2022年2022年均值不等式应用 .pdf

- 1 - 均 值 不 等 式 学 习 指 要高三总复习教学案例- 不等式专题（ 1）高三数学组刘海江算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式（亦称重要不等式或基本不等式），它是不等式的重要内容，也可以说是不等式中的精华。在证明不等式及利用不等式求最值的问题中有着非常广泛的应用。下面结合这届学生的学情，及教学大纲的要求，对这一知识点所涉及的内容、方法进行归纳、总结。一、基础知识总结（重点记忆）1、 如果,RbRa则abba222（当且仅当ba时，取“ =” ） 。2、 如果a，b都是正数，则abba2（当且仅当ba时，取“ =” ）均值定理。定义“2ba”叫做 a 、b的算术平均数，ab叫做 a 、b的几何平均数，则上述不等式即为“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。3、 由 “abba2（ a ，b都大于 0） ” 可以看出： 若ab= s （为定值），则ba在ba时，取得最小值s2；若ba= s（为定值），则ab在ba时，取得最大值42s。4、 八种变式：222baab； 2)2(baab；2)2(222baba)(222baba；若 b0,则baba22； a0,b0,则baba411；若 a0,b0, 则abba4)11(2；若0ab，则222)11(2111baba。上述八个不等式中等号成立的条件都是“ba” 。二、均值定理的应用特点（典例剖析）1、 抓住两边结构进行合理转化抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通” ，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例 1、正数 a 、b满足ba=1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2 - 求)1)(1(ba的最大值。思考： （1）本题是求 “积” 的最大值， 常规是向 “和” 或“平方和” 转化，并根据 “和”或“平方和”是否是定值，做出选择。（2）要利用ba=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式也就顺理成章了。解：232)1()1()1)(1(baba，当且仅当1)1()1(baba即21ba时取得“ =” 。)1)(1(ba的最大值是23。例 2、已知正数a 、b满足ba=1， 求22)1()1(ba最小值；思考：将条件与结论放在一起，可以看出， 要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式。解：)(222baba，)1()1(2)1()1(22baba3)1()1(222ba29)1()1(22ba，当且仅当21ba时取得“ = 。22)1()1(ba最小值是29。2、 转化中必要的“技术处理”对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握，如：“配系数”（将“ x ”写成“x221”或“x212” ） ；“拆项”（将“1332xxx”写成“111)1(xx” ） ；“加、减凑项” （将“ x ”写成“1)1( x” ） ；“升降幂”（2)(,0aaa） 等都是常用的“技术处理”方法。例3、已知0,0 ba，求证：baabba思考：从结构特点和字母的次数看与变式吻合，可从此式入手。解：若 b0,则baba22，baba2, abab2, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3 - 由 + baabba。 （此题还有诸多证法,在此略）例 4、已知0ba求)(162baba的最小值。思考： 本题求 “和” 的最小值， 但“积” 并不是定值， 故需要进行“拆项”变形等“技术处理”，注意到abab)(，容易找到解题的突破口,解：由0ba44)()(22ababbab，于是)(162baba41622aa=166422aa，当且仅当2264aabab即2,22ba时取“ =”)(162baba的最小值是16。另外也可由)(162baba=2)(bab)(16bab= ,16)(16)(4babbab来求得此最小值。三、使用均值定理的注意事项（易错提醒）1、 应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件“一正、二定、三相等” ， 即涉及的变量都是正数，其次是和（平方和）为定值或积为定值，然后必须注意等号可以成立。如xx22sin4sin的最小值是5 ；但使用均值不等式容易误解为是 4，因为xx22sin4sin不成立（不能取“=” ） 。2、 在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。如例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。3、 在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。 如求xx22sin4sin的最小值， 可利用函数xxxf4)(的单调性来解决。4、记忆一些常用结论：cabcabcba222，),22,(1aa)()(22222dcbabdac，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 4 - baabbaba1122222（Rba,） （四个平均数的大小关系）四、应用举例：循序渐进，学会变型（配套训练）例练 1 、求xxxy,10 的最小值。（ = 2 ）变形 1、求,42xxy x 0 的最小值。 ( = 4 ) 变形 2、求1sinsin2xxy， （0 x）的最大值。（ = 21）变形 3、求1,11xxxy的最小值。（ = 3 ）变形 4、求1,1222xxxxy的最小值。（ = 2 ）变形 5、求1,2212xxxxy的最大值。（ = 21）引申、求函数12xxxy的值域。（ - 1 ，31 ）例练 2、设Rba,且1ba，求证：22121ba例练 3、设yxnm,满足)(,2222babyxanm，求nymx的最大值。（ab）上述问题请读者自行解决。 2007年 11 月名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -