2022年2022年九年级数学线段的垂直平分线教案北师大版 .pdf

教学过程：一、提出问题，引入新课活动内容：三角形三条边的垂直平分线特征直观探索. 活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性. 活动过程：教师提问：“ 师 习题 1.6 的第 1 题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?( 教师用多媒体演示作图结果) ”课时第一章第三节第2 课时课 题线段的垂直平分线（二）课型新授课时 间节 次第三节授 课 人王教材分析本节课要学习的主要内容是三角形三边垂直平分线定理和尺规作图，指的是证明三角形三边垂直平分线交点到三边距离相等，并把这个性质应用到尺规作图和实际生活中，其核心是性质的应用. 由于上节课刚学习的线段垂直平分线，这节课学生在证明三角形三边垂直平分线交于一点时可能也较抽象，三边垂直平分线的交点与以后学习圆有一定联系，实际上这个交点就是外心. 教学的重点是能够证明与线段垂直平分线相关的结论并能尺规作图，解决重点的关键是教学时，教师应逐步引导，学生对它的理解要有一个过程.学情分析学生具备一定的探索能力，能发现垂直平分线的相关结论，但概括和运用定理的能力仍需提高 . 本节课学生可能遇到的困难是对于三角形三边垂直平分线的交点的应用不熟练，产生的原因是本身该定理就有些抽象，学生掌握起来也困难，要解决这个问题教师要多留时间给学生观察发现三角形三边垂直平分线的性质，在应用时题目不宜过难. 教学目标1. 经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点. 2. 经历猜想、探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形. 3. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力. 重点1. 能够证明与线段垂直平分线相关的结论. 2. 已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形. 难点理解三线共点的证明方法. 教法、学法指导本节课针对学生的认知规律，根据自主性和差异性原则，教学时指导他们动手操作，合作交流，体验发现问题和解决问题的学习过程，参与知识的发生，发展，形成的过程，使学生掌握知识. 课前准备教、学具：课件（教师准备）、三角板和圆规（师生各自准备）、三角形纸片；知识储备：线段的垂直平分线的性质定理和判定定理、尺规作图. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - “三角形三边的垂直平分线交于一点. ” 、 “这一点到三角形三个顶点的距离相等. ”等都是学生可以发现的直观性质. 下面请同学们拿出你准备好的三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流 . 学生会有和习题16 有着同样的结论. 教师质疑： “这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义. ”这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论. 板书课题： 13 线段垂直平分线( 二 ) 同时课件呈现课题：第三节第 2 课时线段的垂直平分线（二）活动效果及注意事项：上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性 . 二、师生互动，探究新知（一）定理探究我们要从理论上证明这个结论，也就是证明 “三线共点” ，但这是我们没有遇到过的. 不妨我们 “反过来”思考这个问题，或许你能从中受到启示. 通过启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点 ，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可. ”虽然我们已找到证明 “三线共点” 的突破口， 询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 师生共析，完成证明: （说明：此处如果对学生的证明比较有信心，可在引导学生口同证明后用课件出示详细的证明过程以规范学生的做法，否则可以让学生到黑板上板书后师生共同讲评. ）进一步设问： “从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?” （交点P 到三角形三个顶点的距离相等. ） 多媒体演示我们得出的结论：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（二）开拓创新，试一试：1分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. （因为本题在上节课已经安排学生画图，本节课开始的时候又回顾了一次，所以这里直接演示结果有同学们再次观察总结即可. ）2已知：ABC中，AB=AC，AD是BC边一上的中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - （课件使用说明：可安排全班同学独立试做，并安排几个层次不同的同学进行板书，讲评的时候在课件上出示详细的做法，以规范学生的书写步骤）第四环节：议一议活动内容：借用尺规作图作已知一条边及这条边上的高，求作出相关的三角形. 活动目的：让学生体验利用尺规作图作出的三角形是否惟一，即是否确定. 活动过程：(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能 ，能作几个 ?所作出的三角形都全等吗 ? (2) 已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个 ? 由学生思考可得：(1) 已 知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，归纳学生的作图，并用课件演示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 分析：从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定, 我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D， 过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD( 或A1D) ，使AD=A1D=h，连接AB，AC( 或A1B，AlC) ，所得ABC( 或A1BC) 都满足条件，所以这样的三角形有无数多个 . 观 察还可以发现这些三角形不都全等. (2) 如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个：根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形 . 另外有学生补充： “不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去. ”（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧. 教师希望学生能尝试着用尺规作出这个三角形. 师生共析 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形. 已知：线段a、h名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法： 1. 作BC=a；2. 作线段BC 的垂直平分线MN交BC于D点；3. 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4. 连接AB 、ACABC就是所求作的三角形( 如图所示 ). 完成作图后 ，可能有学生会后这样的疑问：“满足条件的ABC应有两个，为什么不作出另一个呢? 教师说明，作图分“定位作图”和“活位作图”，前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制. 如“作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形”都属于活位作图. 对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形，就说这个作图题有多少个“解”. 对于活位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”. “已知底边及底边上的高，求作等腰三角形. ”属活位作图，虽然满足条件的三角形可作出两个，但因它们全等，故只有一解. 从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的. 当然，若没有学生提问，教师不一定要进行作图分类的阐述. 活动效果及注意事项：以上问题演示时依次出现. （五）当堂检测全部有课件呈现，并安排学生在独立思考的基础上，认真完成，如有困难可在小组内讨论，同时安排学生示范板演 . 1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点. 2、已知ABC的三边的垂直平分线交点在ABC的边上，则ABC的形状为（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定3、等腰RtABC中，AB=AC,BC=a, 其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 顶点的距离是 . 4、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）5、如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知BCE的周长为 8，ACBC=2，求AB与BC的长 . 课件配合：AB C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - （六）课时小结配合课件演示：本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形” . （七）：课后作业A类：判断题：（1）三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等. ( ) （2）线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等. ( ) （3）三角形三条边的垂直平分线必交于一点. （）（4）平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 . （）B类：习题 17 第 1、2 题C类：中考真题：已知：如图，RtABC中，ACB=900, BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - （八）板书设计13 线段的垂直平分线（2）一、定理 : 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 图形语言：S 数字符号语言如图 , 在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线 ( 已知 ), c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点 , 并且这一点到三个顶点的距离相等). 二、尺规作图已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作图：作法：（九）教学反思数学课程标准指出：“数学教学应当从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习. ”数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交流互动与共同发展的过程，数学教学要实现知识、能力、情感三维目标的统一协调发展. 本课我正是本着这一点进行设计的. 本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理、并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线、已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形的基础上，从折纸、尺规作图、 逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这一点到三角形三个顶点的距离相等. 尤其本节能够充分利用课件的动态演示功能，增强了直观性，更能加强学生的理解；同时课件演示能增加本节课的容量，可以使学生在相同的时间内领悟更多的知识. 另外，在引导学生探究本节课的过程中，学生获得活动体验、猜测出结论都很容易，但是在理解 “三点共线”的证法上有部分同学绕不过来，还需多做一些引导；另外学生口述证明思路和真正地写出证明过程之间还有一定的差距，每节课不管时间有多紧张，至少要安排学生完整的证明一道题，并安排在数学学习方面程度不同的同学进行板演，已发现不同的问题进行及时解决. a h B C a b c A ahlDABCXX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -