专升本《高等数学》精选练习强化试卷24.pdf
专升本高等数学精选练习强化试卷 24一、填空题一、填空题1设C为闭曲线，取逆时针方向，则。2 yxCyxbydxaxdy)(4ba解： Cyxbydxaxdy2: yxC代入Cbydxaxdy21。公式GreenDbadxdyba)(4)(212设为平面被圆柱截下的有限限部分，则4zyx122yxzdS34解：，在面上的投影区域为yxz4dxdydS3xoy。1),(22yxyxDxy。34343)4(xyxyDDdxdydxdyyxzdS3设具有连续导数，且，C为半圆周，起点为)(uf404)(duuf22xxy，终点为，则。)0 , 0(A)0 , 2(BCydyxdxyxf)(222解：，)(22yxxfP)(22yxyfQ，曲线积分与路径无关，xQyxfxyyP)(222取：作为积分路径。AB20:, 0, 0 xdyy。20222)()(xdxxfydyxdxyxfABC2)(21402duufxu令二、二、解答题解答题1计算曲线积分，其中C曲线上从dyyxedxxyeIyCy)cos()12(2xy到的一段。) 1 , 1(A) 1 , 1 (B解：若化为定积分计算，则会出现的项，无法积分，故应该用公112dxexGreen式，添加辅助线段：，则构成正向封闭曲线。BA1y11 :xBAC，xyePy12yxeQycos，xeyPy12yexQ，xyPxQ12BABACyydyyxedxxyeI)cos()12(eexdxxexdxdyD2110)12(1211。2求，其中C从点经上半椭圆dyyxyxdxyxyxIC2222)0 ,( aA )0( 12222ybyax到达点的弧段，且。)0 ,(aBab0解：，22yxyxP22yxyxQ且，.xQyxxyxyyP22222)(2)0 , 0(),(yx添加辅助线：，方向是从点到点，则1C222ayx0y)0 ,(aB)0 ,( aA ，112222CCCCdyyxyxdxyxyxI，xyDCCdxdyyPxQdyyxyxdxyxyx0)(122221) , 1(Aoyx1) , 1 (Boyx0) ,( aA 0) ,(aBCCC1的参数方程为，1Ctaxcostaysin0: tdyyxyxdxyxyxC2222102)cos)(sincos()sin)(sincos(1dttatatatatataa。 故。0dt0I3计算曲线积分，其中C是由点经半圆周到点Cyxxdyydx224)0 , 1 (A21 xy再沿直线到点的路径。)0 , 1(B1yx)2, 1 ( E解：，224yxyP224yxxdyQ ，。xQyxxyyP22222)4(40yPxQ)0 , 0(),(yx添加线段：，：，则为正向封闭曲线。EA1xy02EAC在内作正向椭圆：，则在由与所围成的复连通EACC2224yxEACC区域D内，由公式得：Green0)(422dxdyyPxQyxxdyydxDCEAC，CEACEACC dyyxdyydxyxxdyydxCEACC0222224114。878)40(2122202arctan21222 ydxdyD4设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且dyxydxxyC)(2)(x，0)0(计算的值。dyxydxxy)() 1 , 1 ()0 , 0(2yoxC)0 , 1 (A)0 , 1(B)2, 1 ( EC解：，2xyP)(xyQ曲线积分与路径无关，)(2xyxQxyyPxx2)(Cxx2)(代入，得，。0)0(0C2)(xx 取，作为积分路径，则xy10: x。1032) 1 , 1 ()0 , 0(2) 1 , 1 ()0 , 0(2212)(dxxdyyxdxxydyxydxxy或，)(212222yxddyyxdxxyQdyPdxdu。21)0 , 0() 1 , 1 ()(21222) 1 , 1 ()0 , 0(2yxdyyxdxxy注：由于本题并未要求，故可沿先铅直后水平的折线计算：)(x。10102) 1 , 1 ()0 , 0(2211)0()(dxxdyydyxydxxy5设函数在内具有一阶连续导数，L是上半平面内有向分)(xf),()0( y段光滑曲线,其起点为,终点为,记),( ba),( dc，dyxyfyyxdxxyfyyIL 1)()(1 1222（1） 证明：曲线积分I与路径无关；（2）当时，求I的值。cdab证明：（1），)(1 12xyfyyP222)( 1)(yxxyxfxyfyyxQ，曲线积分I与路径无关。xQxyfxyxyfyyP)()(12解：（2）I与路径无关，可取从点到点再到点的路径，),( ba),( ca),( dc dyyccycfdxbxfbbIdcca)()(1 122yox) 1 , 0() 1 , 1 ( dyyccydcyfbxdbxfdxbdcdccaca2)()()()(1 。bcdcuduftdtfbabccdbcbcab)()()()(badccdabtdtfbadccdab )()(另解：，xQyP),(yxudyxyfyyxdxxyfyydu 1)()(1 1222dyyxdyxyxfdxxyyfdxy2)()(1 （） 。)()()()(xyFyxdxydxyfyxd的一个原函数是)()(ufuF，)(),(xyFyxyxu),(),()( 1)()(1 1),(),(222badcxyFyxdyxyfyyxdxxyfyyIdcba。badcabFbacdFdc)()(6已知曲线积分，其中的一阶导数连续，且)()(22为常数AAxyydxxdyC)(x，1) 1 ( C 是围绕原点一周的任一正向闭曲线，（1）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无Cxyydxxdy)(22关；（2）确定，并求 A 的值。)(x解：（1）在不包含原点的单连通区域内，任取两条具有相同起点与终点的曲线，再补上一条光滑曲线，使和成为围绕原点的正向闭21CC 和3C31CC 32CC 曲线，由题意知。232131)(2)(2)(2)(22222CCCCCCxyydxxdyxyydxxdyxyydxxdyxyydxxdy即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。（2），)(22xyyP)(22xyxQ，222)(2)(2xyxyyP222)(2)()(2xyxxxyxQ由（1）知，当时，)0 , 0(),(yx，xQyP)()(2)(222xxxyxy，由得，即。2)(0)(2)(Cxxxxx1) 1 ( 1C2)(xx 取 C 为正向椭圆，则1222 yx。 221122222CDCdxdyydxxdyyxydxxdyA7设，为连续可微函数，且，对的任一闭曲线 C，有0 x)(xf2) 1 ( f0 x，求和积分的值，其中是由0)(43Cdyxxfydxx)(xf)(3)(4ABCdyxxfydxxAB至的一段弧。)0 , 2(A)3 , 3(B解：（1）由。xQyPdyxxfydxxC0)(43，yxP34)(xxfQ34xyP)()(xf xxfxQ从而，24)(1)(xxfxxf ，33121414)(xxCCdxxxCdxexexfdxxdxx由，得，故。2) 1 ( f1C31)(xxxfxyo1C2C3C（2）。246)811 ()1 (4)(430)(43)(3dydyxydxxdyxxfydxxABCABC
