2009年浙江省专升本《高等数学(一)》试卷及答案.pdf
2009 年浙江省普通高校年浙江省普通高校高等数学（一）高等数学（一） 试卷试卷题 号一二三四总 分得 分考试说明：考试说明：1、考试时间为、考试时间为 150 分钟；分钟；2、满分为、满分为 150 分；分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。、密封线左边各项要求填写清楚完整。一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求求.本题共有本题共有 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 2分）分）1 函数函数的定义域是的定义域是 （ ）11arccos2xyx . A1x .B3,1 .C131x xx .D31x 2.极限极限等于等于 ( )sin3limxxx0 . A.B133 1.C.D3.下列函数中下列函数中,微分等于微分等于的是的是 ( )1lndxxx . Alnxxc.Bln lnyxc .C21ln2xc.Dln xcx4. （ ）1 cosdx . A1 cosx.Bcosxc .Csinxxc.Dsin xc5.方程方程表示的二次曲面是表示的二次曲面是 ( )2222xyzab椭球面椭球面 圆锥面圆锥面 . A.B得分得分阅卷人阅卷人 椭圆抛物面椭圆抛物面 柱面柱面.C.D二二.填空题填空题(只须在横线上直接写出答案只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程不必写出计算过程, 本题共有本题共有 10 个小题，每个小题，每小题小题 4 分分,共共 40 分分)1.2226lim_.4xxxx2.设函数设函数 在点在点处连续处连续,则则 , ,xef xax00 xx0 x ._a 3.设函数设函数,则则.xyxe 0_y4.函数函数在区间在区间上的最大值是上的最大值是.sinyxx0,_5.sin1_.4dx6. _.aax f xfxdx7.设设,其中其中是连续函数，是连续函数， xaxF xf t dtxa f t则则 lim_.xaF x8.设设,则则32 , 2aijkbijk_.a b9.设设则则2,yzxy0,1_.zx得分得分阅卷人阅卷人10.设设则则,01, 11 ,Dx yxy _.Ddxdy 三三.计算题计算题( 本题共有本题共有 10 个小题，每小题个小题，每小题 6 分分,共共 60 分分)1.计算计算0lim.xxxeex2.设函数设函数求求2,1xyx.dy3.计算计算.1xxedxe4.设设,求求 2 02sincostxu duyt.dydx5.计算计算 2 .22dxxx得分得分阅卷人阅卷人6. 设曲线设曲线在原点与曲线在原点与曲线相切相切,求求 yf xsinyx2limnnfn7.求微分方程求微分方程满足初值条件满足初值条件的特解的特解.tan3yxy 02y.8.设设是由方程是由方程所确定的隐函数所确定的隐函数,求求,zz x y2224xyzz.zx 9.求求,其中区域其中区域.22sinDxy dxdy2222,4Dx yxy10.求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域.21113nnnx四四.综合题综合题(本题有本题有 3 个小题，共个小题，共 30 分分,其中第其中第 1 题题 14 分，第分，第 2 题题 8 分，第分，第 3 题题 8 分分) 得分得分阅卷人阅卷人1.求函数求函数的单调区间的单调区间,极值及其图形的凹凸区极值及其图形的凹凸区21xyx间间. (本题本题 14 分分)2.设设在在上可导上可导,且且不恒等于不恒等于, f x0,1 00,11ff f xx求证：存在求证：存在使得使得 (本题本题 8 分分)0,1 1.f3.设曲线设曲线与与轴交于点轴交于点,过过点作该曲线的切线点作该曲线的切线,求切线与该曲线求切线与该曲线22yxx yPP及及轴围成的区域绕轴围成的区域绕轴旋转生成的旋转体的体积轴旋转生成的旋转体的体积. (本题本题 8 分分)xx2009 年浙江省普通高校年浙江省普通高校“专升本专升本”联考联考高等数学高等数学(一一) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准一一. . 选择题选择题(每小题每小题 4 分分,共共 20 分分)1. , 2. , 3. , 4. , 5. .DABBC二二. . 