除 ， 50 、 325 、 500 、 1675都 能 被 25 整除 。一个 数的末三位数能被8 （ 或 125 ）整除 ，这个数就能被8 （ 或 125 ）整除 。例如：1168、 4600、 5000 、12344都能被8 整 除， 1125、 13375、 5000都 能 被 125整除 。能 被 2 整除的数叫做偶数。不能 被 2 整除的 数叫做奇数。0 也 是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个 数，如果只有1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）， 100以内的质数有： 2 、3 、 5 、 7、11 、 13 、 17 、19 、 23 、 29 、 31 、 37 、41 、 43 、47 、 53 、59 、 61 、 67 、 71 、 73 、 79 、 83 、 89 、 97 。一个 数，如果除了1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4 、 6、 8、 9 、 12都 是合数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页学习必备欢迎下载1 不 是质数也不是合数，自然数除了 1 外， 不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分 为质数、合数和 1 。每个 合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=35 ， 3 和 5 叫 做 15 的 质 因 数 。把一 个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分 解质因数。例如 把 28分解 质因数几个 数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数 有 1、 2 、3 、4 、6、 12 ； 18 的约数有 1 、2 、3、 6 、 9 、18 。其中 ，1 、 2 、3 、6 是 12和 1 8的 公约数，6 是 它们的最大公约数。公约 数只有1 的 两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 和 任何自然数互质。相邻 的两个自然数互质。两个 不同的质数互质。当合 数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个 合数的公约数只有1 时，这两个合 数互质 ，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果 较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果 两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。几个 数公有的倍数，叫做 这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公 倍数，如2 的 倍数 有2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 3 的 倍数有3 、6、9 、12 、15 、18 其 中 6 、12 、18 是 2、3 的 公 倍数 ，6 是 它们的最小公倍数。如果 较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如 果 两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个 数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二 ）小数1 小 数的意义把整 数 1 平均分 成 10 份 、 100份 、 1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可 以 用小 数 表示 。一位 小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一个 小数由整数部分、 小数部分和小数点部分组成。 数中的 圆点叫做小数点， 小数点左边的数叫做整数部分，小数 点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小 数 里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 。小数 部分的最高分数单位 “ 十分 之一 ” 和整数部分的最低单 位 “ 一 ” 之间的进率也是10 。2 小 数的分类纯小 数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都 是纯 小 数 。带小 数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例 如 ： 3.25 、 5.26 都是 带 小 数 。有限 小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例 如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页学习必备欢迎下载无限 小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例 如 ： 4.33 3.1415926 无限 不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如 ： 循环 小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如 ： 3.555 0.0333 12.109109 一个 循环小数的小数部分 ，依次 不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节 。 例如 ： 3.99 的循 环节 是 “ 9 ”， 0.5454 的循 环节是 “ 54 ”。纯循 环小数：循环节从小 数部分 第一位开始的，叫做纯循环小数。例 如 ： 3.111 0.5656 混循 环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 写循 环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一 个圆点。如果循环节 只 有 一 个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 简 写作 0.5302302 简 写 作。（三 ）分数1 分 数的意义把单 位 “1” 平均分 成若干份，表示这样的一份或者 几份的数叫做分数。在分 数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位 “1” 平均 分成多少份；分数线下面 的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单 位 “1” 平均分 成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 分 数的分类真分 数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1 。假分 数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1 。带分 数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3 约 分和通分把一 个分数化成同它相等但是分子、 分母都比较小的分数，叫 做约分。分子 分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异 分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四 ）百分数1 表 示一个数是另一个数的百分之几的数叫做 百分数 ,也叫 做百分率或百 分比。百分数通常用% 来 表示 。百分 号是表示百分数的符号。二方法（一 ）数的读法和写法1. 整数的 读法：从高位到低位 ，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个 “ 亿 ” 或 “ 万 ” 字。