《高等数学》例题解析-第十讲 定积分的计算方法与广义积分.pdf

第十讲：定积分的计算方法与广义积分 一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1设sin xx是 f x的一个原函数，则 2xfx dx （ A ） A41 B41 C14 D14 解： （1） sin xF xx 2cossinxxxf xFxx （2）原式= 2222cossinsinxxxxxdf xxxx 122sin44cos211xx 选 A 2已知， 01f 12f， 13f，则 10 xfx dx （ B ） A1 B2 C3 D4 解:原式= 111000 xdfxxfxfx dx 10 10 110ff xfff=32 选 B 12 3下列积分为零的是 （ D ） A B0dx1311dxx C1221tanxxdx D33sincosxxdxx 解：sinxx为奇函数，cosx为偶函数 sincosxx为奇函数，故 33sin0cosxxdxx 选 D 4下列广义积分收敛的是 （ A ） A211dxx B101dxx C1201dxx D11dxx 解：11dxx收敛21p（或 12211111limlim011bbbbdxdxxxx ） 选 A 52007221sinxxxdx （ C ） A0 B1 C2 D 2解：原式=20082222sinsinxxdxxxdx 2220002cos02cos2sinxdxx xx2 选 C 6设 f x为线性函数，且 112111f x dxfx dx则 （ C ） A 12f xx B 12f xx C 3122f xx D 3142f xx 解： （1）1110 212ax b dxbb 2（2） 2111axb dx122211211432a xaxdxa 233,42aa故 3122f xx 选 C 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7111221xedxx= 解：原式= 11112112211xxe deeee ex 81201xx dx 解：原式=12201112x dx 32120111110123112x 3 93sincosxxxdx 解：原式=3cossincosxxdxxxdx 000 10214kdxx，则k 解：原式=1arctan22xk 21,2 222kkk 1122044xxdx 解：原式=2220022xdxx dx 20222022x 12设 f x为连续函数，则 00bbf x dxf bx dx 解： 00bbbxtf bx dxf tdt 0bf x dx，原式=0 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分） 1320 xxedx 解：原式=2201lim2bxbedx 22011limlim122xbxbbee 110 122 141lnexdxx 解：原式=1ln2exdx =1112ln2eexxxdxx 1202 2eex 24442eee 15设221xfxxe，求 31f t dt 解： 31102121 2txf t dtfxdx 311221000222xxxx dex exe dx 111000202222xxexdeexeex 222222eeee 16设 sin0101x xf xxx求02fxdx 解： 20222xtfxdxf tdt 02021sin1tdtdtt 0202cosln 1tt 1 ln 12 1710arctanxxdx 解：原式=210arctan2xxd 22110201arctan22 1xxxdxx 2120111 12 421xdxx 1011 arctan82x 1182842 181223211sinxxxx d解：原式=1220210 xx dx 220sin2sincos cosxttttdt 22202sin1 sinttdt =13 122 24 2 28 192211xdxx 解：令secxt，即1costx 当10 xt ，23xt 原式=30tansectansectttdtt 223300tan1tdtsec tdt 3300tan33tt 20已知，求221xtedt 10 xf x dx 解：原式 2102xf x d分部积分 2221100222xxxf xexdx = 214011124xfedx x 41010104xfe1114e 四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 21设 f x在区间0,2a连续，证明 2002aaf x dxf xfaxdx并由此计算20sin1 cosxxdxx 解：（1） 2200aaaaf x dxf x dxf x dx 又 2022aaaxatf x dxfat dt 02afax dx 2002aaf x dxf xfaxdx （2）计算：令2a 20sin1 cosxxdxx 2220sinsin1 cos1 cosxxxxdxxx 4222200sincos1 cos1 cosxdxdxxx 20arctan cosx 24 22设 f x连续，证明 200sin2sinfx dxfx dx并由此计算 30sinsinxxdx 解： （1） 200sinsinfx dxfx dx2sinfx dx 2sinxtfx dx2200sinsinft dtfx dx 200sin2sinfx dxfx dx （2）计算30sinsinxxdx 30sinsinxxdx3202sinsinxxdx 202sincosxxdx202sinsinxdx 3220142sin1312x 五、证明题（每小题 9 分，共 18 分） 23设 1ln 1xtf xdtt，证明 21ln2xf xfx 证：11ln 11xtfdtxt令1tu 211ln 111xuduuu 1lnln 1xuuduu 11ln 1lnlnxxtududtt 21ln2xf x 移项 21ln2xf xfx 证毕 24设 f x在0,1连续，证明 110001xf t dt dxx f x dx 证：左式分部积分 11000 xxf t dtxf x dx = 1100f t dtxf x dx 1100f x dxxf x dx 101x f x dx右式 注：本题可用二重积分的交换积分次序证明 选作题：计算题2201(0adx axax) 解：令sinxat，当00 xt ， 当2xat 原式= 20cossincostdttt =201cossinsincos2sincosttttdttt 2200cossin1122sincosdttdttt 2011ln sincos02 2244tt 5