2022年2022年广东省汕头市届高三上学期期末统一质量检测数学试题 .pdf

绝密启用前试卷类型： A 汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测理科数学本试卷共 4 页， 21 小题，满分150 分.考试用时 120 分钟第一部分（选择题满分 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合5,3,1A，集合,2baB，若 AB1,3 ，则ba的值是 ( )A.10 B.9 C.4 D.7 2如图在复平面内，复数21,zz对应的向量分别是OBOA ,，则复数12zz的值是 ( )Ai21Bi22Ci21Di213学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 50，60)元的同学有 30 人，则 n 的值为 ( )A.100 B.1000 C.90 D.900 4若向量) 1 ,1(),0,2(ba，则下列结论正确的是( )A1baB.|baCbba)(Dba /5如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心） P-ABCD 的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于( )A.17cm B.cm5119C.16cm D.14cm 6设命题 p：函数 ysin2x 的最小正周期为2；命题 q：函数 ycosx 的图象关于直线x2对称，则下列的判断正确的是（）A、p 为真B、q 为假C、pq 为假D、pq为真名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7、若（ 9，a）在函数2logyx 的图象上，则有关函数()xxfxaa性质的描述，正确提（）A、它是定义域为R 的奇函数B、它在定义域R 上有 4 个单调区间C、它的值域为（0，）D、函数 yf（x2）的图象关于直线x2 对称8、计算机中常用的十六进制是逢16 进 1 的数制，采用数字0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：ED1B，则 AB（）A、6EB、72C、5FD、5FD、B0 第二部分（非选择题满分 110分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，满分 30 分（一）必做题：9、已知数列 na 的前几项为：1925,2,8,18222用观察法写出满足数列的一个通项公式na 10、72()xx的展开式中， x3的系数是（用数字作答）11、已知 a，b， c 分别是 ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，3c，AB2C，则 sinB 12、已知 x0， y0，且19xy1，则 2x3y 的最小值为13、设 f（x）是 R是的奇函数，且对xR 都有 f （x2）f（x），又当 x0,1 时，f （x） x2，那么 x2011,2013 时， f （x）的解析式为（二）选做题 ：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14. （坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21xtyt（t 为参数）截圆22cos30 的弦长为15. （几何证明选讲）已知圆O 的半径为3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC ，圆心 O 到 AC 的距离为 22，AB 3，则切线 AD 的长为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 三、解答题 ：本大题共6 小题，满分80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12 分）已知函数1( )tan()36fxx(I)求 f（x）的最小正周期；(II) 求3()2f的值；(皿)设71(3)22f，求sin()cos()2 sin()4的值 . 17.（本小题满分12 分）汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品，塑料厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出3 件进行检验 .求恰有 1 件是合格品的概率；(H)若厂家发给商家20 件产品，其中有3 件不合格，按合同规定，该商家从中任取2 件，都进行检验， 只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收， 求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并指出该商家拒收这批产品的概率。18.（本小题满分14 分）2012 年 9 月 19 日汕头日报报道：汕头市西部生态新城启动建设，由金平区招商引资共30 亿元建设若干个项目。现有某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%。该投资人计划投资金额不超过10 亿元，为确保可能的资金亏损不超过1.8 亿元 ,问 该投资人对甲、 乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？19.（本小题满分14 分）已知有两个数列na ，nb ，它们的前n 项和分别记为,nnST ，且数列 na是各项均为正数的等比数列，mS 26，前 m 项中数值最大的项的值,18，2 mS728，又22nTn(I)求数列 na ，nb 的通项公式 . (II) 若数列 nc 满足nnncb a ，求数列 nc 的前 n 项和 Pn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 20.（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 丄平面 PAD,PD=AD, E为 PB 的中点，向量，点 H 在 AD 上，且(I)：EF/平面 PAD. (II) 若 PH3 ，AD=2, AB=2, CD=2AB, (1)求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值. （2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值 . 21.（本小题满分14 分）集合 A|lgxRyx ，B2| 22(1)(1)0 xRxa xaa ，DAB。(I)当 a2 时，求集合D( 用区间表示 )；(II) 当102a时，求集合D(用区间表示 )；(III) 在(II) 的条件下，求函数32( )43(12 )6fxxa xax 在 D 内的极值点 . 理科数学答案一、选择题1、 C 2、A 3、A 4、C 5、D 6、C 7、D 8、A 二、 填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分. 9、2)1(21nn，或2)1(21nn（注意，本题答案有多种可能，只要学生给出的通项公式计算出的前几项满足就可以判正确） 10 、 84 11、 1 12、6629 13、)2012,2011(,)2012()2013,2012,)2012(22)(xxxxxf14、 4 15 、15三、解答题16（本题满分12 分）解：（ 1）()fx的最小正周期为T= 313,（3 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）33()tan()tan32663f,（6 分）（3）由711711(3)tan(3)tan()2232622f得即,（8 分）所以1tan2,（9 分）cos0sin()cos()sincossincos2 sin()4,（10 分）tan1tan1,（11 分）1123112,（12 分）另解：先求 sincos和再求得最后正确答案这步也得3 分17 (本小题满分12 分) 解：（）记“厂家任取3 件产品检验，恰有1 件是合格品”为事件A 则1230.81-0.8=30.80.04=0.096PAC（）,（3 分）（）可能的取值为0,1, 2,（4 分）2172201360190CPC，11317220511190C CPC，2322032190CPC,（7 分）,（8 分）136513301219019019010E,（9 分）记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率136271119095PPB,（11 分）所以商家拒收这批产品的概率为2795,（12 分）18 (本小题满分14 分) 02P136190511903190名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解：设该投资人对甲、乙两个项目分别投资x 亿元、y亿元，可能的盈利为z 亿元，则12zxy .,（1 分）依题意得：10311.8101000 xyxyxy即1031800 xyxyxy,（5 分）画出可行域如图阴影部分，,（8 分）作出直线1:02olxy作ol的一组平行线:22lyxz当直线过直线100 xy与直线3180 xy的交点 A 时直线在 y 轴上的截距 2z 最大，此时 z 最大,（10 分）解方程组1003180 xyxy得46xyA4, 6,12 分max14672z亿元,（13 分）答：投资人对甲项目投资4 亿元、对乙项目投资 6 亿元，才能使可能的盈利最大。,（14 分）19 (本小题满分14 分) 10 10 18 6 x y o 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解：（）设等比数列na的公比为 q ，0na, 0q若 q=1 时1mSma212mSma此时22mmSS而已知26mS2728mS22mmSS，1q,（1 分）由26728mmSS得121126 11172821mmaqqaqq,（2 分）12 得：128mq27mq,（3 分）1q前 m 项中ma最大18ma,（4 分）即1118ma q111827mma qq1233aq即123aq把123aq及27mq代入（ 1）式得21273261qq解得 q=3 把 q=3代入123aq得12a，所以123nna,（7 分）由22nTn(1) 当 n=1 时112bT(2) 当2n时222212212221nnnbTTnnnnn42n12b适合上式42nbn,（9 分）（）由（1）123nna, 42nbn113)12(432)24(nnnnnc记13)12(nnnd，nd的前 n 项和为nQ，显然nnQP412103213)12(.353331.nnnnddddQ.nnnnddddQ3)12(.353331.3321321 .,（11 分）- 得： -2nQ=nnn3)12(32.32323211321名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - =nnn3)12(31)31(3211=nn3)22(2,（13 分）43)1(44nnnQ，即43)1(4nnnP,（14 分）20 (本小题满分14 分) （）取 PA的中点 Q，连结 EQ 、DQ ，则E是 PB的中点，1/ /,2EQABAB且 EQ=12DFAB又1/ /,2DFABAB且 DF=DFEQDFEQ且,/,四边形 EQDF 为平行四边形，/ /EFQD，,EFPADPAD又平面且 