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    专升本《高等数学》精选练习强化试卷18.pdf

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    专升本《高等数学》精选练习强化试卷18.pdf

    专升本高等数学精选练习强化试卷 18一、一、 填空题填空题1设为非零向量,且,则cba , ,cba acb bac cba 。 3 解:显然互相垂直。cba , , ,同理,cbcbcbcba ),sin( cab bac,又,2 bababcba0a,同理可证,故。1 1 2bb1 1,ca3 cba2,则。2)( cba)()()( accbba 4 解:)()()( )()()( accbbcbaaccbba )(accbbbcaba)()()()()()(accbaccaacba acbccbacaccaabacba)()()()()()( 。4)(2)()(cbaacbcba3已知三角形,则的面积。) 1 , 1 , 1 (A)4 , 3 , 2(B)2 , 3 , 4(CABCS 62 解:,3 , 2 , 1AB1 , 2 , 3AC4 , 8 , 4123321kjiACAB. 62)4(8)4(2121222ACABS4设一平面过原点及,且与平面垂直,)2 , 3 , 6(A824zyx则此平面方程为。0322zyx解:,已知平面的法向量为,2 , 3 , 6OA2 , 1 , 4n则所求平面的法向量为,3 , 2 , 226 , 4 , 42 , 1 , 42 , 3 , 61nOAn故所求平面的方程为,即。0)0( 3)0(2)0(2zyx0322zyx5已知直线和,则过且平行于的平130211 :1zyxL11121 :2zyxL1L2L面方程为。023zyx解:所求平面的法向量, 点1 , 3 , 11121011 , 1 , 21 , 0 , 1kjin,1) 3 , 2 , 1 (LM故所求平面方程为,即。0) 3(1)2( 3) 1(1zyx023zyx6点到直线:的距离。 )2 , 1, 3( PL43 , 23 , 1tztyxd223解:直线的方向向量,L3 , 3 , 0aLA)4 , 2 , 1 (2 , 3 , 2PA ,。6, 6, 3 aPA9aPA223239aaPAd二、二、 选择题选择题1下列命题正确的是( C C )(A); (B);)( )()( )( bbaabababbbaaababa2)()( (C); (D)。0)( (babaa)()( cbacba解:(A):左边,右边;2),(cos()( )( babababa22ba(B):左边,右边;0ba2(C):。0)( ()()( (baabababaa(D):与同向;与同向。cba)( c )(cbaa2两直线与的夹角为( D D ) 。182511 :1zyxL. 32, 6 :2zyyxL(A); (B); (C);(D)。 6 4 2 3 解:、的方向向量分别为,1L2L1 , 2 , 11a.2 , 1 , 11 , 2 , 00 , 1 , 12a ,。21663 cos2121aaaa 33直线与( D D )41322 :1zyxL.7,41,33 :2tztytxL(A)垂直; (B)平行; (C)相交;(D)异面但不垂直。解:,4 , 3 , 21a1 , 4 , 32a ,与不垂直也不平行。0221aa1a2a ,11) 1 , 0 , 2(LM22)7 , 1 , 3(LM6 , 1 , 521MM,与异面,且不垂直。017143432615 2121aaMM1L2L4直线与平面的关系为( A )37423 :zyxL3224 :zyx(A)平行,但直线不在平面上;(B)直线在平面上;(C)垂直相交;(D)相交但不垂直。解:的方向向量为,平面的法向量为,L3 , 7 , 2a2 , 2 , 4n,06148na, na又,但,但。LM)0 , 4 , 3(MLL三、解答题三、解答题1求过点,与已知平面平行,且与直线) 3 , 2 , 1(M010326 :zyx相交的直线 L 的方程。. 0436, 03 :1zyxzyxL解法 1:直线 L 的方程为,方向向量为,nzmylx321 , ,nmla平面的法向量为,3 , 2 , 6n ,得,Lna0326nml直线的方向向量为1L.5 , 2 , 33 , 6 , 11 , 1 , 11a,LM) 3 , 2 , 1(11) 3 , 1 , 1 (LM6 , 3 , 21MM与相交,L1L,013283632523 11nmlnmlMMaa由,.2,32. 013283, 0326mnmlnmlnml6 : 3 : 2 : : nml所求直线 L 的方程为。633221zyx解法 2:设所求直线 L 与直线的交点为,则1L) , ,(1zyxM ,即为直线 L 的方向向量,它必与平面的法向量3 , 2 , 11zyxMM垂直,于是得3 , 2 , 6n . 3, 1 , 10) 3( 3 2)( 2) 1(6 , 43 6 , 3 zyxzyxzyxzyx,L 的方程为。6 , 3 , 21MM633221zyx2一平面过直线且与直线之间的夹角为,求01062 :1zyxyxLtztytxL2321 :26该平面方程。解:设过的平面束方程为,1L0) 1()62( :zyxyx即,其法向量为,0)6 ( )2 ()1 (zyx , 2 ,1n 的方向向量,2L 2 , 1 , 1n则,6)2()1 (14 ) ,cos(6sin222ananan化简得,或,0131023212313故所求平面方程为或。072 :zyx0125135901 zyx3求点关于平面:的对称点的坐标。) 1 , 1 , 3(A096926zyx解:过点 A 垂直于平面的直线方程为,其参数方程为912163zyx ,代入平面的方程,得tx63ty21tz91 ,。096)91(9)21(2)63(6ttt0221221t1t 交点(即投影点)为。)8 , 3 , 3(C设所求的对称点为,则点 C 为线段 AB 的中点,有) , ,(zyxB ,。323x321y821z9x5y17z所求的点为。 )71 , 5 , 9(B4求过直线 L:且球面相切的平面方.2089, 827 zyxzyx21) 1() 1(222zyx程。解:过直线 L 的平面束方程为,0)2089(827zyxzyx即,0820)28() 19()7(zyx令球心到平面束的距离为,得,)0 , 1, 1 ( 2121)28() 19()7(820197222 ,解得,代入平面束方程21541461021当时,得,即;10286108zyx07354zyx当时,得,即。10121086zyx06543zyx5已知入射线,求该光线经过平面:反123141 :zyxL01752zyx射后的反射线的方程。1L解法 1:将直线 L 的参数方程,代入平面的方程:tx41ty31tz2,017)2( 5)31 (241ttt03015t2t得入射线 L 与平面的交点。)0 , 5, 7(P设入射线 L 与反射线的方向向量分别为与,平面的法向量1L1 , 3 , 4a1a为,取,则。 5 , 2 , 1n1aa naa1,15 , 32 , 41 , 3 , 45 ,2 ,1ana,26263030) 15() 32()4(22221aa得,。,又,03030214 , 1 , 31a)0 , 5, 7(PL反射线的方程为,即。41537:1zyxL41537:1zyxL解法 2:先求 L 与平面的交点 P,)0 , 5, 7(PL过点作与平面垂直的直线,)2 , 1 , 1 (1M)(522111:2zyxL将直线的参数方程代入平面的方程,得2Ltztytx52 ,21 ,1,垂足为。017)52( 5)21 (21ttt1t) 3 , 1, 0(Q设关于平面的对称点为,则为线段)2 , 1 , 1 (1M) , ,(2zyxM) 3 , 1, 0(Q21MM的中点,322 , 121 , 021zyx8 , 3 , 1zyx。)8 , 3 , 1(2M过点和点的直线即为反射线,)0 , 5, 7(P)8 , 3 , 1(2M1L :,即。1L82567zyx42537zyx

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