2022年数列求和的方法总结教案 .pdf
学习必备欢迎下载授课教案学员姓名： _ 授课教师： _ 所授科目：学员年级： _ 上课时间： _年_月_日_时_分至 _时_分共 _小时教学标题教学目标熟练掌握：专题数列求和的方法总结教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一 复习上次课内容：二 梳理知识（新课内容）数列求和的常用方法：(1) 公式法 ：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：2)1(2)(11dnnnaaanSnn；等比数列：11)1 (111qqqaqnaSnn；(2) 分组求和 ：如：求1+1,41a,712a, ,2311nan, 的前 n 项和可进行分组即：2374111111132naaaan前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：12) 13(12)13(annannSn）(3) 裂项法 ：如)2(1nnan，求 Sn，常用的裂项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn(4) 错位相减法：其特点是cn=anbn其中 an 是等差， bn 是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+ +(2n1)xn1注意讨论x，1)1()1 ()12() 12(1212xxxxnxnxnSnnn(5) 倒序求和： 等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n 1) Cnn=(n+1)2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载三 典型例题典型题（一）公式法求和如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求 . 等差数列求和公式：11122nnn aan nSnad等比数列求和公式：11111111nnnna qSaqaa qqqq常见的数列的前 n 项和： 123+n=(1)2n n， 1+3+5+ +(2n-1)=2n2222123 +n =(1)(21)6n nn，3333123 +n =2(1)2n n等. 题 1：等比数列na的前项和 S2，则2232221naaaa413n题 2：若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a= ,b= ,c= . 解： 原式=.6326)12()1(23nnnnnn答案：61;21;31典型题（二）倒序相加法求和：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。 如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 题 1：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值. 解： （1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载1928551101010101010ffffff128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S. 小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 针对训练 : 求值：222222222222123101102938101S典型题（三）错位相减法求数列的前N 项和：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法 . 若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为 q 等比数列，令1 12211nnnnnSb cb cbcb c则nqS122311nnnnb cb cbcb c两式相减并整理即得题 1： 已知12nnan，求数列 an的前 n 项和 Sn. 解：01211 22 2(1) 22nnnSnn12121 22 2(1) 22nnnSnn得01121 222221nnnnnSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载题外音 ：错位相减法的求解步骤： 在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和的公式求和 . 题 2：;,212,25,23,2132nn的前 n 项和为 _2332nnnS题 3：23230,1nnSxxxnxxx典型题（四）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nnca a（其中na是各项不为零的等差数列， c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）11 11n nkknnk，特别地当1k时，11111n nnn（2）11nknknkn特别地当1k时111nnnn题 1: 数列na的通项公式为1(1)nan n，求它的前 n 项和nS解：1231nnnSaaaaa111111 2233411nnn n=11111111112233411nnnn1111nnn题 2：1111 447(32)(31)nn31nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载题 3：1111.243 546(1)(3)nn=、111112 2323nn题 4：数列 an 满足： a11，且对任意的 m ，nN*都有： amnamanmn，则20083211111aaaa( ) A20094016B20092008C10042007D20082007解：先用叠加法得到：2)1(nnan，)111(2)1(21nnnnan，)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa20094016题外音裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练：求数列1111,1223321nn的前 n 项和nS. 典型题（五）拆分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列， 也不是等比数列 .若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 题 1：求和：12323 543 563 523 5nnSn解：12323 543 563 523 5nnSn12324623 5555nn2111553113114515nnn nnn题 2： 数列2211,(12),(122 ),(1222),n的通项公式na，前 n 项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载和nS121;22nnn题 3：设 m=12+23+34+(n-1)n，则 m 等于 ( A ) A.3)1(2nnB.21n(n+4) C.21n(n+5) D.21n(n+7) 题 4： 数列 1,1617 ,815,413,21,前 n 项和为 （A）（A）1212nn（ B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn题 外 音这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解 . 针对训练：求和：23123nnSaaaan典型题（六）奇偶并项求和法题 1 ：设1357( 1) (21)nnSn，则nS_ 2( 1)nn.题 2 ：若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S17+S3350等于( ) A.1 B.-1 C.0 D .2 解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案： A 题 3 ：1002-992+982-972+22-12的值是A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050. 答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载四 课堂练习（可以另附资料）五 课堂小结（对本次课知识、考点、方法等进行归纳）六 下次课内容：课后作业：学员课堂表现：签字确认学员 _ 教师 _ 班主任 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
