专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用.pdf
第九章第九章(二二) 重积分的应用重积分的应用 重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是高等数学一和高等数学二的考试内容。通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。一、知识网络图求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用二、典型错误分析例例 1 1求如下平面区域 D 的面积，其中 D 由直线及曲线所围xyx , 21xy成。如图： y （2，2）1xy )21, 2( O 1 2 x错解89)2(2212221dyydxdydSyD分析平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域 D，若先按 x 积分，再按 y 积分，则应注意到区域 D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y 的积分限并不相同，因此此题若先积 x, 后积 y，则应分两部分分别积分，再相加。正确解 2ln2322112121yyDdxdydxdydS例 2.设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线上一段弧与直线2)20(所围成，它的面密度为，求该薄片的质量。222),(yxyx错解 24023420320220drdrrddMD分析 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为，22),(yxyx因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，应由来代替，解题过程中缺少了一项 。导致计算dxdyrdrdr结果错误。因此 务必不能遗漏。r正确解 40024520420220drrdrrddMD例 3. 计算以 xoy 面上的圆周围成的区域为底，而以曲面122 yx为顶的曲顶柱体的体积。22yxz错解 222201111yxyyDdzdxdydVV分析如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。正确解 24)(1022012222rdrrddxdyyxdVVyxD例 4.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。22yxzxz22错解 锥面被柱面所割下部分的曲面在 xoy 面上的投影区22yxzxz22域为，因此xyx222cos20202rdrddxdySD202cos4d分析求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。但解法中忽略了求曲面积分在前应有一因子。dxdy221yzxz正确解 锥面被柱面所割下部分的曲面在 xoy 面上的投影22yxzxz22区域为。而。xyx22221122222222yxyyxxyzxz因此cos2020222rdrddxdySD2cos24202d例 5设薄片所占的闭区域 D 为半椭圆区域：，求均匀薄片0; 12222ybyax的重心。),(yx错解：， 2abM022022dxxaxabdyxdxxdxdyMxaabaaaaDx所以。又因，所以。0MMyx232abydxdyMDy34bMMxy分析重心的计算公式为，但，而;MMyx34bMMxyDxydxdyM。此类公式容易混淆。DyxdxdyM正确解如图，yO x由于是均匀薄片，D 为半椭圆区域具有对称性，因此。0 x而，所以220 xaabaaDxydydxydxdyM232ab2abM，所以。ababMMyx232234b)34, 0(),(byx三、综合题型分析例 6.求由下列曲线所围成的闭区域 D 的面积：D 由曲线所围成的第一象限内的闭区域。33334,4,yxyxxyxy分析试着画草图发现区域 D 的形状不容易确定。但若注意到四条曲线方程可变形为。由此想到可令，从而4, 1, 4, 13333yxyxxyxyvyxuxy33,将不规则区域 D 化成一个方形区域。解 令，则区域 D 化为：。vyxuxy33,41 , 41vu，。83818183,vuyvux232381),(),(vuvuyxJ818181414123232323dvvduuvdudvudAD方法小结对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。例 7. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。1czbyax分析 根据曲面面积计算公式：，平面xyDdxdyyzxzA22)()(1在 xoy 面上的投影为，即以 a,b 为直角边的直角三角形。1czbyax1byax如图： z O b y ax解平面可表示为。故，1czbyaxybcxacczbcyzacxz,=。221yzxz222222222211acabbaabbcacDdxdyyzxzA22)()(1Ddxdyacabbaab2222221=22222222222221211accbbaabacabbaab方法小结 根据曲面面积计算公式：。首先须xyDdxdyyzxzA22)()(1将曲面方程化成的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题),(yxfz 的特点在于因子为一常数。因此问题就转化为计算投影区域221yzxz的面积。而本题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。例 8计算由四个平面所围成的柱体被平面及1, 1, 0, 0yxyx0z截得的立体的体积。632zyx分析首先要画出题设的柱体。为此先考察柱体在 xoy 面上的投影： 。因为柱体被平面所截，其在投影正方形四个10 , 10yx632zyx顶点上的高分别为 6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。 z 1 2 y 1 3 x解 27229012326)326(1012101032601010dxxdxyxyydyyxdxdzdydxdVVoyxD方法小结求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。例 9求由平面所围成的柱体被平面及抛物面1, 0, 0yxyx0z截得的立体的体积。zyx622分析求立体的体积，首先需画出草图。注意到抛物面开口向下，zyx622因此截柱体所得立体以为顶，以平面为底。而在 xoy 面上zyx6220z的投影区域为一三角形区域, 由所围成。1, 0, 0yxyx z 6 O 1 y 1x解 617)1 (316601316)6(1033213210221060101022dxxxxxdxxyyxydyyxdxdzdydxdVVoxyxxD方法小结若所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。即得 z 的积分区域。而 x,y 的积分区域则可根据顶部在 xoy面上的投影而定。例 10.利用三重积分计算下列曲面：球面及)0( ,2222aazzyx所围成的立体的体积。222zyx分析所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在 xoy 面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。但注意到所涉及的曲面方程，用球面坐标计算会更为方便。所求立体如图所示: z a O y x解 用球面坐标，立体区域为cos204020:ar34033334340cos2024020coscos316cossin3820cos23sin2sinadadadardrrdddVVoa方法小结若所求立体为球面、圆锥曲面等所围成，投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为方便。例 11设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。求该薄片的重心。 y a x+y=a ()yx, O a x分析由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即。由22),(yxyx对称性可知：重心（）满足：。套用重心公式，即可求得。yx,yx 解 4303202200061)(31)(),(adxxaxaxdyyxdxdyyxdxMaxaxaaa axaDydyyxxdxxdxdyyxM0022)(),(53032151)(31adxxaxaxxa从而薄片的重心坐标为：。所以薄片的重心为aaaMMyxy526115145。)52,52(aa方法小结求重心有固定的公式：，DDydxdydxdyxMMxDDxdxdydxdyyMMy当面密度函数关于 x,y 对称，而区域 D 也为对称图形时，可得，从而减yx 计算量。例 12求位于两圆 r = 2sin 和 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心分析 y D O x如图所示:均匀薄片 D 对称于 y 轴, 重心（）必位于 y 轴上, 所以,只需yx,0 x计算.根据题设，用极坐标计算会比较方便。y解 不妨设密度为 1，因为闭区域 D 对称于 y 轴，所以重心（）必位于 yyx,轴上，于是。0 x再按公式计算，由于闭区域 D 位于半径为 1 与半径为 2 的DDxdxdyydxdyMMyy两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即 A = 3。再利用极坐标计算积分：，所以7sinsinsin4sin2202drrddrdrydxdyDD。所以重心为（）。3737DDxdxdyydxdyMMy37, 0方法小结 求重心有固定的公式：，DDydxdydxdyxMMxDDxdxdydxdyyMMy如果物体为均匀薄片，可设密度为 1，从而进一步简化计算。而题中薄片面积的计算也比较巧妙。例 13求均匀半球体的重心。分析为使物体关于坐标系具有对称性，可取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，这样半球体的重心就位于 z 轴上，从而重心只需算一个坐标分量。解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，又设球半径为 a，则半球体所占空间闭区域 可用不等式 x2+y2+z2a2，z0 来表示。显然，重心在 z轴上，故。0 yx，83sincos23sincos2311202003323adrrddaddrdrrazdvVdvzMza因此重心为。)83, 0 , 0(a方法小结 求物体的重心,也可尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。而该题中由于物体为半球体，因此用球面坐标计算三重积分会更为方便。例 14.在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少?分析设半圆形薄片的半径为 R，所接矩形薄片的另一边长度为 H（如下图）,根据题意,均匀薄片的重心（）满足：=0。从中可逆推出 H 值。yx,yx yO R x -H解 设半圆形薄片的半径为 R，所接矩形薄片的另一边长度为 H。由题意，均匀薄片的重心（）满足：。yx,0 yx而,又因。)32(2322RHRydydxydxdyMRRxRHDx0MMyx所以得。从中解得。所以接上去的均匀薄片另一边03223RHRRH32的长度为时，其重心恰好落在圆心上。R32方法小结对于本题，选择一个合理的坐标系有助于我们解题。由于将圆心置于原点，从而使重心坐标（）满足：。从中可求得待定的边长。yx,0 yx例 15设有一半径为 R 的球体，P0是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0距离的平方成正比（比例常数 k0） ，求球体的重心位置。分析恰当地选取坐标系可以简化计算，因此可选球心为原点，射线 OP0为正x 轴建立直角坐标系。解记所考虑的球体为，以的球心为原点 O，射线 OP0为正 x 轴建立直角坐标系，则点 P0的坐标为（R，0，0） ，球面的方程为2222Rzyx，设的重心位置为),(zyx，dVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222由对称性，得0y，0z，而 dVRdVzyxdVzyRx2222222()( 200552220153234sin8RRRdrrrdd， dVxRdVzyRxx22222)( 6222158(32RdVzyxR 4153215856RRkkRx所以的重心位置为0, 0,4R。方法小结本题也可将定点 P0设为原点，球心为Q，射线 P0Q为正 z 轴建立直角坐标系，则球面的方程为Rzzyx2222，采用如上方法可求的重心位置为（0，0，5R/4） 。例 16已知均匀半球体的半径为 a，在该球体的底圆的一旁拼接一个半径与球的半径相等，材料相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆重合，为了使拼接后的整个立体重心恰好是球心，问圆柱的高应为多少？分析建立坐标系，使圆柱体与半球的底圆在 XOY 面上，圆柱体的中心轴为 z轴。这样立体关于坐标系具有对称性，由题意知重心恰好为原点，利用重心坐标计算公式可反解出圆柱的高。解如图所示，设所求圆柱的高为 H，半球和圆柱体分别为，21, z O yx由题意知重心恰好为原点，故，于是0zyx)(11121zdvzdvVzdvVdvzMz而从0)2(4sincos22200200322021aHazdzrdrddrrddzdvzdvHaa中解得。aH22方法小结 本题由于适当选取了坐标系，使重心坐标简化，而是否应用柱面坐标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特征而定。例 17设均匀薄片，面密度为 1，薄片所占区域为：，求转动惯量12222byax。 yyI bO a x分析一由于区域 D 为椭圆，中心位于原点。因此具有对称性。所以求转动惯量时，只须求区域 D 上的转动惯量。41解一 dxxaxabdydxxdxdyxIaaxaabDy222000224422令，2, 0, 0,cos,sinaxxdadxax203202322420)4cos1 (2)2(sincossin4dbadbadaabIy baba3340244sin2分析二解法一中的变量替换是比较常见的。考虑到区域 D 是椭圆，可通过适当的变量替换，将椭圆区域化为圆，从而简化计算。解二 令，则在此变换下，D：化为：sin,cosbryarx12222byax。又。所以20 , 10 rabrryx),(),(20103232222coscosdrrdbaabrdrdradxdyxIDy ba34方法小结在遇到积分区域为对称图形时，常利用对称性来简化计算。而根据积分形式或积分区域采用适当的变量替换往往可以提高计算效率。对于特殊图形,例如椭圆,可令,从而变换为圆。12222byaxsin,cosbryarx1r例 18.求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对2xy 1y于直线的转动惯量。1y分析 均匀薄片对于 x 轴（其方程为）的转动惯量有公式0y，类似地，对于直线，其转动惯量DxdxdyyI21y。DydxdyyI21) 1(解 105368) 1(831) 1(3) 1() 1(311211231211212dxxdxxydyydxdxdyyIxDy方法小结当遇到求物体关于非坐标轴的转动惯量时，可根据物体关于坐标轴的转动惯量公式作平行推广。从而使重积分的应用更为广泛。例 19.求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量 ）对于其直径边的转动惯量。分析设薄片所占闭区域 D 可表示为，而所求转动惯量即半0,222yayx圆薄片对于 x 轴的转动惯量。 xI解 设薄片所占闭区域 D 可表示为，则所求转动惯量即半圆0,222yayx薄片对于 x 轴的转动惯量。 xI24030223241241sinsinMaadrrddrdrdxdyyIaDDx其中为平面薄片的质量。221aM 方法小结求物体关于某一条边的转动惯量,可将该边置于坐标轴上,尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。例 20求高为 h，半顶角为，密度为的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯4量。分析取对称轴为 z 轴，圆锥体顶点为原点，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。