考研《高等数学》模拟考试题（二）.pdf

1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）模拟题 一选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列各题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。 （1）设( )f x为可导的偶函数，且满足0(1)(1)lim12xffxx ，则曲线( )yf x在点( 1,( 1)f处的法线的斜率为 （ ） （A)12 1( )2B （C）2 （D）2 （2）曲线1121xxeyx的渐近线条数为 （ ） （A）3 条 （B）2 条 （C）1 条 （D）0 条 （3）设0( )(2) ( )xF xtx f t dt，( )f x可导且( )0fx，则（ ） （A）(0)F是极值，且为极大值； （B）(0)F是极值，且为极小值； （C）(0)F不是极值，但点(0,0)是曲线( )F x的拐点； （D）(0)F不是极值，点(0,0)也不是曲线( )F x的拐点. （4）设( , )f x y在0,0处连续，且2200( , ) 1lim41xyxyf x ye，则 （ ） （A）( , )f x y在0,0处偏导数不存在 （B）( , )f x y在0,0处偏导数存在但不可微 （C）(0,0)(0,0)4xyff，且( , )f x y在0,0处不可微 （D）(0,0)(0,0)0 xyff，且( , )f x y在0,0处可微分 （5）已知三阶实对称矩阵3 3()ijAa满足条件：1A ；331a ； ( ,1,2,3)ijijaA i j，其中ijA为ija的代数余子式，则方程组123001xA xx 的解： （ ） 2 （A）352 （B）123 （C）001 （D）101 （6）设,A B均为n阶矩阵，且( )( )r Ar Bn，则A与B （ ) （A）必有相同的非零向量组； （B）必有全部相同的特征值； （C）均有零特征值，但没有公共的特征向量； （D）均有零特征值，且有公共特征向量. （7）设随机变量 X,Y 相互独立，且X服从1(1, )2B，Y服从参数为 1 的指数分布， 则1p XY= ( ) （A）11 e; （B）11 e; （C）11(1)2e; （D）11(1)2e （8）设nXXXX,321是来自正态总体 N(, 2)的简单随机变量，X是样本均值，,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS 则服从自由度为1n的 t 分布的随机变量为 （ ） （A）11nSXt （B）12nSXt （C）nSXt3 （D）nSXt4 答案：1-4 AACD 5-8 CDCB 二填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在题中的横线上。 （9）已知ln2161xtdte，则x 。 （10）设),(yxzz 由0)2,(22yezxz确定，其中连续可偏导，则xz= 。 （11）差分方程12tttyyt 的通解为 。 （12）微分方程xeyyy223 满足1)(lim0 xxyx的特解为 。 （13）设A，B为三阶矩阵，A与B相似，1, 121为矩阵A的两个特征值，又,311B则11)41(00)3(BBEA 。 3 （14）已知随机变量X的概率密度函数为2( )()xf xex ，则2YX的概率密度函数为 。 答案：（9）2ln2， 分析：112122arctan1,2ln2126txueexIduexu . （10）11222zxzxze （11）分析：知识点：一阶差分方程的通解结构理论如下: 非齐次差分方程通解=对应齐次方程的通解+非齐次差分方程的一个特解 可设：齐次方程10 xxyay通解：xxyca. 特解：*y 122 ()tata，待定系数法：121,2aa . 通解：2 (2)tyct . （12）2332xxxyeexe （13）1144 （14）21,0( )0,0yeyyf yy 三解答题：15-23 四小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本题满分 10 分） 试确定常数, a b的值，使极限2245001lim()xtxabedtxxx存在，并求该极限值. 分析：222320245540000131lim()limlim5xtxxtxxxaxxbedtabaxbeedtxxxxx ， 法一：考虑22224()1 ()()2xxexo x ，代入有： 422440311()2lim5xxaxbxo xx 2440(3)12lim5xbab xxbx存在， 4 有30,10abb ，所以1,13ab .极限值为110. 法二：洛必达法则.解略。 （16） （本题满分 10 分） 设( , )f x y为连续函数， 且2222211( , )( , )xyf x yyxyf x y d， 求( , )f x y. 分析：令221( , )xyf x y da，即有：222( , )af x yyxy， 两边取二重积分有：222( , )DDDaf x y dy dxy d，即 222DDaay dxy d，对于2221()2DDy dxyd，34a， 所以：2223( , )4f x yyxy. （17） （本题满分 10 分） 设某产品需求函数QabP，其中Q是销售量，P是价格，常数0,0ab，该产品的总成本321171083632CQQQ,已知当边际收益56MR 及需求价格弹性4113E 时，出售该产品可获得最大利润，试确定常数, a b的值，并求利润最大时的产量. 分析：收益函数( )R Q，总利润最大，找驻点. 总利润：( )( )( ),( )( )( )0L QR QC Q L QR QC QMRMC, 2( )1710856,C QMCQQMR124,13,QQ 211(),( )(),PaQR QPQaQQbb1( )(2 )56R QMRaQb（1） 又41113P dQPQaaEbQ dPQQQ （2）注：若需求弹性0，则P dQEQ dP 5 由（1） ， （2）得：54,1326QQab， 当14Q 时，1112162,821313abP， 当213Q 时，222154,822abP. （18） （本题满分 10 分） 设( )nux满足11( )( )(1,2,),2nxnnnuxuxxe n且(1),2nneun求1( )nnux的和函数。 分析：11( )( )(1,2,),2nxnnnuxuxxe n为一阶线性非齐次方程， 通解：( 1)( 1)11111( )222dxdxnxxnxnnnnnu xexeedxcexdxcexcn， 由(1),2nneun得：0c ，故：( )2nxnnxuxen. 1112( )2nnxxnnnnnxxuxeenn，由于1101( 1)( 1)ln(1)1nnnnnnxxxnn， 有1( )ln(1),( 22)2xnnxuxex .（或利用逐项求导逐项积分的性质求和函数） （19） （本题满分 10 分） 计算二重积分DdxdyyxI,)sin(其中2,20:yxxD。 分析： 法一：因为被积函数需要分块表示，可以考虑以yx为分界线将区域 D 分成两块，12:2 ,:0DyxDyx，于是： 12sin()sin()DDIxy dyx d12sin()sin()4DDxy dyx d 法二：利用对称性，记与 D 关于yx的对称区域为*D，又记： ( , )sin()( , )f x yxyf y x，由轮换对称性，*sin()sin()DDxy dxy d， 6 *220011sin()sin()sin()22DDIxy dxy ddxxy dy ()xyt22200211(sin )sin22xxxxdxt dtdxtdt,由周期函数的积分性质 220001sinsin42dxtdtdxtdt。 （20） （本题满分 11 分） 设m nA矩阵，且( )()r Ar A brn， （1）证明方程组Axb有且仅有1nr 个线性无关的解； （2）若1234123412341435231xxxxxxxxbxxxax 有三个线性无关的解，求, a b的值及方程组的通解。 分析： （1）令12,n r 为0Ax 的基础解系，为Axb的特解，则： 01122,n rn r 为Axb的一组解，下证明线性无关. 令：00110n rn rkkk，有 1 12201()0n rn rn rkkkkkk， （1）两边左乘A， 01()0n rkkkb，而0b ，于是010n rkkk， （2） ，代入（1） ： 1 1220n rn rkkk， 同时12,n r 为基础解系， 所以120n rkkk 代入（2） ，00k ，于是，01,n r 线性无关. 再证仅有1nr 个线性无关解向量： 又若011,n r 为Axb的线性无关解（2nr 个） ， 则：110220110,n rn r 为0Ax 的解， 令1 122110n rn rkkk ，即有： 1 122111210()0n rn rn rkkkkkk ，由011,n r 线性无关，有1210n rkkk ，即121,n r 线性无关，与( )()r Ar A brn矛盾. （2）因Ax有三个线性无关的解，于是0Ax 至少有两个线性无关的解，于是： 7 4( )2,( )2r Ar A，由观察可知( )2r A ,所以( )2r A ， 1111111111435101154213100031Abbaab ，则3,1ab， 方程通解为：124,0,3,0( 2,1,1,0)( 6,0,5,1)TTTxkk . （21） （本题满分 11 分） 设二次型2221231231 21 323( ,)222(0)f x x xxxxx xx xax x a通过正交变换化为标准形22212322yyby， （1）求常数, a b； （2）求正交变换矩阵。 分析： （1） 二次型对应矩阵1111111Aaa ， 由题意，A的特征值为：1232,b 因：123123trAA ，1,1ba （2）当122时，对应特征向量：12111,001， 当31 时，对应特征向量：3111 ， 正交化：取11112211112( ,)1,(,)21 ， （注：只需记住两步就行）33， 单位化：1231111111,1 ,1263021 ， 8 取123,Q ,使得1221Q AQ （22） （本题满分 11 分） 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，Y服从参数为 2 的指数分布， 且,X Y相互独立，随机变量2ZXY,(1)求Z的概率密度， （2）求,EZ DZ. 分析：21,022,0( ),( )20,00,yXYxeyfxfyyother， 由于,X Y相互独立，则由卷积公式：1( )( )()22ZXYzxfzfx fdx 被积函数非零区域：02,xzx， ()02()00,01( ),0221,22zz xZz xzfzedxzedx z=20,01(1),0221(1),22zzzezeez （2）22()111111,212324babaEXDXEYDX. ,X Y相互独立，4(2 )2,43EZE XYDZDXDY. 9 （23） （本题满分 11 分） 设总体X的密度函数为1,( )0,xexf xother，其中0, , 为参数，1,nXX为取自总体X的简单随机样本， （1）如果参数已知，求未知参数的极大似然估计； （2）如果参数已知，求未知参数的极大似然估计. 分析： （1）似然函数1()111( )niiixxnniLee， 取对数11ln ( )ln()niiLnx ，求导：21ln ( )1()0niidLnxd ， 由11()niiXXn. （2）似然函数1()111( )niiixxnniLee为的单调增函数， 又12min,nX XX，所以取最大似然估计为12min,nXXX。