填空题填空题(每小题每小题 4 分分,共共 40 分分)1. , 2. , 3. , 4. , 5. ,54120sin14xc6. , 7. , 8. , 9. , 10. .0 af a322三三. . 计算题计算题(每小题每小题 6 分分,共共 60 分分)1.解解. 00limlim1xxxxxxeeeex5 分分 2.6 分分2.解解. 2223222111,11xxxyxx5 分分故故 . 322 1+dxdyx6 分分3.解解.原式原式= 11xxdee3 分分 ln 1.xec6 分分4.解法解法 1. dydydtdxdxdt3 分分 222 sin2 .sintttt 6 分分解法解法 2.因为因为， 22sin,2 sindxt dt dytt dt 4 分分 故故 2 .dytdx 6 分分5.解解.原式原式 2111dxx3 分分= tan 1arcx5 分分= .6 分分6.解解. 由条件推得由条件推得 00,11.ff2 分分于是于是 12202limlim 220nnffnnfnn5 分分（第（第 1 页，共页，共 3 页）页） = 2 02.f6 分分注：若按下述方法：注：若按下述方法： 原式原式 1122002 lim2 lim2.1xxf xfxx解答者，只给解答者，只给 4 分分.7.解法解法 1.分离变量分离变量,得到得到 2cot,3dyxdxy 分分积分得到积分得到ln 3ln sinyxc 或或 4 分分3 .sincycxR R代入初值条件代入初值条件,得到得到.于是特解为于是特解为02y3c 6 分分33.sinyx解法解法 2.由由 ,p x dxp x dxyeq x edxc其中其中，得到，得到 13,tantanp xq xxx 43 .sincycxR R分分代入初值条件代入初值条件,得到得到.于是特解为于是特解为02y3c 6 分分33.sinyx8.解解.方程两边对方程两边对求偏导数求偏导数,得到得到x 4 分分224,zzxzxx 故故 6 分分.2zxxz 9.解解.原式原式 3 分分 2 2 0 sindrrdr= 5 分分 22 2coscosrrrdr= 6 分分26.10.解解.由由,可知可知121121321131limlim3nnnnnnnnxaxax 收敛半径收敛半径, 4 分分3R 又当又当时时,对应数项级数的一般项为对应数项级数的一般项为,级数均发散级数均发散,3x 13 故该级数的收敛域为故该级数的收敛域为. 6 分分 3, 3 （第（第 2 页，共页，共 3 页）页）四四. . 综合题综合题(第第 1 小题小题 14 分分,第第 2 小题小题 8 分分, 第第 3 小题小题 8 分，共分，共 30 分分)1.解解.定义域定义域, ,00, 34232, ,xxyyxx 令令得驻点得驻点, 50,y 12x 分分 令令得得, 6 分分0,y 23x x, 3 33, 222,000, y0y0y2914 10 分分函数的单调增加区间为函数的单调增加区间为单调减少区间为单调减少区间为及及2,0 , 2 0,在在处处,有极小值有极小值.2x 14其图形的凹区间为其图形的凹区间为及及,凸区间为凸区间为 , 2 0, 3 . 14 分分2.证明证明.由于由于不恒等于不恒等于,故存在故存在使得使得 f xx00,1 ,x 00.f xx2 分分 如果如果根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理,存在存在使得使得 00,f xx00,x ， 000010f xfxfxx5 分分 若若根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理,存在存在使得使得 00,f xx0,1 ,x . 000011111ff xxfxx8 分分注：在注：在“2 分分”后，即写后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在利用微分中值定理可证得，必存在，使得，使得”者共得者共得 3 分分. 1f3.解解.点处该曲线的切线方程为点处该曲线的切线方程为, P2yx且与且与轴的交于点轴的交于点 x2,0A 2 分分曲线与曲线与轴的交点轴的交点和和,因此区域由直线因此区域由直线和和及曲线弧及曲线弧x1,0B 2,0CPAAB所围成所围成. PB4 分分该区域绕该区域绕旋转生成的旋转体的体积旋转生成的旋转体的体积x . 022 18292330Vxxdx8 分分注：若计算由直线注：若计算由直线与与及曲线弧及曲线弧所围成所围成，从而，从而PAACPC 222 081362315Vxxdx者得者得 6 分分.
