2022年2022年焦点三角形面积公式 .pdf
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222byax（ab 0）中，焦点分别为1F 、2F ，点 P 是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF. 证明：记2211| ,|rPFrPF，由椭圆的第一定义得在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. 同理可证，在椭圆12222bxay（a b0）中，公式仍然成立 . 典题妙解例 1 若 P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求21PFF的面积 . 解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.| ,|2211rPFrPF点 P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rrP y F1 O F2 x P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已 知P 是 椭 圆192522yx上 的 点 ，1F、2F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若21|2121PFPFPFPF，则21PFF的面积为（）A. 33 B. 32 C. 3 D. 33解：设21PFF，则21|cos2121PFPFPFPF，.60故选答案A. 例 3（ 04 湖北） 已知椭圆191622yx的左、 右焦点分别是1F、2F，点 P在椭圆上 . 若 P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F或2F是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长492ab；若 P是直角顶点，设点 P到x轴的距离为h，则945tan92tan221bSPFF，又,7)2(2121hhcSPFF97h，.779h故答案选 D. 金指点睛1. 椭圆1244922xy上一点 P与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直， 则21PFF的面积为（） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F， P 是椭圆上一点， 当21PFF的面积为1 时，21PFPF的值为（） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3. 椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F， P 是椭圆上一点， 当21PFF的面积最大时，21PFPF的值为（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 24已知椭圆1222yax（a1）的两个焦点为1F、2F，P 为椭圆上一点，且6021PFF，则|21PFPF的值为（）A1 B 31 C34 D325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F、2F为焦点，点P在椭圆上，直线1PF与2PF倾斜角的差为90，21PFF的面积是 20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6 已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点， P为椭圆上一点， 且21|2121PFPFPFPF， 21PFF的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程. 答案1. 解：24,90221bPFF，2445tan242tan221bSPFF. 故答案选 D. 2. 解： 设21PFF，12tan2tan221bSPFF，90,452，021PFPF.故答案选 A. 3. 解：3,1,2cba，设21PFF，2tan2tan221bSPFF，当21PFF的面积最大时，为最大，这时点 P为椭圆短轴的端点，120 ，2120coscos|22121aPFPFPFPF. 故答案选 D. 4 解：6021PFF，1b，3330tan2tan221bSPFF，又|43sin|21212121PFPFPFPFSPFF，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 33|4321PFPF，从而34|21PFPF. 故答案选 C. 5. 解：设21PFF，则90 . 2045tan2tan22221bbbSPFF，又3522abaace，95122ab，即952012a. 解得：452a. 所求椭圆的标准方程为1204522yx或1204522xy. 6解：设21PFF，120,21|cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b. 又3342ca，即33333411222cccccbc. 3c或33c. 当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为1422yx；当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422yx；但是，此时点 P为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意 . 故所求的椭圆的标准方程为1422yx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
