考研《高等数学》概率强化考点讲义.pdf

第一讲：随机事件与概率第一讲：随机事件与概率 综述：1) 正确理解概念、灵活使用公式; 2) 用古典、几何、公式求复杂事件的概率.一、重要概念与公式 1、事件的关系与运算，与集合的关系与运算一致. 1) 样本空集(全集)，其基本元素i叫样本点;2) 事件样本空间的子集 A、B、C、.，不可能事件必然事件3) 完备事件组i,iijAA Aij 4)运算、关系对偶律(5) ,ABAB ABAB2、古典概型 若中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型( )AP A中样本点个数中样本点个数例：设 5 封信投入 4 个信箱，求下列事件的概率: 1A=1、2 号信箱中各有 1 封信 2A=某个信箱中有 3 封信 3A=第 2 个信箱没有信4A=仅有一个信箱没有信 考研高等数学概率强化考点讲义3、几何概型 1) 引例：掉馅饼问题2) 定义：若是一个可度量的几何区域，且样本点落入中的某一可度量子区域 A 中的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置与形状无关，称为几何概型.( )P AA的度量的度量例：在(0,1)内随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为_. 4、重要公式 1) 对立：( )1( )P AP A 2) 减法：()( )()P ABP AP AB3) 加法：()( )( )()P ABP AP BP AB()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC【注】超过三个的事件和的概率，一般附加“互斥”、“独立”的条件. 1)若121,.(3)()()nnniiiiA AA nPAP A两两互斥，则2)设12,.nA AA.若对其中任意有限个12,.ikiiA AA(2k )，都有 1122(,.)() (). ()ikikiiiiP A AAP A P AP A，则称12,.nA AA相互独立. 如：1233,nA A A121213131232323123123()() ()(1)()() ()(2)()() ()(3)(4)()() () ()P A AP A P AP A AP A P AAAAP A AP A P AP A A AP A P A P A、 、 互相独立两两独立如果上述第四个式子不成立，则123AAA、 、两两独立.其中两两独立不能推相互独立.例：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A 掷第一次出现正面， 2A 掷第二次出现正面，3A 正反面各出现一次，4A 正面出现两次，则事件( ) (A) 123AAA、 、相互独立 (B) 234AAA、 、相互独立(C) 123AAA、 、两两独立 (C) 234AAA、 、两两独立且“夫唱妇随”，即 n 个事件相互独立它们中任意一部分事件换成各自的对立事件，所得 n 个新事件相互独立 ,ABA BA BA B、 独立、独立，、 独立，独立3)于是，若12,.(3)nA AA n 互相独立，则 11111()1()1()1()1(1()nnnnniiiiiiiiiiPAPAPAP APP A 4)条件()(), ( )0( )P ABP A BP BP B5)乘法()( ) ()P ABP B P A B( )0P B )123121312()() () ()P AA AP A P A A P A A A6)全集分解公式(全概公式)(1) 引例：设村子有三个小偷，B 失窃，三个小偷123,A A A(2) 若实验分成两个阶段1、 选人123,A A A2、 偷12()()BB钱 ，粮贝叶斯公式：执果索因、果若发生，因则有变7)贝叶斯公式(逆概公式)条件同 6)1() ()()()( )() ()jjjjniiiP A P B AP A BP A BP BP A P B A例：有两批数量相同的灯泡，已知一批全正品，另一批有14次品，34正品。现从两批产品中任取一个灯泡，经检验为正品，放回原处，并在原所在批次再取一个灯泡，求此灯泡是次品的概率. 例 1：下列说法，正确的是( ) (A) 已知1( )( ), ()12P AP BP ABAB，则； (B) 设( )0, ( )0,P AP BABAB则、 互斥 与、 独立 可同时成立；(C) 将一枚硬币独立掷两次，记12AA第一次正面 ，第二次正面， 3A 正、反面各一次123,A A A则互相独立； (D) 袋中有 100 个球，40 白 60 黑，从袋中先后不放回取 100 次，则第 100 次取到白球的概率为25. 例 2：将 4 位考生的录取通知书随机装入 4 个印有他们名字的信封，将 4 封通知书全装错的概率. 例 3：设有 10 份报名表，3 女 7 男，现从中每次取一份，取后不放回，求下列事件的概率. 1)第 3 次取到女生的概率;2)第 3 次才取到女生的概率；3)已知前两次没取到女生，第三次取到女生概率.给考研概率复习的建议：要仔细读题，忠实原意与科学公式；不要主观臆断，改变题意。 例 4：设有两箱同种零件，第一箱 50 件，10 件一等品；第二箱 30 件，18 件一等品，先从两箱中随机取一箱，然后从该箱中先后无放回随机取两件. 求: 1) 先取出的零件是一等品的概率 2) 先取出的是一等品的条件下，后取出的也是一等品的概率.例 5： 【三门问题】一勇士要进宫见公主，保安将其拦下，拿出三个袋子，其中分别被保安装进了石头、石头、金子。若勇士挑到装金子的袋子，便可进宫，勇士随机挑了一个袋子未打开， 此时保安在剩下的两个袋子中打开了一个装石头的袋子， 问勇士： 你要改变你的选择吗？这就是著名的小保安考倒大勇士的问题，请回答. 例 6：设某家庭有两个孩子，已发现有一个孩子是男孩，则另一个也是男孩的概率。 第二讲：一维随机变量及其分布第二讲：一维随机变量及其分布 综述：1) 八个重要分布 2) 一维X与( )XFx3)()( )YYg XFy与一、概念与八个分布 1、( )XF x与 1) 随机变量()r v，定义在 上，取值在实数轴上的变量( ),XX 2) 分布函数( )F x，( )F xP Xx，x2、离散型随机变量 1) 定义：X取有限个或无穷可列个.2) 分布律1212nnxxxXppp3)( )()F xP Xx3、连续型随机变量 定义：若存在非负可积函数( )f x，使得(,)x 有( )( )xF xf t dt，则称X为连续型，( )f x叫X的概率密度. 4、( )( )ipXF xf x1)( )F x是某个X的分布函数1.2. ()0;()13.FF 单调不减右连续2) 1.02.1iiiippp是分布律3)( )f x是概率密度1. ( )02.( )1f xf x dx5、八个分布 1)0 1 分布101Xpp2) 二项分布1.2. ( )3.,P APA A独立只有，记X为A发生的次数. 3) 几何分布 记X为试验次数.4) 超几何分布N件产品，M件正品，无放回取n次，则取到k个正品的()P Xk5) 泊松分布某时间段，某场合下，源源不断的质点来流的个数()!kP Xkek6) 均匀分布(“几何概型”)若1( )0axbXf xba其他 则 , XU a b【注】高档次说法： “X在I上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比“ ( )XU I7) 指数分布若0( )00 xexXf xx，则( )(0)xXE ，失效率，1EX. 【注】()()P Xts XtP Xs 无记忆性. 分布函数：10( )00 xexF xx 8) 正态分布若22()21( )2xXf xe，则2( ,)XN 特别地，当20,1时，(0,1)XN，则221( ),2xXxex ， 221 ( ),2txXxedtx 二、综合题分析 12( )3( ) ( )XF xYg xF y、概念、例 1：下列说法错误的是( ) (A) 12,XX相互独立，1122( ),( )XF x XF x， 则12( )( )F x F x必为12max,X X的分布函数； (B) 若21()2( )xXf xAe，则12A；(C) 若1,0,132( ),3,690 xXf xx其他，且23P Xk，则1k ； (D) 若( ),( )XF x Xf x，且0 x 时，( )f x连续，( )( )f xF x，(0)1F，则,0( )0 ,0 xexf xx例 2：设111, (1), (1)84XP XP X 在11X 发生的条件下，X在(-1,1)内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比，求X的( )f x. 例 3：设一机器在任何长为 t 的时间内出故障的次数( )N t服从参数为t的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间的时间间隔T的( )TF t. (2) 求在设备已无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 16 小时的概率.例 4：若( ),( )XXfx Yg x，求( )YYfy例 5：设11021( )0240XxXfxx 其他；令2YX，求( )YYfy. 第三讲：随机变量及其分布第三讲：随机变量及其分布 12(, )(,.,)nX YnXXX二维维综述：1) 概念 2) 用分布求概率3)(, )Zg X Y,求Z分布 一、概念 1.联合分布：设(, )X Y.( , ),;F x yp Xx Yyxy 例：设二维连续型随机变量(, )X Y的概率密度为 4,01,01( , )0 xyxyf x y其他求(, )X Y的分布函数 2.