高等数学中常见的变量替换.pdf

目目录录引言(1)一 极限运算中变量替换的应用(1)(一) 对于0(或)型极限 (2)0(二)对于型极限(2)(三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限lim的求法(3)n(四) 求数列的极限 (4)二 不定积分运算中常用的变量替换 (6)(一) 三角函数代换(6)(二) 倒数代换(7)(三) 指数代换(8)(四) 不定积分f (y)dx的计算，其中y是由方程F(x,y) 0所确定的x的函数(8)三 定积分运算中常用的变量替换(9)(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法 (9)(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算(10)(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。(11)(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换 (12)四 解微分方程中变量替换的应用技巧(14)(一) 在求解可别离变量方程中变量替换的应用 (14)(二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)yx(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)五 重积分中变量替换的应用(16)(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)(二) 利用直角坐标系计算 (18)(三) 利用柱面坐标系计算 (19)(四) 利用球面坐标系计算 (19)结束语(19)参考文献(20)高等数学中常见的变量替换鲁友栋数学系 辽宁 中国摘要摘要变量替换是解决高等数学问题的重要手段。 深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“0”型， “ ”型，数列等几种0极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。关键词关键词 变量替换 积分极限引言在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏” 。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求到达的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。一 极限运算中变量替换的应用3(一) 对于或型极限假设用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令t 例 1，求以下极限：ex1limx0 x10012001,(k 1,2,.)kx12arctan exx2lim1x01xt2e dt0 x1解： 1直接用洛必达法则，得12231exxlim原式 limx0100 x9950 x0 x1021ex2此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换u 1，得x2u5050u4950! lim. lim 0；原式ulimuueuuuee2解：令u ，得原式ulimxlimarctanu euetdt021xu2u21u2 2ueu222ueu lim1u limu2uut2u2tu2e dt uee dt ue0022eu 4u2eueu2eu2 2u e2u2 lim2(1 2u2)eu2(1u )e2u22u 2.(二) 对于型极限此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。 所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于最快的项 。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。14例 1，求limx x2ln(1)x解：令u 得1uu ln(1 u)1ln(1 u) lim limu0u0u2u211u 12u1x1x原式 limu0 limu11 lim.u02u(1u)u02(1u)2(6x6 x56x6 x5)例 2：求xlim解：令u 得原式 lim65511 u 61 u111 lim(1 u)6(1 u)6.x06u66631xu0(三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限lim解题方法： 将隐函数F(x, y) 0化为参数式 将lim化为limttx0 xy的求法。xx x(t)y y(t)yxy(t)的形式，t0可由观察法得出。2x(t)例：设有方程x3 y33axy 0(a 0)，求(1) 曲线的渐近线方程(2)求出与渐近线平行的切线。3atx 333 321t解：令y tx，则x x t 3ax t，进而23aty 1t3y3at21 t3 lim limt 1(1)A limxxt11 t33att13at23at3at(t 1)B limf (x) Ax lim() lim axt11t3t1(1t)(t2t 1)1t3故斜渐近线为：y Ax B x a，即x y a 05x2ay(2) 方程x y 3axy 0的斜率为：y 2ax y33而渐近线的斜率：y 1，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相x2 ay等，即 1，即(y x)(y x) a(x y)，解得y x或y x a，将ax y2y x a代入方程得a 0(矛盾)，所以y x。将其代入x3 y33axy 0，得切点(0,0),(a,a).故所求的切线方程：y 0 (1)(x 0)，即x y 0.或者y a (1)(x a)，即x y 3a 0.(四) 求数列的极限解题方法： 先作出与数列同类形的连续变量x的函数;再求该函数当x 时的极限，该极限即为数列的极限。例 1 求以下数列的极限：(1(1)limnn32323232b 1n)，其中a 0,b 0; (2)limn(na 1)，a 0.na解：(1)显然b 1时，原极限为 1(1当b 1时，先求xlim1xb1x)。a1x11x1b11xb lnb()x2b11b11alimx,x() limlim由于xlimxaaxx1axx1 x2b1x(1) e则xlima1x1xlnbab 1n) ba. b，故lim(1na1an1x(a1).(2)先求xlim6xlim x(a1) lim1xa1 limxxx11xalna( x21x1)2x lna.limn(na 1) lna.故n例 2：设数列xn由下式给出：x112,xn1 xn xn,(n 1,2,).2111).x11x21xn1(试求limn2 xn xn(xn1) xn解：易知xn为正项数列，所以由xn1 xn知xn递增，于是xn x1 0且 1 xn1 xn(xn1)知xn12 1 1 递减，有下界 0，从而知xnxn2xnxnx xn111n1xn1xn1xnxn1xnxn1xnxn1于是,有Sn (111x11x21xn1111111) () ()x1x2x2x3xnxn1111 2x1xn1xn1设limn有1 A，由式变形为xn1xn11xn11，两边取n 时的极限xnxn1A A A 0 A 01 ASn lim(2所以由式得limnn1xn1) 27y21 y 5，任选x0 0，作例 3：设F(x, y) f (y x)，F(1, y) 22xx1 F(x0,2x0)x2 F(x1,2x1)x3 F(x2,2x2),xn1 F(xn,2xn)，,证明：limxn存在并求值。ny21解：F(1, y) y 5 f (y 1)，令y 1 u，则f (u) u2922所以F(x, y) 1(y x)29.2x故x1 F(x0,2x0) (x0 x2 F(x1,2x1) 129),x019(x1),2x1xn1 F(xn,2xn) 19(xn),2xn由题设条件，显见n N,xn 0且xn1(xn又129) 9 3xnxn11919(12) (1) 1，所以数列xn单调减少有下界，因而该xn229xnn数列必收敛， 记limxn A， 在(1)式中令n ， 得A (A)， 解得A 3，取其正值便得lim xn 3.n129A二 不定积分运算中常用的变量替换(一) 三角函数代换在被积函数中含有a2 x2, a2 x2,x2a2分别作变量代换：x asint,x atant,x asect，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变量复原。8(1)I 1x a x22dx(2)I a2 x2x2a2dx(3)I dxxx4解：(1)令x atant;则I 1a1dt1dt csctdt2atant asect cos tasintax2 a2a cxx11lncsct cott c lnaa(2) 令x asint，则I acost11132acostdt cot td(cott) cot t c4422a sin taa31a x3() cx3a222(3) 令x asect则I atantasect tantdt atan2tdt a(sec2t 1)dt atant at casectax2 a2 aarccos cx(二) 倒数代换一般令x .适用于p q 1的情形，其中p,q分别为被积函数的分母和分子关于x的最高次数。dxx22x 3例：(1)I ;(2)I 4;(3)I .21002x (1 x )(x 2)x 4 x1tdx解：(1)令x ，得I t41t2(1dt1d(2t)dt 2222t(2t) 1(2t) 11t112 ln2t (2t)21 c ln22x41 c.x2(2)令x ，得1t91t41I (2)dt 2dt (t21)dt1tt 11t212tt4 ( t3t arctant)c (3)令x 2 ，得1t13111arctanc.3xx3x111I t100(2 )2 2(2 ) 3(2)dt (2t97 t96 3t98)dttttt98t97t99111 c c.49973333(x 2)9997(x 2)9749(x 2)98(三) 指数代换当被积函数是由ax所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令t ax来求解。例：求以下积分3xdx(1)I xx1(2)I 9 3 41e exx2dx解：(1)令3x t，则x lnt有，ln33xdxt1dt1111I x2()dtx2ln35 t 4t 1(3 ) 3(3 )4t 3t 4 ln3t 511ln|t 4|ln|t 1| c 5ln|3x 4|ln|3x1| c;ln3ln3x2(2)令e t，则x 2lnt，有I 12111dt 2 (t2t1t)dtt t2txx12 2lnt ln(1t) c 2e x 2ln(1 e2) c.t(四) 不定积分f (y)dx的计算，其中y是由方程F(x, y)=0 所确定的x的函数。解题方法：10将方程F(x, y) 0，代为参数方程x (t)y (t)将参数方程代入I f (y)dx，即I f (y)dx f (t)(t)dt.变量复原将积分结果化为x, y的关系式.例：求以下积分(1)设y(x y)2 x，求dx1dx，(2)设y3(x y) x3，求3.x 3yy解(1)令x y t，则y x t代入y(x y)2 x，得t2(t23)t3tx 2, y 2,dx 2dt2t1t1(t1)11t2(t23)tdx 32dt dt于是：22x 3yt3t(t 1)t 1t21t21ln |t21| c ln | (x y)21| c;(2)令y tx，代入方程中，得t3x3(x tx) x3,则有x 114t 3, y ,dx dt.3242t (1 t)t (1 t)t (1 t)1212dxt6(1t)3(4t 3)234于是3dt (3t 7t 4t )dt42yt (1t)7445y37y44y5 (t t t ) c (345) c.45x4x5x3三 定积分运算中常用的变量替换(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式f (u)，其中u为中间变量，此时积分变为变上限(下限)积分；11利用变上限(下限)积分的微分法求解。例 1：设f (x)为(-，+)上的连续函数，且g(x) af (x t)costdt,求g(x).b解：令u xt则g(x) bxaxf (u)cos(u x)du bxbxaxf (u)(cosucosx sinusin x)dubx cosxaxf (u)cosudu sin xaxf (u)sinudu,而g(x) sin xaxf (u)cosudu cos x f (b x)cos(b x) f (a x)cos(a x) cosxaxf (u)sinudu sin x f (b x)sin(b x) f (a x)sin(a x)axf (u)(sinucos x cosusin x)du f (b x)cosb f (a x)cosabxbxbbxbxaxf (u)sin(u x)du f (b x)cosb f (a x)cosaaf (x t)sintdt f (b x)cosb f (a x)cosa例 2：求以下函数的导数(1)F(x) ex0f (tex)dt，求F(x)，(2)F(x) 0 xf (x t)dt，求F(x)，解：(1)令f (x) 0f (tex)dt，令u tex有f (x) 0F(x) eex2212sin x122f (u)1ex2du，则ex2x210f (te2x2)dt 0f (u)du.ex2222dF(x) (f (u)du)x f (ex)ex(2x) 2xexf (ex).于是0dx(2)F(x) 0 xf (x t)dt x0sin xsin xf (x t)dt,令u xt，则xx0sin xf (x t)dt xxxsin xf (u)(du) xsin xf (u)du,则F(x) xxsin xf (u)dux于是F(x) (xxsin xf (u)du)xxsin xf (u)du x f (x) f (x sin x)(1cosx) xf (x) x(1cosx) f (x sin x)xsin xf (u)du.(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算x12解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式f (u)，其中u为中间变量然后再积分或作判断例 1：设f (x)连续，证明0ln f (x t)dt 0ln证明：xf (1t)dt 0ln f (t)dtf (t)ln f (x t)dt0令x t uxx1xln f (u)du ln f (u)du ln f (u)du x0 x10 x11f (u)du 0ln f (t)dt 0ln f (t)dt 1ln f (t 1)dtx11xxln f (t)dtt u 1ln f (u 1)du ln f (t 1)dt,00将式代入式，得ln f (x t)dt 0 x0ln f (t)dt ln f (t)dt ln f (t 1)dt00 xdt 0ln f (t)dt0lnf (t)xf (t 1)即证。x2e,x 0例 2：设f (x) 求f (x 1)dx.021 x ,x 0解：0f (x1)dxu x11f (u)du 1f (x)dx 1(1 x2)dx0exdx211011413071x(e11) . (x x )e33e103(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。解题分法：假设积分限为0,2时,则令 x0,时，则令u x130,时，则令时，则令 x0,u x2244例 1：求以下积分(1)I 401sin2xcosx sin xdx(2)I 02dx1sin x1sin xcosx解：(1)令u 4 x则1sin2(u)1cos2u2sin2x4444I (du) du dx001cos2u02cos2x1sin2(u)4201cos x4dx (tan x x)| 104cos2x4(2) 令u 2 x，得cos(u) sin(u)0sinu cosucosx sin x22I (du) 02du 02dx I1sinucosu1sin xcosx21sin(u)cos(u)22故I 0，即02cosx sin xdx 01sin xcosxnnn例 2证明：02sin xcos xdx 202sinnxdx，n为正整数。证明：02sin xcos xdx 202sin 2xdxnnnn令u 2xdun222cosnu()22t u01 2n2cosnudu 2n02cosnudu22ncosn(t)(dt)2222 2n20sin tdt 2nn20sinnxdx(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换。解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为f (x)，14另一端为f(u)，则令x (u)。假设一端为f (x)，另一端为f (u)则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。1例 1证明0exttdt e0e dt分析：0exttdt e比较extt与e进而t 2x2x24xt24x2x2t2x40dt ex2u2x40du14x2u24， 可知， 应令xt t2(x2u2)， 则4t2 4xt (x2u) 0，x ux u或t 22x2令t x2t244证明：0exttdt0exx u2x24xxxex(xuxu2)()22(du1) e22xxx2u24dudt e0edt.4t24例 2设f (x)连续，试证2并求24f (9 x)4f (3 x)dx 2dx；f (9 x) f (3 x)f (9 x) f (3 x)f (9 x)dx的值。f (9 x) f (3 x)4分析：2f (9 x)4f (3u)dx 2duf (9 x) f (3 x)f (9u) f (3u)f (9 x)f (3u),可知只要f (9 x) f (3 x)f (9u) f (3u)比较两边的被积函数9 x 3u，即u 6 x命题即可得证。证明：24f (9 x)f (3u)4f (3 x)令u 6 x2dx(du) dx42f (9 x) f (3 x)f (3u) f (9u)f (3 x) f (9 x)利用上式可得24f (9 x)14f (9 x)4f (3 x)dx 2dx 2dxf (9 x) f (3 x)2f (9 x) f (3 x)f (9 x) f (3 x)1411dx 2 1.22215四 解微分方程中变量替换的应用技巧(一) 在求解可别离变量方程中变量替换的应用解题方法： 方程中出现f (xy), f (x y), f (x2 y2), f ( )等形式的项时， 通常要使用相应的变量替换：u xy,x y,x2 y2,.等。3例 1：求解以下微分方程y1y21ytan(2)y(1)y22x2yxx ysin(xy)xyxyx1 x2 y22)(3)xyyln(xy) 1 0(4)yyx (2x解：(1)令u xy,dudy y x，代入方程得dxdxdu1，即usinudu dx,则ucosu sinu x cdxusinu故原方程的通解为：sin(xy) xycos(xy) x c,y22dydu(2)令u , y ux,2y u x，代入方程，得xdxdxu xdudx，则lnsinu ln x lnc, u tanu，即cotudu dxx即sinu cxy2故原方程的通解：sin cx,xdudy y x，代入方程，得dxdxduduududx， y ylnu y 0，即lnu，亦即ulnuxdxdxx(3)令u xy,进而lnlnu ln x lnc,则lnu cx，即u ecx故原方程的通解：xy ecx,dudyduu 2x 2y，代入原方程，得 ( )2dxdxdxxdudx1111即22，解得 c，即c.uxuxux(4)令u x2 y2,16故原方程的通解：11x2 y2xc.(二) 求解齐次方程y(yx)中变量替换的应用解题方法：令yx u, y ux, y u xu代入原方程，得u ux (u)，则du(u) u ln x c例：求解以下微分方程(1)(xyy)arctanyx x；(2)xy y x2 y2.解：(1)由原方程得yy1xarctgyx令u yx, y ux, y u xu，代入方程，得u xuu 1arctanu所以arctanudu dxx，即arctanu dxx，解得：uarctanu 12ln(1u2) ln x lnc即cx 1u2 euarctanu，因此x2 y2 cyexarctanyx(2)yyx 1(yx)2，令u yx, y ux, y u xu代入原方程，得u xu u 1u2，所以dudx1u2x，解得arcsinu lnx c，即arcsinyx ln x c(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用例：求解以下方程(1)yx tan y，(2)(x2cos yy21)y2xy3 017解：(1)由yxsin y,知cos y y x sin y，即(sin y) x sin y，cos ycos y令sin y u，则原方程变为u u x特征方程：1 0即 1，特解u*1D1x (1 D)x x1于是方程的通解为：u cex x 1，故原方程的通解为sin y cex x 1(2)令u(y) x2，于是u(y) y 2x，原方程变为u(y)y21 2xy y3即u(y)y21 u(y)y3，则u(y) 1u(y) 1yy3则方程的齐次方程：u(y) 1yu(y) 0.则duu dyy，解得lnu ln y lnc，即u cy.令方程的解为u c(y)y，将其代入，并整理得c(y)y1y c(y) 113y2解得c(y) yc故方程的通解为：u (111cyc)y y2y故原方程的通解为：x2y2cy 1.五 重积分中变量替换的应用(一) 二重积分计算中的变量替换设被积函数f (x, y)在区域D上连续，假设变换x x(u,v), y y(u,v)，满18足如下条件(1)将 uov 平面上的区域D*上的点一对一地变为D上的点；(2)x(u,v), y(u,v)在D*上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式x x,(x,y)u vJ 0(u,v)y y,u v则f (x, y)dxdy fx(u,v), y(u,v)| J | dudvDD*同样，作什么变换主要取决于积分域 D 的形状，有时也兼顾被积函数f (x, y)的形状，基本想法是定限简便，求积容易。例 1：计算I xydxdy，其中D 是由曲线()4在第一象限中236D所围成的区域。4解：()4x2y3xy是一个四次方程，要解出x(或y)相当难。因此不宜6xyxy在直角坐标系中计算。