DQ平面，/ /EFPAD平面,(3 分)（）解法一：证明: 0PHAD,PHADPHAD, 又AB 平面 PAD ，PH平面 PAD,ABPH,又PHAD=H , PH平面 ABCD ; -(4分) 连结 AE ,PDADQPA为的中点DQPA又ABPAD平面且DQPAD平面ABDQABPAADQPAB平面,(5 分)由（） 知/ /EFDQEFPAB平面AEAFPAB为在平面上的射影FAEAFPAB为直线与平面所成的角,(7 分)2PDAD3PHRtPHD在中2222231HDPDPHH 为 AD中点, 又PHAD2PAPDAD3EFDQPHABPAD平面ABAD/ /DFABDFAD在RtADF 中22415AFADDF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 又EFPAB平面EFAERtAEF在中315sin55EFFAEAF155AFPAB直线与平面所成的角的正弦值为515,(9 分)(2)延长 DA ，CB 交于点 M，连接 PM，则 PM 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的交线。,(10 分)因为CDABCDAB21,/,所以点 A,B 分别为 DM,CM 的中点，所以 DM=4，在PHMRT中 ：222MHPHPM，32PM222DMPMPDPDPM,(11 分)又因为PMDCD平面，所以PMCPCPD即为所求的 二面角的平面角。,(13 分)所以在PCDRT中：55522cosPCPDCPD,(14 分)解法二：（向量法）（1）由 （） 可得PHABCD平面又ABPAD平面在 平 面ABCD内 过 点/ /HHGAB作HGPAD平面, 以H为 原 点 ， 以.HA HGHPxyz的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系Hxyz2PDAD3PHRtPHD在中2222231HDPDPHHAD为中点1 0 0A，,3P O O1 2, 0B，13,122E，11 0F，2 1 0AF， ，设平面 PAB 的一个法向量为,nx y z1,0,3PA，1,2,3PB00nPAn PAnPBn PB由得30230 xzxyz得 y=0 令3z得 x=3 3, 0,3n,11 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为则2222233sincos,532133AF nAFnAFn155155AFPAB直线与平面所成的角的正弦值为,（9 分 ）(2)显然向量AB为平面 PAD 的一个法向量，且)0,2,0(AB设平面 PBC 的一个法向量为),(1111zyxn，1, 2,3PB,)0,2,2(BC，由,01nPB得到032111zyx由,01nBc得到02211yx，令11x，则3,111zy所以)3, 1, 1(1n，1121215cos,52113ABnABnABn所以平面 PAD与平面 PBC所成二面角的平面角的余弦值为55,（14 分 ）21、解：（ 1） A=0 x x,1 分当 a=2 时 B=210 xR xx解不等式210 xx得152x或152x1515,22Bx xx或,2 分15,2AB,3 分(2)不等式222 110 xaxaa令222 11hxxaxaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 22 142aa aaa )1=24 18 1aaa= 4 112aaa= 4 113aa= 4131aa,4 分 当1003a时0hx此时方程有两个不同的解12 14 311131142aaaaaax22 14 311131142aaaaaax12,Bx xxxx或121xxa103a1210 xxa2121311113112104442aaaaaaaaaaxx1200 xx且20,DABxx131113110,22aaaaaa,6 分 当13a时=00h x此时方程有唯一解121=3xx1111,0,3333BDAB此时，于是，,7 分 当1132a时0 xR对0h xBR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 0DABA，,8 分(3) 2126 126fxxaxa262126 21xa xaxxa令121()0,2fxxxa得102a( )0 xafx当时( ),fxa在上单调递增当1()02axfx时1(),2fxa在上单调递减当1()02xfx时1()+2fx在，上单调递增,10 分 当2131a时0D，当 00 xafx时0,fxa在单调递增当102axfx时1+2fx在，上单调递增当102xfx时1+2fx在，上单调递增12fxa有极小值点为，极大值点为,11 分 当13a时110,33D，此时12fx在 D上有极小值点,12 分103a时120,Dxx211311134122aaaaaax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 222341961622312130aaaaaaaaaa211961131113222aaaaaaax22aa当21123a时2131111222aaaaax此时21,2x22131119612412222aaaaaaaxa又又12130aaa212xaa2,ax，此时12fx 在 D上有极小值点当2012a时2131111222aaaaaxfx此时在 D上没有极值点综上所述 : 当1132a时，12fxa有极小值点为，极大值点为；当13a时，时12fx 在 D上有极小值点；当2012a时， fx 在 D上没有极值点；当21123a时，12fx 在 D上有极小值点,14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -