2022年整式的乘除与因式分解 .pdf

1 / 12 整式的乘除与因式分解一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：bca22的系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、 多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如 ：122xaba， 项 有2a、ab2、x、 1， 二 次 项 为2a、ab2，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为 1， -2，1，1，叫二次四项式。3、 整式： 单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、 同底数幂的乘法法则：mnm naaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：235()()()ababab5、 幂的乘方法则：mnnmaa )(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(46、 积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx7、 同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab8、 零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 / 12 ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(2339、 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323210、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 ) 注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：)(3)32(2yxyyxx11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：)6)(5()3)(23(xxbaba12、平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：)(zyxzyx13、完全平方公式：2222)(bababa公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：abbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()()(bababa222)()()(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。14、三项式的完全平方公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 / 12 bcacabcbacba222)(222215、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba24249716、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmmabc17、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知识点分析：1. 同底数幂、幂的运算：am an=am+n( m， n都是正整数 ). (am)n=amn( m，n 都是正整数 ). 2.若6422a，则 a=；若8)3(327n，则 n=. 3.计算mnxyyx23224.若32na，则na6=. 2.积的乘方(ab)n=anbn(n 为正整数 ). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 1、计算：43ppmnnmmn3. 乘法公式平方差公式：22bababa完全平方和公式：2222bababa完全平方差公式：2222bababa1)利用平方差公式计算：2009 200720082 2)（a2b3cd）（a2b 3cd）变式练习1广场内有一块边长为2aM 的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3M ，东西方向要加长3M ，则改造后的长方形草坪的面积是多少？2. 已知,21xx求221xx的值3、已知,16)(2yx4)(2yx，求 xy 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 / 12 4.如果 a2b22a 4b 50 ，求 a、b 的值5 一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长4. 单项式、多项式的乘除运算3)（a61b）（ 2a31b）（ 3a2121b2）；4) （ab）（ ab）2（ a2 2ab b2） 2ab5)已知312yx，2xy，求43342yxyx的值。6)若 x、y 互为相反数，且4) 1()2(22yx，求 x、y 的值提高练习1（ 2x24x10 xy）（）21x125y2若 xy8， x2y24，则 x2y2_3代数式4x23mx9 是完全平方式则m _4（ a1）（ a1）（ a2 1）等于（）（A）a41 （B）a41（C）a42a21 （ D） 1a45已知 ab10，ab24，则 a2b2的值是（）（A）148 （B） 76 （C）58 （D）52 6（ 2）（4x3y）2（4x 3y）2；（ 2）（ x22x1）（ x22x1）；7（ 1221）（ 1231）（ 1241）（ 1291）（ 12011）的值8已知 xx12，求 x221x，x441x的值9已知（a1）（ b2） a（ b 3） 3，求代数式222ba ab 的值10若（ x2pxq）（ x22x3）展开后不含x2，x3项，求 p、q 的值整式的乘除与因式分解技巧性习题训练一、逆用幂的运算性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 / 12 12005200440.25. 2(23)2002(1.5)2003(1)2004_。3若23nx，则6nx. 4已知：2,3nmxx，求nmx23、nmx23的值。5已知：am2，bn32，则nm 1032=_。二、式子变形求值1若10mn，24mn，则22mn. 2已知9ab，3ab，求223aabb的值 . 3已知0132xx，求221xx的值。4已知：212yxxx，则xyyx222=. 524(21)(21)(21)的结果为 . 6 如 果 （ 2a 2b 1 ） (2a 2b 1)=63 ， 那 么a b的 值 为_ 。7已知：20072008xa，20082008xb，20092008xc，求acbcabcba222的值。8若210,nn则3222008_.nn9已知099052xx，求1019985623xxx的值。10 已 知0258622baba， 则 代 数 式baab的 值 是_ 。11 已知：0106222yyxx，则x_，y_ 。三、式子变形判断三角形的形状1 已知：a、b、c是三角形的三边，且满足0222acbcabcba，则该三角形的形状是_. 2若三角形的三边长分别为a、b、c，满足03222bcbcaba，则这个三角形是_ 。3 已 知a、b、c是 ABC的 三 边 ， 且 满 足 关 系 式222222bacabca，试判断 ABC的形状。四、分组分解因式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 / 12 1分解因式：a21b22ab_ 。2分解因式：22244ayxyx_ 。五、其他1已知： m2n2，n2m2(mn) ，求： m32mn n3的值。2计算：22222100119911411311211乘法公式与因式分解公式法是因式分解的重要方法之一，我们在这里介绍乘法公式在因式分解中的十种用法。这些方法熟练掌握后，对我们今后解决很多相应的问题都有帮助。一、直接运用例 1、分解因式： (a+b)21 解：直接运用平方差公式，得：原式 (a+b+1)(a+b 1). 例 2、分解因式： 4x212xy+9y2解：原式 (2x)222x3y+(3y)2(2x3y)2. 二、反复运用例 3、分解因式：4a2+4ab+b24a2b+1 解：原式 (4a2+4ab+b2) (4a+2b)+1 (2a+b)22(2a+b)+1 (2a+b1)2. 三、先提取公因式再运用例 4、分解因式：a34a解：原式a(a2 4) a(a+2)(a2). 例 5、分解因式：x3y26x2y+9x解：原式x(x2y26xy+9) x(xy3)2. 四、先分组再运用例 6、分解因式：x2y2+ax+ay解：原式 (x2y2)+(ax+ay) (x+y)(xy)+a(x+y) (x+y)(xy +a). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 / 12 五、几个公式联合运用例 7、分解因式：x2+2xy+y2z2 解：原式 (x2+2xy+y2) z2(x+y)2z2(x+y+z)(x+y-z). 六、先用十字相乘法再运用例 8、分解因式： (a+b)413(a+b)2+36 解：公式 (a+b)24( a+b)2 9 (a+b +2)( a+b2) (a+b +3)( a+b3) 七、先展开再运用例 9、分解因式： (1 a2)(1 b2) 4ab解：原式 1a2b2+a2b24ab =(12ab+ a2b2) (a2+2ab+b2) (1 ab)2 (a+b)2(1 ab+a+b)(1 abab) 八、先拆项再运用例 10、分解因式：x47x2+1 解：把 7x2拆成 2x29x2；则原式 (x42x2+1)9x2 (x21)2(3x)2(x2+3x1)(x23x1) 九、先添项后运用例 11、分解因式：a4+4b4解：原式 (a4+4a2b2+4b4)4a2b2(a2+2b2)2(2ab)2(a2+2ab+2b2)(a22ab+2b2) 十、先换元再运用例 12、分解因式：(ca)24(bc)(ab) 解：设bcx，aby，那么ca (x+y) ，则原式 (x+y)24xyx22xy+y2(xy)2(bc) (ab)2(2bac)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 / 12 练习：把下列各多项式分解因式：1、a2b2+ab 2、a2b2+2b1 3、x4y45x2y2+4 4、x2(x 2y)+y2(2yx) 5、x4+4 6、xn+22xn+1+xn精典例题：【例 1】分解因式：（1）33xyyx（2）xxx2718323（3）112xx（4）3224xyyx分析： 因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。当某项完全提出后，该项应为“1”注意nnabba22，1212nnabba分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。答案： （ 1）yxyxxy；（2）233xx；（3）21 xx；（4）yxyx222【例 2】分解因式：（1）22103yxyx（2）32231222xyyxyx（3）222164xx分析： 对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3 项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2 项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。答案： （1）yxyx52；（ 2）yxyxxy232；（ 3）2222xx【例 3】分解因式：（1）22244zyxyx；（2）babaa2322（3）322222yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 / 12 分析： 对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。答案： （1）zyxzyx22（三、一分组后再用平方差）（2）112aaba（三、二分组后再提取公因式）（3）13yxyx（三、二、一分组后再用十字相乘法）【例 4】在实数范围内分解因式：（1）44x；（2）1322xx答案： （1）2222xxx（2）417341732xx【 例5 】 已 知a、b、c是 ABC的 三 边 ， 且 满 足acbcabcba222，求证： ABC 为等边三角形。分析： 此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证cba，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式0222accbba，即可得证，将原式两边同乘以2 即可。略证：0222acbcabcba0222222222acbcabcba0222accbbacba即 ABC 为等边三角形。探索与创新：【问题一】（ 1）计算：22221011911311211分析： 此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。解：原式10111011911911311311211211101110991089433223212011（2）计算：22222221219981999200020012002分析： 分解后，便有规可循，再求1 到 2002的和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页10 / 12 解：原式1212199920001999200020012002200120022002200119991998 3 1 22002120022005003 【问题二】如果二次三项式82axx（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可以取那些值？分析： 由于a为整数，而且82axx在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定82axx能用形如pqxqpx2型的多项式进行分解，其关键在于将8 分解为两个数的积，且使这两个数的和等于a，由此可以求出所有可能的a的值。答案：a的值可为7、 7、 2、 2 跟踪训练：一、填空题：1、229n；222a；cabamm 1。2、分解因式：222yxyx；1872xyx；25102yxyx。3、计算： 19982002，2223274627。4、若012aa，那么199920002001aaa。5、如果n222108为完全平方数，则n。6、m、n满 足042nm， 分 解 因 式nm xyyx22。二、选择题：1、把多项式baab1因式分解的结果是（）A 、11 baB、11 baC、11 baD 、11 ba2、如果二次三项式12axx可分解为bxx2，则ba的值为（）A、 1 B、 1 C、 2 D、2 3、若22169ymxyx是一个完全平方式，那么m的值是（）A、24 B、12 C、 12 D、 24 4、已知1248可以被在60 70 之间的两个整数整除，则这两个数是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 / 12 （）A、61、63 B、61、 65 C、61、67 D、63、65 三、解答题：1、因式分解：（ 1 ）118146nnnxxx（ 2 ）8323222xxxx（3 ）122222ababba（4 ）14321xxxx（5）abba411222、已知0258622yyxx，求yx32的值。3、计算：222222129798991004、观察下列等式：23112333212333632123333104321想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来：。5 、 已知a、b、c是 ABC的三边，且满 足224224cabcba，试判断 ABC 的形状。阅读下面解题过程：解：由224224cabcba得：222244cbcaba2222222bacbaba即222cba ABC 为 Rt。试问：以上解题过程是否正确：；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题的结论应为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 / 12 参考答案一、填空题：1、n3，a2，cabam； 2、2yx，29 xx，25yx3、3999996610；4、0；5、10 或 4；6、22yxyx二、选择题： DADD 三、解答题1、（ 1）43121xxxn；（ 2）1421xxxx（3）21ba；（4）2255xx（5）baabbaab112、233、5050 4、233333214321nnn5、不正确，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页