每一级末尾的0 都不读出来，其它数位连续有几个0 都 只 读一 个 零 。2. 整数的 写法：从高位到低位 ，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。3. 小数的 读法：读小数的时候 ，整数部分按照整数的读法读，小数点读作 “ 点 ” ，小数 部分从左向右顺次读出每 一位数位上的数字。4. 小数的 写法：写小数的时候 ，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每 一个数位上的数字。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页学习必备欢迎下载5. 分数的 读法：读分数时，先 读分母再读“ 分 之 ” 然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6. 分数的 写法：先写分数线， 再写分母，最后写分 子，按 照整数的写法来写。7. 百分数 的读法：读百分数时 ，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。8. 百分数 的写法：百分数通常 不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“ % ” 来 表示。（二 ）数的改写一个 较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“ 万 ” 或 “ 亿 ” 作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个 数某一位后面的数，写成近似数。1. 准确数 ：在实际生活中，为 了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是 原数的准确数。 例如 把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万； 改写成以亿做 单位的数 12.543 亿 。2. 近似数 ：根据实际需要，我们 还可以把一个较大的数，省 略某一位后面的尾数， 用一 个近似数来表示。例如 ： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿 。3. 四舍五 入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者 比 4 小 ，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是 5 或者 比 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1 。例如：省略 345900 万后面 的尾数约是 35 万 。省 略 4725097420 亿后面的尾数约 是 47 亿 。4. 大小比 较1. 比较整 数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个 数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。2. 比较小 数的大小：先看它们 的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的 那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大3. 比较分 数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分 子都不相同的，先通分，再比较 两个数的大小。（三 ）数的互化1. 小数化 成分数：原来有几位 小数，就在1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分 的要约分。2. 分数化 成小数：用分母去除 分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保 留三位小数。3. 一个最 简分数，如果分母中 除了2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母 中含有2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4. 小数化 成百分数：只要把小 数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5. 百分数 化成小数：把百分数 化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6. 分数化 成百分数：通常先把 分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数 ) ，再把 小数化成百分数。7. 百分数 化成小数：先把百分 数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四 ）数的整除1. 把一个 合数分解质因数，通 常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除 数和商写成连乘的形式。2. 求几个 数的最大公约数的方 法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数 1 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页学习必备欢迎下载止 ， 然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。3. 求几个 数的最小公倍数的方 法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两 互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。4. 成为互 质关系的两个数： 1 和任何自然数互质； 相邻 的两个自然数互质；当合 数不是质数的倍数时，这个 合数和这个质数互质；两个合 数的公约数只有1 时， 这两个合数互质。（五 ） 约分和 通 分约分 的方法：用分子和分母的公约数（ 1 除 外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。通分 的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数 。三性质 和规律（一 ）商不变的规律商不 变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二 ）小数的性质小数 的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三 ）小数点位置的移动引起小数大小的变化1. 小数点 向右移动一位，原来 的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍 ； 小数 点向右 移动三位，原来的数就扩大1000倍 2. 小数点 向左移动一位，原来 的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍 ； 小数 点向左 移动三位，原来的数就缩小1000倍 3. 小数点 向左移或者向右移位 数不够时，要用 “ 0 补足位 。（四 ）分数的基本性质分数的 基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（五 ）分数与除法的关系1. 被除 数 除 数 = 被 除 数 / 除 数2. 因为零 不能作除数，所以分 数的分母不能为零。3. 被除 数 相 当于分子，除数相当于分母。四运算 的意义（一 ）整数四则运算1 整 数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。- 在加法里，相加的数叫做加数 ，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。- 加 数 + 加 数 = 和一 个加数 = 和 另一个加数2 整 数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。- 在减法里，已知的和叫做被减 数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是 部分数。- 加法和减法互为逆运算。3 整 数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘 法。- 在乘法里，相同的加数和相同 加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页学习必备欢迎下载- 在 乘法 里 ， 0 和任何数相乘都 得 0. 1和任何数相乘都的任何数。- 一 个因 数 一 个因数 = 积一 个 因 数 = 积 另 一 个 因数4 整 数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。- 在除法里，已知的积叫做被除 数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。- 乘法和除法互为逆运算。- 在 除法 里， 0 不能做除数。 因 为 0 和任何数相乘都得0 ，所以任何一个数除以0 ，均得 不到一个确定的商。- 被 除数 除 数 = 商除 数 = 被除 数 商被 除 数 = 商 除数（二 ）小数四则运算1. 小数加 法：小数加法的意义 与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2. 小数减 法：小数减法的意义 与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的 运算 . 3. 小数乘 法：小数乘整数的意 义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数 的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多 少。4. 小数除 法：小数除法的意义 与整数除法的 意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数 的运算。5. 乘方求几 个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 3 =32 （三 ）分数四则运算1. 分数加 法：分数加法的意义 与整数加法的意义相同。是把 两个数合并成一个数的运算。2. 分数减 法：分数减法的意义 与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的 运算。3. 分数乘 法：分数乘法的意义 与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4. 乘积 是 1 的两个数叫做互为倒数。5. 分数除 法：分数除法的意义 与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数 的运算。（四 ）运算定律1. 加法交 换律：两个数相加， 交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。2. 加法结 合律：三个数相加， 先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相 加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘法交 换律：两个数相乘， 交换因数的位置它们的积不变，即ab=b a。4. 乘法结 合律：三个数相乘， 先把前两个数相乘，再乘以 第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相 乘，它们的积不变，即(a b) c=a (b c) 。5. 乘法分 配律：两个数的和与 一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b) c=a c+b c 。6. 减法的 性质：从一个数里连 续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。（五 ）运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页学习必备欢迎下载1. 整数加 法计算法则：相同数 位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。2. 整数减 法计算法则：相同数 位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位 上的数合并在一起，再减。3. 整数乘 法计算法则：先用一 个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数 去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4. 整数除 法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一 位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1 ， 要 补 “0” 占位。每次除得的余 数要小于除数。5. 小数乘 法法则：先按 照整数 乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位， 点上小数点；如果位数不够，就用 “0” 补 足。6. 除数是 整数的小数除法计算 法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果 除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 “0” ，再 继续除。7. 除数是 小数的除法计算法则 ：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不 够的补“0” ） ，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8. 同分母 分数加减法计算方法 : 同分 母分数相加减，只把 分 子相加减，分母不变。9. 异分母 分数加减法计算方法 : 先通 分，然后按照同分母 分数加减法的的法则进行计算。10. 带分 数加减法的计算方法: 整数 部分和分数部分分别 相加减，再把所得的数合并起来。11. 分数 乘法的计算法则 : 分数 乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子 相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12. 分数 除法的计算法则 : 甲数 除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。（六 ） 运算顺 序1. 小数四 则运算的运算顺序和 整数四则运算顺序相同。2. 分数四 则运算的运算顺序和 整数四则运算顺序相同。3. 没有括 号的混合运算: 同级运 算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4. 有括号 的混合运算: 先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5. 第一级 运算：加法和减法叫 做第一级运算。6. 第二级 运算：乘法和除法叫 做第二级运算。五应用（一 ）整数和小数的应用1 简 单应用题（ 1 ） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。（ 2 ） 解 题 步 骤：a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题 中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。b 选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件 和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。C 检验 ：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误 ，马上改正。d 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页学习必备欢迎下载( 3 ) 解答加法应用题：a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。(4 ) 解答减法应用题：a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。 -b求两个 数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。c 求比一个数少几的数的应用题 ：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。(5 ) 解答乘法应用题：a 求 相同加 数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。( 6) 解答除法应用题：a 把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少 。b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。C 求一个 数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用 题。（ 7 ）常见的数量关系：- 总 价 = 单价 数 量- 路 程 = 速度 时 间- 工 作总 量 = 工 作时间 工 效- 总 产量 = 单产 量 数 量2 复 合应用题（ 1 ）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题 。（ 2 ）含有三个已知条件的两步计算的应用题。- 求比两个数的和多（少）几个 数的应用题。- 比较两数差与倍数关系的应用 题。（ 3 ）含有两个已知条件的两步计算的应用题。- 已知两数相差多少（或倍数关 系）与其中一个 数，求两个数的和（或差）。- 已知两数之和与其中一个数， 求两个数相差多少（或倍数关系）。（ 4 ）解答连乘连除应用题。（ 5 ）解答三步计算的应用题。（ 6 ）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题 方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。3 典 型应用题具有 独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。（ 1 ）平均数问题：平均数是等分除法的发展。- 解题关键：在于确定总数量和 与之相对应的 总份数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页学习必备欢迎下载- 算术平均数：已知几个不相等 的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和数量的 个数 = 算术平均数。- 加权平均数：已知两个以上若 干份的平均数，求总平均数是多少。- 数 量关 系式（ 部分 平 均 数 权数 ）的总和（权 数的和 ） = 加权平均数。 - 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数 。- 数量关系式：（大 数小数）2= 小 数应得数最大数 与各数之差的和 总 份 数 = 最大 数应给数最大数与 个数之差的和总 份 数 = 最小数 应得数。例：一辆汽车以每小时 100 千 米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆 车的平均速度。分析 ：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ” ，则汽车行驶的总路程为 “ 2 ” ，从 甲地到乙地的速度 为 100 ，所 用的时间为，汽车 从乙地到甲地速度为 60 千米，所用 的时间是，汽 车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 =75 （千 米 ）（ 2 ） 归一问题：已知相互关联 的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的， 这种问题称之为归一问题。- 根 据求 “ 单一 量 ” 的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。- 根据球痴单一量之后，解题采 用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。- 一次归一问题，用一步运算就 能求出“ 单 一 量 ” 的归一问题。又称 “ 单归一 。 ”- 两次归一问题，用两步运算就 能求出“ 单 一 量 ” 的归一问题。又称 “ 双归一 。 ”- 正归一问题：用等分除法求出“ 单 一 量 ” 之后， 再用乘法计算结果的归一问题。- 反归一问题：用等分除法求出“ 单 一 量 ” 之后， 再用除法计算结果的归一问题。- 解题关键：从已知的一组对应 量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求 算出结果。数量关 系式：单一量 份 数 = 总数量 （正归一）- 总 数量 单一 量 = 份数（反归一）例 一个 织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？分析 ：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 （ 477 4 31 ） =45 （ 天 ）（ 3 ）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求 总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。- 特点：两种相关联的量，其中 一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相 通。- 数量关系式：单位数量单位 个数 另一个单位数量 = 另一个 单位数量单位数 量 单位 个 数 另 一个单 位数量= 另一个单位数量。例 修一 条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？分析：因为要求出 每天修 的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做 “ 归 总 问 题 ” 。不同之处 是 “ 归 一 ” 先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 6 4=1200 （ 米 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页学习必备欢迎下载（ 4 ） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。- 解题关键：是把大小两个数的 和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。- 解题规律：（和差）2 = 大 数大 数 差 = 小 数（和 差）2= 小数和 小数 = 大 数例 某加 工厂甲班和乙班共有工人 94 人 ，因工作需要临时 从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙 班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析 ：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个 乙 班， 即 9 4 12 ， 由此 得到现 在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （ 人），乙班在调出 46 人之 前应该为 41+46=87 （人 ） ， 甲班 为 9 4 87=7 （人 ）（ 5 ）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系 ，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍 问题。- 解题关键：找准标准数（即1 倍 数 ） 一 般 说 来 ， 题中说是 “ 谁 ” 的几倍，把谁就确定为 标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关 系，再去求另一个数（或 几个数）的数量。- 解题规律：和 倍 数 和 = 标准 数标 准 数 倍 数 = 另一个 数例 : 汽车运 输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运 输场有大货车和小汽车各有多少辆 ？分析 ：大货车比小货车的 5 倍 还 多 7 辆 ， 这 7 辆 也 在 总 数 115 辆内 ，为了使总数与（ 5+1 ）倍对 应，总车 辆数应（ 115-7 ） 辆 。列式 为（ 115-7 ） （ 5+1 ） =18 （ 辆 ） ， 18 5+7=97 （辆 ）（ 6 ）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。- 解题规律：两个数的差（倍 数 1 ） = 标准 数标 准数 倍 数 = 另 一 个 数。例 甲乙 两根绳子，甲绳长 63 米 ， 乙 绳 长 29 米 ，两根 绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减 去多少米？分析 ：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍 ，以乙 绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （ 米） 乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米 ）甲绳 剩下的长度， 29-17=12 （ 米 ） 剪去 的长度。（ 7 ）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先 要搞清楚速度、时间 、路程 、方向 、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规 律解答。- 解题关键及规律：- 同时同地相背而行 ：路 程 = 速 度 和 时 间 。- 同时相向而行：相遇时间 = 速 度 和 时 间- 同时同向而行（速度慢的在前 ，快的在后）：追及时间= 路程 速度差。同时同 地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程= 速度 差 时 间 。例 甲在 乙的后面 28 千米，两 人同时同向而行，甲每小时行 16 千米， 乙每小时行 9 千 米 ，甲几 小时追精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页学习必备欢迎下载上乙 ？分析 ：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米 ，这是速度差。已知 甲在乙的后面 28 千 米 （追击 路程）， 28 千 米 里包 含着 几个 （ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间 。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （ 小 时 ）（ 8 ）流水问题：一般是研究船在 “ 流 水 ” 中航行 的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差 问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。- 船速：船在静水中航行的速度 。- 水速：水流动的速度。- 顺水速度：船顺流航行的速度 。- 逆水速度：船逆流航行的速度 。- 顺 速 = 船速 水速- 逆 速 = 船速 水速- 解题关键：因为顺流速度是船 速与水速的和，逆流速度是 船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答 。 解 题时要以水流为线索。- 解题规律：船行速度= （顺水 速度 + 逆 流 速 度 ） 2 流水 速度 = （顺流速度 - 逆流速 度） 2 路 程 = 顺 流速度 顺流航 行所需 时间路 程 = 逆 流速度逆流航 行所需 时间例 一只 轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水航行 ，回到甲地。逆水比顺水多 行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？分析 ：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知 顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间， 逆水 所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时， 抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 28- 4 2=20 （千 米） 2 0 2 =40 （ 千米） 40 （ 4 2 ） =5 （小时 ） 28 5=140 （ 千米） 。（ 9 ） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问 题。- 解题关键：要弄清每一步变化 与未知数的关 系。- 解题规律：从最后结果出发 ，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。- 根据原题的运算顺序列出数量 关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。- 解答还原问题时注意观察运算 的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。例 某小 学三年级四个班共有学生 168 人 ，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到 二班，二班调 6 人 到 一班， 一班调 2 人到 四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？分析 ：当四个班人数相等时，应为 168 4 ， 以 四 班 为例 ，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人 ，所以四班 原有的人数减去 3 再 加 上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 4-2+3=43 （ 人）一班 原有人数列式为 168 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 4-6+6=42 （人 ） 三班 原有人 数列式为 168 4-3+6=45 （ 人 ） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页学习必备欢迎下载（ 10 ）植树问题：这类应用题是 以 “ 植 树 ” 为内容。凡是研究 总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题， 叫做植树问题。- 解题关键：解答植树问题首先 要判断地形，分清是 否封闭 图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后 按基本公式进行计算。- 解题规律：沿线段植树- 棵 树 = 段 数 +1 棵 树 = 总路 程 株 距 +1 - 株 距 = 总 路 程 （ 棵 树 -1 ）总 路 程 = 株 距 （ 棵树 -1 ）- 沿 周长 植树- 棵 树 = 总 路 程 株 距- 株 距 = 总 路 程 棵 树- 总 路程 = 株 距 棵 树例 沿公 路一旁埋电线杆 301 根 ，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。 求 改 装后每 相邻两根的间距。分析 ：本题是 沿线段埋电线杆，要把电线杆的 根数减掉一。列式为 50 （ 301-1 ） （ 201-1 ） =75 （ 米 ）（ 11 ）盈 亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的 人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或 两次都不足），已知所余和不足的数量，求物 品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。- 解题关键