考研《高等数学》概率论与数理统计强化考点讲义与习题解析.pdf

1 考研高等数学概率论与数理统计强化考点讲义与习题解析 【例 1】某种产品分正品和次品，次品不许出厂.出厂的产品 4 件装一箱，检验前每箱中装入 0,1,2,3,4 件正品是等可能的，并以箱为单位出售. 由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求 (I) 取出一件是正品的概率 P ;(II) 取出一件是正品的条件下，这一箱里没有次品的概率 Q.2 【例 2】设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数()XPt（时间以周记，参数0） ，（I）设T为两次地震之间的间隔时间（单位：周） ，求ET；（II）求连续 8 周无地震的条件下，在未来 6 周内仍无地震的概率.归纳：一维, r v函数分布； 连续型：已知0,( )0 xDXf x，求()Yg X分布 分布函数法：( )( ),YFyP YyP g xyy 定代第一步：由X的范围确定( )Yg x的值域( , a b； 第二步： 当ya时，( )()0YF yP ；,( )( )1Yby FyP ； 第三步：当ayb时，( )( )YF yP g xy3 【例 3】设X的概率密度为 1,141,13,80,xf xx其他. 令21,12,1XXYg XX求： （I） YFy； （II）,Cov X Y. 4 【例 4】设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 已知随机事件0X 与1XY互相独立， 令max,min,UX Y VX Y.（1）求 a，b； （2）1X 条件下，Y 的条件分布； （3）求,U V的概率分布； （4）求1P UV ;（5）求ZUV的方差 5 【例 5】设二维随机变量(, )X Y在区域G上服从均匀分布，G由0,2xyxy与0y 围成，求： （1）1P XY； （2）判断X与Y独立性； （3）条件概率密度)( yxfYX； （4）112P YX； （5）1012PXY； （6）ZXY的概率密度. 6 【例 6】设随机变量X的概率分布为112,2P XP X在给定Xi的条件下，随机变量Y服从均匀分布0,(1,2)Uii .(I)求Y的分布函数 YFy；(II)求ZXY的分布函数. 【例 7】已知随机变量,0,0;1,1;0.5X YN，令max,UX Y，min,VX Y， 求E UV，E UV，E UV.7 【例 8】设随机变量X的概率密度为 2ln2,0,0,0.xf xx对X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现时停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布; (II)求EY .【例 9】设 X 的概率密度2( )()xf xAex，求22()XE X e. 【例 10】假设随机变量X和Y在圆域222xyr上服从联合均匀分布,(1)求X和Y的相关系数; (2)问X和Y是否独立?8 【例 11】设总体22(0,)()XN已知,1,nXX是取自总体X的 简单随机样本,2S为样本方差,则下列正确的是( ). (A) 221( )niiXn .(B) 1 ( )niiXt nnS. (C) 222211(1)( )niiXnSnn. (D) 2121(1)(1,1)nniinXF nX【例 12】设12,nX XX是总体2(0,)XN的一个简单随机样本，2,X S分别为其样本均值和样本方差，记1,2,iiYXX in,2211TXSn求: (1)ET; (2)DT; (3).01nYYP9 【例 13】设某种电子器件的寿命（以小时计）X服从参数为的指数分布，其中0未知，12,nXXX为取自X的简单随机样本， (I) 求的矩估计量；(II) 从这批器件中任取n只在时刻0t时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间0T结束，此时有)0(nkk只器件失效， 求的最大似然估计值