边缘分布：( )(,( ,)( , )limXyFxP Xx YF xF x y ( )( , )limYxFyF x y【注】1.离散型(, ) ijX YP联合分布律 其条件分布为(,)()()ijijtjjjP Xx YyPP Xx YyP Yyp条件=联合边缘2.连续型(, ) ( , )X Yf x y联合密度( , )1f x y dxdy 边缘( )( , )Xfxf x y dy，( )( , )Yfyf x y dx其条件密度为( , )()( )X YYf x yfx yfy3.独立性(, )X Y ,X Y独立( , )( )( )XYF x yFx F y,ijijPP Pi j( , )( )( )XYf x yfx fy4.两大分布1) 均匀分布1( , )(, ) ( , )0( , )Dx yDSX Yf x yx yD2) 正态分布221212(, ) (,;,; )X YN 1) 若2212121.,(, ) (,;,; )2.3.XN YNX YNaXbYN 独立不相关2) 若12,.,nX XX互相独立且均服从分布N1niiia XN二、综合题解析 例 1：一设备由两部分组成，以,X Y分别表示两部件寿命(单位：千小时) 0.50.50.5()1,0,0(, ) ( , )0,xyx yeeexyX YF x y 其他问,X Y是否独立？ 例 2：设1210101,1111142422XX且12(0)1P X X 1) 求12,XX的ijP2) 12,XX独立吗？例 3：设(0,1)XU在(01)Xxx的条件下，Y在(0, )x内服从均匀分布，求 1)(, ) ( , )X Yf x y； 2)( )YYfy； 3)(1)P XY. 三、1.(, ) 2.3.Zg X Y离 离连连离 连例 4：设,A B为事件，111( ), (), ()432P AP B AP A B. 令1,1,0,0,ABXYAB发生发生发生发生求：1) (, ) ijX YP2) 22ZXY的分布律例 5：设1,01,02(, ) ( , )0 xyxX Yf x y其他求：1) ( ),( )XYXfx Yfy2)2ZXY的( )Zfz 例 6：设,X Y相互独立，1(),1,0,13P Xii .1,01( )0YyYfy其他，记 ZXY，求( )ZZfz. 第四讲：数字特征第四讲：数字特征 综述：cov(, )XYEXDXX Y1) 求数字特征2) 应用一、概念 1.数学期望( )E与方差()D期望定义： 1)iXPiiiEXx p2)( )Xf x( )EXxf x dx3),( )iXP Yg x( )iiiEYg x p4)( ),( )Xf x Yg x( )( )E Yg x fx d x5)(, ) ,(, )ijX YP Eg X Y( ,)ijijijEZg x y P6)(, ) ( , ),(, )X Yf x y Zg X Y( ,)( ,)E Zg x y fx y d x d y 方差定义： 2()DXE XEX1) 定义法221.()2.( )()( )iiiiXpDXxEXPXf xDXxEXf x dx2) 公式法2222222()(2() )2()()DXE XEXE XX EXEXEXEX EXEXEXEX常用：已知22,()EX DXEXEXDX3) 性质1、, ()Eaa E EXEX2、11(),nniiiiiiE aXbYaExbEYEa Xa EX3、若,X Y相互独立，则EXYEXEY 4、0,()0,()0DaD EXD DX 5、若,X Y相互独立，则()D XYDXDY6、2()D aXba DX7、一般，()2cov(, )D XYDXDYX Y111()2cov(,)nniiijiiij nDXDXX X 8、2() ,DXE Xcc【注】下表仅列出个分布概率的非零区域. 分布 分布列kP或概率密度( )f x期望 方差 0-1 分布 1(1),0,1kkkpppkp(1)pp二项分布 ( , )B n p(1),0,1,.,kkn kknpC ppknnp(1)npp泊松分布 ( )p ,0,1.!kkpekk 超几何分布 ( ,)h n N M,0,1,.,min,kn kMN MknNC Cpkr rM nCMnN2()()(1)nM NMNnNN几何分布 ( )Ge p1(1),1,2.kkppp k1p21pp正态分布 2( ,)N 221()( )exp,22xf xx 2均匀分布 ( , )U a b1( ),f xaxbba2ab2()12ba指数分布 ( )E ( ),0 xf xex1212( )n分布 1222( ),0( )22nxnxef xxn(不记) n2n2.协方差cov(, )X Y与相关系数XY1)cov(, )X YEXYEXEY 2) cov(, )XYX YDXDY0,0,X YX Y 不相关相关例：如1 1(, ),cos2 2XUYX，求XY【注】XY常被称为“线性相关系数，”刻画 X,Y 的线性相关程度，不刻画其“一般”函数关系.3) 性质：1、cov(, )cov( ,)X YY X2、cov(,)cov(, )aX bYabX Y3、1212cov(, )cov(, )cov(, )XX YX YX Y4、1XY5、1()1(0)1()1(0)XYXYP YaxbaP Yaxba 考试时：,01,01XYXYYaXb aYaXb a 例： 将一枚硬币重复掷n次， 以X和Y分别表示正面向上、 反面向上的次数， 则_XY. 【小结】 ：五个充要条件： cov(, )00()()XYEXYEXEYX YD XYDXDYD XYDXDY ,X Y独立 但，若(, ) X YN，则上述条件可以互推. 二、综合题解析 例 1：设,0EX ，常数c，证明：22()()E XcE XDX例 2：试验成功的概率为34，失败的概率为14，独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数X的EX. 例：设随机变量X的概率密度为2ln20( )00 xxf xx，对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现停止，记Y为观测次数. (1) 求Y的概率分布；(2) 求EY.例 3：T为连续型，0,t 01, ,0 ，满足()(1)ttP Ttee， 求,ET DT. 【注】记2122100,0( )2xtx txe dxxttedt 于是0(1)1xe dx201( )22tedt1000(1)( )0 xxxxx e dxx dex eexdx 例 4：设,X Y独立，11(0, ),(0, )22XNYN.求D XY例 5：(, ) X YX Y -10 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则22cov(,)XY=_. 例6： 将一枚硬币重复掷n次， 以X和Y分别表示正面向上、 反面向上的次数， 则_XY. 例 7：0.9,0.4XYZX，XY=_. 例 8：n个考生的录取通知书装入n个信封，然后在每个信封上随意写上一个考生的姓名地址发出，以nS表示n个考生中收到自己通知书的人数，求nDS. 例 9：设( )Xf x，,EX DX存在，证明：20, ()DXP XEX . 【注】此公式同样适用于iXP. 例 10 ： 设2,1,4,0.5XYEXEYDXDY， 则 根 据 切比 雪 夫 不 等 式 ， 知(6)P XY_. 例 11：截至 1010 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过 700 万人，游园最大的痛苦就是人数太多，设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路走 3 个小时到达；沿第二条路走 5 小时又回到原处；沿第三条路走 7 小时又回到原处.游客可能选其一种路径，求游客平均要用多少时间到达中国馆. 第五讲：大数定律与中心极限定理第五讲：大数定律与中心极限定理 综述：1) 收敛 2) 三大定律两大定理一、依概率收敛 设nX为 一. r v序 列 ，X为 一. r v( 或a为 常 数 ) ， 若0 ， 恒 有nl i m()1nPXX或nlim ()1nP Xa则称nX依概率收敛于X. 记：PnXX. 例：设nX，22( )(1)nnnXfxn x，x，证明0PnX . 二、大数定律 1. 切比雪夫大数定律设nX是相互独立的随机变量序列，若方差nDX存在且一致有上界，则1111nnPiiiiXEXnn. 2.伯努利大数定律 假设n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中事件A发生的概率为(01)pp，则Pnpn，即对任意0 ，有lim0nnPpn. 3. 辛钦大数定律假设nX是独立同分布的随机变量序列，如果nEX存在，则11nPiiXn，则对0 ，有11lim0niniPXn. 例 1：设12,.,.nX XX是相互独立的序列，( )nXE n，则下列序列中不服从切比雪夫大数定律的是( ) A. 1211,.,.2nXXXnB. 12,.,.nX XXC. 12,2,.,.nXXnXD. 2212,2,.,.nXXn X例 2：设12,.,.nX XX是相互独立的序列，根据辛钦大数定律，当n时，11niiXn依概率收敛于其数学期望，只要nX( ) A. 有相同的数学期望B. 服从同一离散型分布C. 服从同一泊松分布D. 服从同一连续型分布例 3：设总体X服从参数为 2 的指数分布，12,.nX XX为来自总体X的简单随机样本，则当n时，211nniiYXn依概率收敛于_.三、中心极限定理 不论2( ,)iidiXF 21(,)nniiXN nn，1(0,1)niniXnNn即1lim()( )niinXnPxxn 例：设12,.nX XX为独立同分布序列，且均服从参数为(1) 的指数分布，则( ) A. 1lim()( )niinXnPxxn B. 1lim()( )niinXnPxxn C. 1lim()( )niinXnPxxn D. 1lim()( )niinXPxxn 第六讲：数理统计第六讲：数理统计 综述：1) 统计量的分布(N分布，2分布，t分布，F分布)2) 求统计量的数字特征3) 估计与评价一、总体与样本 1. 总体( )XF x2. 样本-简单随机样本( )iidiXF x二、统计量 抽取1212,.(,.)nnX XXg X XX叫统计量. 常用统计量1) 样本均值11niiXXn2) 样本方差22221111()()11nniiiiSXXXnXnn3) 样本k阶原点矩11nkkiiAXn(1,2,.)k 4) 样本k阶中心矩11()nkkiiBXXn(1,2,.)k 三、四大分布 1. 正态分布2( ,)XN 2,EXDX2(0,1)XUN若()P UU，称U为上分位数. 2. 2分布若12,.(0,1)iidnXXXN，则221( )niiXXn若2( )P Xn，称2( )n为上分位数. 记,2EXn Dxn. 3. t 分布若2(0,1),( )XNYn，且,X Y独立，则(人为) ( )Xtt nYn若( )P ttn，称( )tn为上分位数. 4. F 分布若2212( ),()XnYn，,X Y独立。则(人为) 1122( ,)XnFF n nYn四、正态下的常用分布 设212,.( ,)iidnXXXN ， 221111,()1nniiiiXX SXXnn1)X与2S独立，且2221,EXDXnES2)(0,1)XNn3) (1)Xt nSn例：设一批零件的长度2( ,)N ，2, 均未知，先随机抽取 16 个零件，测得 20(),1()xcm scm，则的置信度为 0.90 的置信区间为_. 五、点估计与评价标准 1. 矩估计1) 对于一个参数，用XEX令，即11( )( )iiiiniiiix pxpXnxf x dxxf x令2) 对于两个参数，用0022222111112()() )nniiiiXEXXEXXXDXEXEXnn令令或令例 1：设(1),01( , )0,xxXf x其他，求的矩估计量. 例 2： 设总体1()1( , , )0 xexXf xx ，0， 由样本12,.nX XX， 求, 的矩估计量. 2. 最大似然估计1) 写1121( , )( ,., )( , )niinniip xL x xxf x2) 令ln0,0dLdLdd令 或令(或0，用定义) 【注】若为1212( ,.,)nL x xx ，令1212lnln0,0(0,0)LLLL或例 1： 设 X 的分布律为2201232 (1)1 2X， 其中1(0)2为未知参数，利用总体 X 的如下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3 求的矩估计值和最大似然估计值. 例 2：设0, ,0XU 为未知参数，求的最大似然估计量. 3. 估计量的评价标准引例：设0, XU，求的矩估计量、最大似然估计量. 1) 无偏性 若参数的估计量对一切n，有E，则称为的无偏估计量，否则称有偏. (2)22()2MEEXEX无偏( )()()1LnnEE Xn有偏2) 有效性若1与2均为的无偏估计量，当12DD时，称1比2有效，对12X，2( )1nnXn，研究有效性:2211(2)44123DDXDXnn22(2)Dnn3) 一致性(相合性)(只针对大样本n)若为的估计量，当0 ，有lim()0nP 或lim()1nP 即p时，称为的一致(相合)估计，对于12X,1E，213Dn有：2120()()3Pnn则：1lim()0nP.例：设210( , )00XexXF xx，其中是未知参数，0.12,.,nX XX为来自总体X的简单随机样本. (1) 求EX与2EX. (2) 求的最大似然估计量n. (3) 是否存在实数a，使得对0 ，都有1lim()0nPa？ 六、假设检验 1. 回顾2()1P XUn (2已知)2( )1sP Xtnn (2已知)2. 已知说法：0010:HuuHuu【注】若( )P A(显著性水平，人为取0.1,0.05,0.01,.)称A为小概率事件，我们认为，小概率事件在一次试验中是不会发生的，若发生了，则拒绝原假设. 1) 设总体2( ,)XN ，2已知，未知，0010:HuuHuu， 构造一个水平为的检验. 例： 已知机器生产出的零件长度2(cm) ( ,)XN ，2, 均为未知， 现从中取容量16n 的一个样本，测得20.01510(),0.16,(15)2.132xcm st(1) 求均值的置信度为 0.95 的置信区间；(2) 在0.05下，检验01:9.7,:9.7HH.