解 取对称轴为 z 轴，圆锥体顶点为原点，建立坐标系。则所求转动惯量为。zI。5022002210)(hrdrrddzdvyxIzhz方法小结 取转动轴为坐标轴，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。而柱面坐标的运用可进一步简化计算。例 21. 求均匀柱体：对于点 M（0,0,a）(ah)处的单位质hzRyx0 ,222量的质点的引力。分析根据柱体的对称性，及分别是 x,y 的奇函数,易知均33,rydvGrxdvGyxFF ,为零。因此只需计算。zF解 由柱体的对称性，及分别是 x,y 的奇函数,易知。33,rydvGrxdvG0,yxFF而 dvazyxazGdvrazGFz32223)(hRyxazyxdxdydzazG03222222)()()(2)()(22220032220ahRhaRGazrrdrddzazGhR方法小结从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性，及被积函数的奇偶性来简化计算。当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。例 22在 xoy 面上有一质量为 M 的匀质半圆形薄片，占有平面区域：，的，过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点0,222yRyxP，aOP ，求半圆形薄片对质点 P 的引力。分析根据引力计算公式，首先需求出匀质半圆形薄片的密度。由 区 域 D 的 对 称 性 知的计算可套用公式。, 0 xFzyFF ,解由 已 知，令为 面 密 度 ，薄 片 面 积， 薄 片 质 量 221RSMS ， 22MR 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D 的 对 称 性 知Fx 0 DyayxydGmF23222 RdrarrdRGmM02322202sin2 RarrarrRGmM022222ln4 0yxzDpa222RyxR-R 422222GmMRRRaaRRaln D23222zayxdGmaFRarrdrdRGmMa02322022 1aRaRGmM2arard21RGmM2222R02322222 zyxF,F,FF 其 中 22222yxaRRaaRRlnRGmM4F, 0F1aRaRGmM2F222z)(2)()(22220032220ahRhaRGazrrdrddzazGhR方法小结从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性来简化计算。当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。四、考研试题分析例 23.(1989 年高数一)设半径为 R 的球面的球心在定球面上,问当 R 取何)0(2222aazyx值时,球面在定球面内部的那部分面积最大?答案.aR34分析 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积，必须建立曲面方程，并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面0),(zyxF在定球面内部的那部分可视为球面与定球面相交而成，因此明确所求曲面在 xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面与定球面的交线。解答 设球面方程为：两球面的交线在 xoy 面上的投.)(2222Razyx影为 0)4(4222222zRaaRyx设投影曲线所围平面区域为，球面在定球面内部的那部分方程为：xyD，这部分的面积为222yxRaz224202220222221)(RaaRDDyxdrrRrRddxdyyxRRdxdyzzRSxyxy )20(,232aRaRR。aRRSaRRRS64)(,34)(2 令，得驻点，又因为所以当034)(2aRRRSaR34, 04)34( aS时，球面在定球面内部的那部分面积最大。aR34例 24.(2000 年高数一)设有一半径为 R 的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的0P密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数 k0） ，求球体的重心。0P答案 重心为。)4, 0 , 0(R分析为了便于计算，首先需建立一个合适的坐标系。为此可将球心定为原点，而令。利用球体的对称性，立即可得到。从而只需算。), 0 , 0(0Rp0 yxz而的计算也可以借助于对称性得以简化。z解答 将球心定为原点，而令。则球面方程为。), 0 , 0(0Rp2222Rzyx密度函数为。利用球体的对称性，得到。而)(222Rzyxk0 yx，利用球体的对称性，当被积函数为dvRzyxkdvRzyxkzz)()(222222奇函数时，积分为零，故式中：，522222221532)()(RdvRdvzyxdvRzyx。622221582)(RdvzRdvRzyxz故=。所以重心为。dvRzyxkdvRzyxkzz)()(2222224R)4, 0 , 0(R例 25.(2005 年高数一)设是由锥面与半球面围成的空间区域，22yxz222yxRz是的整个边界的外侧，则 。zdxdyydzdxxdydz答案3)221 (2R分析本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.解答zdxdyydzdxxdydzdxdydz3 =.)221 (2sin33200402RdddR