为此，令x 2cos2, y 3sin2则曲线方程变为42sin2cos2，即2 sin2cos2，又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是0 22因而 sincos,令 0，得 0，(x, y)J (,)3sin2222cos24cossin6sincos212sincossincos故I 6sincos| J | dd02d0Dx12 6sin2cos22da615例 2：设f (t)为连续函数，证明：f (x y)dxdy af (t)(a|t |)dt.D其中 D 为矩形域，| x |,| y |(常数a 0)如图(1)，证明：令u x y,v x y，则a2a219D Dx:a u v a,a u v a如图(2)J (x, y)11(u,v)(u,v)2(x, y)-a0-a(1)axyaya2a20 x-a2(2)故：f (x y)dxdy f (u) dudvDDx1210au1aauf (u)dudv f (u)uauadv2a200aa(a u) f (u)du 0f (u)dua(a |u |)f (u)du 0(a |u |)f (u)duaf (t)(a |t |)dt.(二) 利用直角坐标系计算例 1，I y 1 x2dxdydz，其中为y 1 x2 z2,x2 z21,y 1之间。a0a解：如图2y 1 x dxdydz 121x21x211x2z2Dxzdxdz11x y22y 1 x2dyzx2+z2=111 x dxdzydyo11 x dx121x21x2x2 Z2dz2xyy=1201211281(x4x2)dx 33345(三) 利用柱面坐标系计算例：I (x y z)dv,由x2 y2 Z2；0 Z h所围成形体解：由于关于yoz坐标面，xoz坐标面均对称，故xdv ydv 0,于是I zdv dxdyDxyhx y22zdz 0d0dpzdzh2hh 20(h22)d0(h23)dh4(四) 利用球面坐标系计算例：I h1214zln(x2 y2 z21)222x y z 1，其中为dv222x y z 1解：I cosln(1 r2)1 r2r2sindrdd0sincosd0因为0sincosd 0,所以I 0.2r3ln(1 r2)d0dr1 r21结束语以上我仅就五个领域，论述了由于运用变量替换而给解题带来的方便之处。虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题的相当部分，通过实践，我们可以清楚的看到在运算中由于运用了变量替换，不仅给解题带来了方便，更为我们提供了一种全新的思维方式。当然，变量替换应用的领域很广泛，不只有我以上提到的几种。譬如，利用残数定理计算实积分等领域中也用到了变量替换。因此，可以毫不夸张的说变量替换已经作为一种数学思想渗透在数学这门学科的每一个角落，它21就如同一盏指航灯，为我们在数学海洋的遨游中指明了方向，使我们顺利到达成功的此岸。因此，变量替换的作用不可无视，变量替换应用的前景无可限量。它会为我们打开方便之门，成为数学知识宝库中一个瑰丽的奇葩，大放异彩！参考文献：参考文献：1华东师范大学数学系编 .数学分析上册。高等教育出版社，1991 年。2华东师范大学数学系编 .数学分析下册。高等教育出版社，1991 年。3王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程。高等教育出版社，1983 年。4陈文灯，黄先开 .数学题型集粹与模拟试题集.理工类 2001 版。世界图书出版公司， 2000 年。Common in higher mathematics variable substitutionCommon in higher mathematics variable substitutionLu Youdong(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)AbstractAbstract Variable substitution is resolving the significant measure of higher mathematics problem .Thoroughly comprehending the variable substitution may foster the capability that student utilized thedifferent actual problem of agile handle of the information studyed . Hence being living in the highermathematics , how to employ and masters the variable substitution is the key to resolve some issues ;The how agile application variable substitution is a problem that merit valueing . The originaldetailedly introduced by means of several examples the mould , the sequence of number awaitsvariable substitution in some kinds of calculations the maximum application and circular functionreplace , reciprocal replace with the mould , and the index number replace awaits the variablesubstitution indefinite integral calculation in the application , and emphasizees to introduce theapplication that the definite integral being living operates the variable substitution in the solutiondifferential equationKey wordsKey wordsVariable substitutionIntegrationThe maximum22