2022年2022年矩阵分析 .pdf

矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。如：对称矩阵可以定义为：aij=aji也可以定义为 : (x, Ay)=(Ax,y), 还可以定义为：Ax=f(x), 其中 f(x)=xTAx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在 x 处的梯度。3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。图像压缩就是矩阵的表示问题 .这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。4. 矩阵是二维的 (几何性质 ) 矩阵能够在 二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。第一章：线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体 )的观点思考问题。整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设 S， S为集合映射：为一个规则：S S, 使得 S 中元素 a 和 S中元素对应，记为a=(a),或：aa. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S中仅有唯一的一个元素和它对应。映射的原象，象；映射的复合。满射,单射 ,一一映射。若 S和 S 相同，则称为变换。若 S为数域，则称为函数。线性空间的定义和性质定义 1.1 设 V 是一个非空集合，它的元素用x,y,z 等表示，并称之为向量；K 是一个数域，它的元素用k,l,m 等表示，如果V 满足下列条件(I)在 V 中定义一个加法运算，即当Vyx,时，有惟一的Vyx，且加法运算满足下列性质(1)结合律;)()(zyxzyx(2)交换律;xyyx(3)存在零元素0，使 x+0=x；(4)存在负元素，即对任何一向量xV ,存在向量y，使 x+y=0，则称 y 为 x 的负名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 元素，记为 -x，于是有x+(-x) = 0 (II)在 V 中定义数乘运算，即当x V, kK,有唯一的kxV, 且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律k(x+y)=kx+ky ; (6) 分配律（ k+l）x= k x+l x ; (7) 结合律k(l x)=(k l ) x ; (8)1 x = x 则称 V 为数域 K 上的线性空间或向量空间。特别地，当K 为实数域 R 时，则称 V 为实线性空间；当 K 为复数域 C 时，则称V 为复线性 (酉)空间。例：次数不超过n 1 的多项式 Pn全体按照通常的多项式加法和数乘构成一个线性的多项式函数空间；即： f(x)=a0 xn 1+a1xn 2+ +an 2x+an 1g(x)=b0 xn 1+b1xn 2+ +bn 2x+bn 1定义 f(x)g(x)=f(x)+g(x), k f(x)=( k a0)xn 1+(k a1)xn 2+ +(k an 2)x+k an 1n 维实向量的全体按照通常的向量加法和数乘构成一个实线性空间,我们把这个空间称为实向量空间；即： x, y Rn，定义： (xy)i=xi+yi ,(k x)i=k xi所有 m n 实矩阵的全体按照通常的矩阵加法和数乘构成一个实线性空间，称之为矩阵空间；由例如，取V=R, x,yV, 定义xy=(x3+y3)1/3, k x=k1/3x，k R. 易验证这样定义的加法和数乘仍然构成一个线性空间。线性空间中，向量的关系：线性相关：若存在一组不全为零的数c1,c2, ,cm,使得c1x1+c2x2+ +cmxm=0 则称向量组x1,x2, ,xm线性相关，否则为线性无关。极大线性无关组：一个不可能再往里添加向量而保持它们的线性无关性引理 1.1：线性无关组总是可以扩充为极大线性无关组。例如： x1=(1,0,0)T,x2=(0,1,0)T, 则设x3=( , , )T, 其中表示任意的数，只要0，则 x1,x2,x3就为极大线性无关组。引理 1.2：在一个线性空间中任两个极大线性无关组若它们的所含向量个数都有限，则所含向量个数一定相同. 证明 ：设 x1,x2,xm和 y1,y2,yn为线性空间V 中的两个极大线性无关组。则存在矩阵A,B使得(x1,x2,xm)=(y1,y2,yn)A(1) (y1,y2,yn)=( x1,x2,xm)B(2) 将式 (1)代入式 (2)可得(y1,y2,yn)=(x1,x2,xm)B=(y1,y2,yn)AB(3) 另一方面，我们知道(y1,y2,yn)=( y1,y2,yn) En(4) 其中，En为 n 阶单位矩阵。 由于 y1,y2, ,yn为极大线性无关组， 因此表示系数矩阵应该唯一，也就说，由式 (3)和式 (4)可得 AB = En，由此有trace(AB)= trace(En)= n(5) 类似地，将式 (2)代入式 (1)可得(x1,x2,xm)=(x1,x2,xm)BA=(x1,x2,xm)Em ,再由 x1,x2, ,xm为极大线性无关组可得BA = Em,由此有trace(BA)= trace(Em)= m(6) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 这样利用矩阵迹算子trace( )的性质，联合式(5)和式 (6)可得n= trace(AB)= trace(BA)=m。因此，这两个极大线性无关组所含向量个数相同。(定义 )线性空间V 的维数：V 中极大线性无关组的所含向量的个数，定义为线性空间的维数。维数有限的称为有限维空间，否则称为无穷维空间。这个定义之所以有意义，是因为在引理1.2 中我们证明了极大线性无关组的个数是相同的。本书仅仅研究有限维空间，这里得到的结论有些可以直接推广到无穷维空间，但有些却不可能。必须小心！在后面的讨论中我们仅仅讨论有限维空间，而不一一说明。线性空间中向量的表示线性空间的基：若线性空间V 的向量 x1,x2, ,xr满足1）x1,x2, ,xr线性无关；2）V 中的任意向量x 都是 x1,x2, ,xr的线性组合；则称 x1,x2, ,xr为 V 的一个基或基底，相应地称xi为基向量。推论 1.1：线性空间中任意一组极大无关组构成它的一个基。定义 1.2：称线性空间Vn的一个基x1,x2, ,xn为 Vn的一个坐标系。设向量x Vn,它在该个基下的线性表示为x = c1 x1+c2x2+ +cnxn则称 c1,c2, ,cn为 x 在该坐标系下的坐标或分量，有时我们称n 维向量 (c1,c2, ,cn)T为向量 x在该个基下的表示。这实际定义在V 和 Rn或 (Cn)的之间一一映射: V Rn(或 Cn) 即: xV (c1,c2, ,cn)TRn(或 Cn) 数域相同的线性空间和n 维列向量空间的关系：定理 1.2 在一个基下我们看到任意n 维线性空间V 和 n 维列向量空间Rn(或 Cn)代数同构 ,即存在 V 和 Rn或(Cn)的之间一一映射:V Rn(或 Cn) 使得(x+y)= (x)+ (y), x, yV (kx) =k (x), x V, kK，也就是保持加法和数乘运算。(按后面的定义，实际为可逆的线性映射)。这个定理说明虽然n 维线性空间有无穷多，但是从代数的角度我们仅仅研究n 维实 (或复 )向量空间就足够了。例如：前面介绍次数不超过n 1 的多项式全体按照通常的多项式加法和数乘构成一个线性的多项式函数空间Pn，选择 Pn的一个基 x1=1,x2=x,x3=x2,xn=xn 1, 则任意次数不超过n 1的多项式f(x) = a0 xn 1+a1xn 2+ +an 2x+an 1= (1,x,x2,)( an 1, an 2, a0)T这样 ( an 1, an 2, a0)T就是多项式f(x)在基 x1,x2, ,xn的坐标。显然我们可以看成将f(x)映射为( an 1, an 2, a0)T，这时明显可见映射为线性的，即若: f(x) ( an 1, an 2, a0)T : g(x) (bn 1,bn 2,b0)T名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 则 : f(x)+g(x) (an 1+bn 1, an 2+bn 2, , a0+b0)T基变换与坐标变换在线性空间Vn中，同一向量对不同的基，它的坐标表示是不一样的。当由一个基x1,x2, ,xn变换为另一个基y1,y2, ,yn时,则由基的定义可得y1=c11x1+c21x2+ +cn1xny2= c12x1+c22x2+ +cn2xn yn= c1nx1+c2nx2+ +cnnxn 或用矩阵形式写为Y = XC 称为基变换公式(1.1) 其中矩阵 C 为c11c12 c1n c21 c22 cn2 称为由旧基到新基的过渡矩阵。cn1 cn2cnn Y=(y1,y2, ,yn), X= (x1,x2, ,xn) 实(复)矩阵 A 为奇异矩阵定义为：存在非零n 维实 (复)向量 x 使得 Ax = 0. 推论 1.2 过渡矩阵非奇异. (自行证明 ) 从推论 1.2 我们可以发现，任何一个非奇异矩阵都可以看成是线性空间的两个基之间的过渡矩阵，换句话说，是一个基在另一个基下的坐标表示。向量在不同基下的表示坐标的关系：设由一个基x1,x2, ,xn变换为另一个基y1,y2, ,yn时过渡矩阵为C,向量 x在基 x1,x2, ,xn和基 y1,y2, ,yn的坐标表示分别为 =1,2, ,nT, =1,2, ,nT则有x=X=Y=(X C)= X (C),从而有=C或者=C-1或用分量形式推导得nkkikniinkniiikknkkkniiicc111111xxyxx即为=C线性子空间定义：设 V1是数域 K 上线性空间V 的非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件(1)对加法封闭：若x, y V1，则 x+yV1 (2)对数乘封闭：若x V1，kK,则 k xV1. 则称 V1为 V 的线性子空间或子空间。仅由 0 元素构成的子空间为零子空间。注意：零子空间的维数为0 而不是 1。子空间的运算：交，和，直和两个子空间V1,V2的交 V1V2仍为子空间。定义 1.8 设 V1, V2为数域 K 上的线性空间V 的子空间，且x V1, yV2,则由 x+y 的全体构成的集合称为V1和 V2的和，记为V1+V2.记 V1+V2=z | z=x+y, xV1,yV2。显然 ,两个子空间V1, V2的和V1+V2仍为子空间 ,并且交与和分别满足结合律，即(V1V2) V3=V1(V2V3), (V1+V2)+ V3=V1+(V2 +V3), 从而它们都可以推广到几个子空间的情形,并且V1V2 Vn或 V1+V2+ +Vn有意义。子空间的维数公式：dim V1+dim V2=dim (V1+V2)+dim(V1V2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 直和的定义：若V1V2=0,则 V1+V2为 V1,V2的直和，记为V1V2。性质： 对于 V1V2中的元素 z, 在 V1和 V2分别存在唯一x 和 y使得 z=x+y.即 z的分解唯一。显然有 V1V2 dim(V1V2)=0 dim V1+dim V2=dim (V1V2) 子空间的构成：1）由几个子空间的交或和构成。2）向量 x1,x2, ,xm组扩张而成。由单个非零向量x 对数乘运算封闭构成的一维子空间L(x)=z | z=k x, k K. 同理记 L(x1,x2, , xm)=L( x1)+L( x2)+ +L(xm) 显然 dim(L( x1,x2, , xm) m 思考题 1：一个 n 维线性空间的真子空间有多少？思考题 2：若 V1,V2, ,Vm为线性空间V 的真子空间，证明存在一个向量 xV,但 x V1V2Vm成立。特别讨论在实线性空间Rm中矩阵 A=(aij)Rm n的列向量构成的子空间L(a1,a2, ,an)称为矩阵 A 的值域 (列空间 ),记为R(A)=L(a1,a2, ,an)Rm矩阵的秩矩阵的列秩：由矩阵的列向量构成的最大无关组的个数。矩阵的行秩：由矩阵的行向量构成的最大无关组的个数。定理 : 矩阵的行秩和列秩相同。证明：由于rank(A)=rank(AAT) rank(AT) 同样， rank(AT) rank(A) 这样， rank(A)= rank(AT)，即矩阵的行秩和列秩相同. 从而它们称为矩阵的秩，记为rank(A). 定理dim(R(A)=rank(A). 定义 1.7 设在实线性空间Rn中矩阵 A=(aij)Rm n,称集合 x|Ax=0 为矩阵A 的核空间 ,记为N(A), 即 N(A)=x|Ax=0Rn. 称 N(A) 的维数为A 的零度，记为n(A), 即 n(A)=dim(N(A). 定理：dim(R(A)+dim(N(A)=n. 思考：若 ACn n,R(A) N(A) 成立吗？举例说明？成立的条件是什么？不一定成立如2 线性映射 ,线性函数，线性变换及它们的矩阵表示表示是什么？表示究是本质来说是一种映射，它把我们不熟悉或抽象的事物映射为我们熟知或具体的事物。例如：抽象的线性空间在一个基下可表示为实或复的向量空间。同样地，线性空间之间的线性映射都可以表示为矩阵。这正是矩阵的代数本质所在。(向量为特殊的矩阵 ) 这就是本节所研究的内容。定义：数域相同的线性空间X 到线性空间Y 的映射 T 称为线性映射，若T 满足下列条件：1) T(x+y)=T(x)+T(y) 2) T( kx)=kT(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 若线性空间W 和线性空间V 的维数分别为：m=dim(W),n=dim(V) x1,x2, ,xm以及 y1,y2, ,yn分别为 W 和 V 的一个基，则线性映射可以表示为一个Rn m(或者 Cn m)的矩阵。设向量 Txi在基 y1,y2, ,yn的坐标表示为Txi=(y1,y2, ,yn) (a1i,a2i, , ani)T=(y1,y2, ,yn)ai, i=1,2, ,m记矩阵 A=( a1,a2, , am)，而基为 Y=(y1,y2, ,yn), X= (x1,x2, ,xm)。则有 TX=(Tx1,Tx2, ,Txm)=Y A (2.1) 对任意向量x 在基 x1,x2, ,xm的坐标表示为=1,2, ,mT，向量 Tx 在基 y1,y2, ,yn的坐标表示为 =1,2, ,nT，那么我们有Tx=Y=T(X)=(TX) =(Tx1,Tx2, ,Txm) =Y (A )=A(2.2) 从而对于线性映射T，在基 X 和 Y 的下的表示为矩阵A. T : x y=Tx 其中 x=X , y=YA: =A注意对于同一映射，若基X 和 Y 选择不同，则T 的表示 A 一般不相同。一个很自然的问题就是各种表示之间的关系如何？若用映射的形式我们可以表示为: A=(T; X,Y) (2.3) 设线性空间W 的另一组为X, 且 X=XC, 线性空间 V 的另一组为Y, 且 Y=YD, 或 Y=Y D1 (注意，因为C 和 D 分别为过渡矩阵，从而可逆) 设线性映射T 在基 X和 Y 下的矩阵为A,即 TX=Y A 则 TX=T(XC)=(TX)C(由(2.1) =(YA)C=Y(AC)=YD1AC=YA 从而我们有A= D1AC (2.4) 这就是线性映射在不同基下的矩阵表示的关系式。注意：DRn n, ARn m, CRm m. 线性映射的复合：S: WV; T: VZ 定义 (TS)(x)=T(S(x). 其中 W, V 和 Z 为线性空间，S和 T 都为线性映射。很明显，线性映射的复合仍为线性映射。设 x1, x2, ,xm为 W 的一个基，y1,y2, ,yn为 V 的一个基z1,z2, ,zr为 Z 的一个基，S在 W 和 V 的当前基下的表示为A, 而 T 在 V 和 Z 的当前基下的表示为B，则它们的复合T S 在当前基下的矩阵表示为BA. 由于映射的复合一般不可交换，从而对应的矩阵的乘法也不可交换，即BA=AB 一般不成立。思考题：根据（2.3） ，若用映射的形式我们可以表示为: BA=(T S; X, Z) 可见， T S 的矩阵表示和V 的基 Y 的选择无关，假如选择另外一组 V 的基 Y ,证明这一点。定理：设 T 为线性空间W 到线性空间V 的线性映射，则W 内的线性子空间W1在 V 中的象 V1为 V 的线性子空间。反之，V 中的线性子空间V1的逆象T-1(V1)= x | y V1s.t. y=Tx ,xW 也为 W 中的线性子空间。证明：利用子空间的定义，显然可以得到。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 定理：设 T 为线性空间W 到线性空间V 的线性映射，W1，W2为 W 内的子空间，则1). T(W1+W2)= T(W1)+T(W2) 2). T(W1W2) T(W1) T(W2) (思考为什么等式不能成立？) 记 R(T) 为 W 在 V 中的象，称之为值域，即R(T)= yV | y=Tx, x W 记 N(T) 为 V 中零向量空间的逆象T-1(0),称之为 T 的核，即N(T)= x| Tx=0, xW T 的值域 R(T) 的维数 dim(R(T) 称为 T 的秩，其核子空间的维数dim(N(T) 称为 T 的亏度。dim(R(T)+ dim(N(T)=dim(W) 证明：设x1,x2, ,xr为 N(T) 的一个基，扩充它们使之为W 的一个基： x1,x2, ,xr,xr+1, ,xn,那么我们证明T(xr+1), ,T(xn)为 R(T) 的一个基。首先证明T(xr+1), ,T(xn)线性无关 .设 tr+1T(xr+1)+ +tnT(xn)=0 则 T(tr+1xr+1+ +tnxn)=0,从而 tr+1xr+1+ +tnxnN(T) 所 以tr+1xr+1+ +tnxn能 够 被x1,x2, ,xr线 性 表 示 。 因 此 存 在t1, ,tr使 得t1x1+ +trxr=tr+1xr+1+ +tnxn,即t1x1+ +trxrtr+1xr+1 tnxn=0 因此 t1=t2= =tr=tr+1= =tn=0 这样就说明T(xr+1), ,T(xn)线性无关。其次我们证明对于任给yR(T) ，y 能被 T(xr+1), ,T(xn)线性表示 . 由于 yR(T) ，因此存在xW 使得 y=T(x). 由于 x1,x2, ,xr,xr+1, ,xn为 W 一个基，因此存在t1, ,tr,tr+1, ,tn使得x=t1x1+ +trxr+tr+1xr+1+ +tnxn从而 y=T(x)=T(t1x1+ +trxr+tr+1xr+1+ +tnxn) = t1T(x1)+ +trT(xr)+tr+1T(xr+1)+ +tnT(xn) = tr+1T(xr+1)+ +tnT(xn) 因此 y 能够被 T(xr+1), ,T(xn)线性表示。同时由于T(xr+1), ,T(xn)线性无关。这样它们就构成了 R(T) 的一个基。从而有dim(R(T)+ dim(N(T)=dim(W) 证毕 . 例：对于Rn到 Rm的线性映射T,对于任给x Rn,T(x)=Ax, 其中A 为 Rm n的矩阵，这时R(T)=R(A) ，即 A 的列向量构成的线性子空间. N(T) 为 Ax=0 的解的全体构成的子空间. 由 dim(R(T)+ dim(N(T)=dim(W)可以看出，Ax=0 的基础解系的个数为n r(A) ，其中r(A)=R(T) 为 A 的秩 . 这个结论我们在高等数学里已经得到过. 对于 W 到 V 的两个的线性映射T1和 T2分别定义它们的加法和数乘如下：(T1+T2)(x)=T1x+T2x (2.4) (kT1)(x) = k (T1x) (2.5) 那么有以下定理：定理 2.4：所有W 到 V 的线性映射的全体按(2.4)和(2.5)定义的加法和数乘构成一个线性空间。这个空间的维数为mn. 从这里我们可以看到，借助矩阵表示，我们可以完全利用矩阵运算研究线性映射，其实反过来也是对的，即，有时我们可以借助线性映射来研究矩阵。有时候，如果我们利用线性映射的某些特点可以证明矩阵的某些性质，如下例所示。例设 ACm n, BCn p.则 N( AB)=B1N( A)R(B), 线性映射复合的维数公式：dim(N( AB)=dim(N( B)+ dim(N( A)R(B) dim(R( AB)=dim(R( B) dim(N( A)R(B) 所以可以证明，rank(A)+ rank(B)n rank(AB) dim(R(AB)+dim(R(BC) dim(R(B) dim(R(ABC) 证明： 1). 显然 N(AB)=B1N( A)R(B) 成立 ; 2). 欲证 dim(N( AB)=dim(N( B)+ dim(N( A)R(B)，显然存在 x1,x2,.,xrCp使得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - Bx1, Bx2,., Bxr为 N(A)R(B) 的一个基，那么显然 x1,x2,.,xr线性无关。再取 N(B) 的一个基为xr+1,x r+2,.,xs,那么可以证明x1,x2,.,xr, xr+1,x r+2,.,xs,为 N(AB)的一个基。从而有dim(N( AB)=dim(N(B)+ dim(N(A)R(B) 类似地可以证明dim(R( AB)=dim(R(B) dim(N( A)R(B) 或者由dim(R(AB)+dim(N(AB)=dim(R(B)+dim(N(B) 可得 dim(R(B) dim(R(AB)=dim(N(A)R(B) 3). dim(R(B) dim(R(AB)=dim(N(A)R(B) dim(N( A)=n dim(R(A) 因此有 rank(A)+ rank(B) n rank(AB) 等号成立的充要条件是N(A)R(B). 同样的dim(R(BC) dim(R(ABC)=dim(N(A)R(BC) dim(N( A)R(B) = dim(R(B) dim(R(AB) 因此有dim(R(AB)+dim(R(BC) dim(R(B) dim(R(ABC) 等号成立的条件就是N(A)R(BC)= N( A)R(B) 因此这个例子说明，线性映射和矩阵之间的相互关系，既可以利用矩阵讨论线性映射的性质，也可以利用线性映射讨论矩阵的性质，二者之间建立联系是有助于矩阵研究的。几个特殊的线性映射：1）线性函数 ，即取V=R1,或 C1称之为实或复线性函数。在泛函分析中称之为线性泛函。2)线性变换 ：若线性映射T 为： WW, 则称 T 为线性变换。线性映射和线性映射的区别：1.线性映射 T：W V, 线性变换 T: WW. 2.线性映射的矩阵表示A 与 W 和 V 的选择基有关。线性变换的矩阵表示A 仅需选择 W 的一个基而不是两个基。区别 2 的意思是，线性空间W 上的线性变换T 的矩阵表示A 仅需选择一个基x1,x2, , xn,那么Txi=(x1,x2, ,xn) (a1i,a2i, ,ani)T=(x1,x2, ,xn)ai, i=1,2, ,n这时有 TX=XA. ( 我们称 A 为线性变换T 在线性空间W 的基 x1,x2, , xn 的矩阵表示。 ) 这时如果将T 看作WW 的线性映射，我们分别选择W 的两个基X= (x1,x2, ,xm)和Y=(y1,y2, ,yn)，这时 T 的矩阵 A 表示为Txi=(y1,y2, ,yn) (a1i,a2i, ,ani)T=(y1,y2, ,yn)ai, i=1,2, ,m这时有 TX=Y A. 在以后，我们所线性变换时，仅需选择一个基。由于线性变换仅为线性映射的特殊情形，因此前面讨论的关于线性映射的所有定义和性质对线性变换都适应，我们不必重复。下面我们仅讨论线性变换的特殊之处。线性变换的矩阵表示在不同基下的关系：设线性空间W 的两组不同基X 和 X 之间满足关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - X=XC 那么线性变换T 在基 X 和 X下的矩阵表示分别为A 和 A, 则A= C1AC 定义：线性变换在不同基下的表示矩阵称为相似矩阵。定理 : 矩阵 A 和 A相似的充要条件为存在可逆矩阵C 使得A = C1AC 容易验证矩阵相似关系为等价关系。即，自反性： A 和 A 相似；对称性：若A 和 B 相似，则 B 和 A 相似；传递性：若A 和 B 相似， B 和 C 相似，则 A 和 C 相似。从这儿我们可以看出，在相似等价意义下具有的性质有时也称线性变换的性质。例如，相似的矩阵具有相同的行列式，所以我们可以认为线性变换的对应矩阵的行列式为线性变换对原空间的单位超立方体经变换后的多面体的体积。这正是多元积分的变量替换的Jacobi行列式。又如我们知道，相似的矩阵具有相同的的特征多项式，所以我们可以定义线性变换的特征多项式。同样可以导出线性变换的特征值，线性变换的迹(定义为线性变换的所有特征值的和)。几个特殊的变换：零变换 T0： T0(x)=0. 恒等变换 I： I(x) = x. 数乘变换 Tk: Tk(x)= k x. 正交变换 T：|Tx|2=|x|2,其中 |.|2为欧氏范数 (第 2 章介绍 ) 对于复合变换T T 记为 T2, 类似地，记Tk+1=TkT, 显然若线性变换T 的矩阵表示为A, 则 Tk的矩阵表示为Ak, 从而线性变换f (T)=a0Tm+a1Tm 1+ +am-1T+amI （此处 I 表示恒等变换）的矩阵表示为矩阵多项式：f (A)= a0Am+a1Am 1+ +am-1A+amEn其中 En表示单位矩阵。线性变换的特征值和特征向量由于线性变换在不同基下的矩阵表示不相同，那么一个很自然的问题就是，怎样选择特殊的基使得给定线性变换在该个基下的表示矩阵最简单。为此引入下列概念. 定义：若存在非零向量x 和数满足Tx= x 则称为 T 的特征值，x 为相应的特征向量。注意：由定义，特征向量非零 。定义：矩阵A 的特征矩阵I A 的行列式 det( I A)=| I A|, 称为矩阵A 的特征多项式，记为 ( )。 ( )的根0为 A 的特征根或特征值；相应方程(0I A)x=0 的非零解 x 称为 A 的属于0的特征向量。若线性变换T 在线性空间的一个基X 下的矩阵表示为A, 即T X=(Tx1,Tx2, ,Txn)=XA 设 T 的特征向量x 在基 X 的坐标表示为，即x=1x1+2x2+ + nxn =X(1,2, , n)T=X那么有X(0)=0 x=Tx=T X=XA从而0= A ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由于上述推导可以倒推，因此求线性变换T 的特征值0和特征向量x 等价于在一个基X 下求 T 的表示矩阵A 的特征值0和特征向量。这时为 x 在基 X 下的坐标，即x=X 。定义 (特征子空间 )：设0为线性变换T 的一个特征值，称线性变换0I T 的核空间V0=x | (0I T)x=0 为 T 的属于0的特征子空间，其中I 表示恒等变换。定义：变换矩阵A 的迹 Trace(A)=Tr(A)=niiia1性质 1： Tr(A) 等于 A 的所有特征值的和. 由根与系数的关系可得。性质 2： Tr(AB)=Tr(BA). 性质 3：对任意可逆矩阵P， Tr(A)=Tr(P1AP), 这说明矩阵A 的迹由线性变换T(在某种基下对应于矩阵A)决定，与基 (坐标 )的选择无关。矩阵的性质定理 1.16(Sylvester) 设 ARm n , BRn m， AB 的特征多项式为AB( )， BA 的特征多项式为BA( ), 则nAB( )=mBA( ) 证明：根据矩阵等式有：Im0 ImA Im-AB 0 -B In0 In B InIm 0 Im A Im A -B In B In 0 In-BA 对矩阵等式取行列式可得结论。特殊矩阵：严格下三角矩阵L,对角矩阵 D 下三角矩阵D+L ，单位下三角矩阵I+L ，严格下三角矩阵L，上三角矩阵D+LT，单位上三角矩阵I+LT，严格上三角矩阵LT，块对角矩阵，块三角矩阵; 初等矩阵 ( 定义 ): E(u, v；)=IuvH性质 1: E(u, v;)E( u, v; )= E( u, v;+vHu);性质 2: det(E(u,v; s)=1svHu性质 3. Ln =0 性质 4. 若对角矩阵D 的元素各不相同，对于变换矩阵A 有 DA=AD, 则 A 为对角矩阵。定理 1.17 任意 n 阶矩阵 A 与三角矩阵相似. 证明 :对阶数 n 利用数学归纳法证明. 当 n=1 时显然成立 . 设当阶数为n 1 时定理成立。 下面证明定理对n 阶矩阵仍然成立，设 x1,x2, ,xn是 n 个线性无关的列向量，其中x1为 A 的特征值的特征向量，即A x1=x1,记 P=(x1,x2, ,xn) 于是 AP=(Ax1,Ax2, ,Axn)=(x1,Ax2, ,Axn) 由于 AxiCn,因此 Axi可以由 x1,x2, ,xn唯一地线性表示，即有Axi=b1ix1+b2ix2+ +bnixni= 2,3, ,n于是 AP=(x1,Ax2, ,Axn) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - =(x1,x2, ,xn)121222200nnnnnbbbbbb即P1AP=1112A00nbb由归纳假定，对于n 1 阶矩阵 A1存在矩阵 Q 使得 Q1A1Q=U, 其中 U 为上三角矩阵. 记 R=Q001T, S=PR, 则有 S1AS=R1P1APR=1-Q001T1112A00nbbQ001T= QAQ0011-112nbb=U00112nbb为上三角矩阵 . 定理 1.18 (Hamilton-Cayley) n阶矩阵 A 是其特征多项式的根，即设( )=det( I A)=n +a1n 1+ +an-1+an则 (A) =An +a1An 1+ +an-1A+anI=0. 证明略 .(可以对矩阵阶数n 使用数学归纳法，利用定理1.17 很简单的证明) 设对于 n 1 阶矩阵定理成立，那么对于n 阶矩阵 A, 由定理 1.17 可得存在可逆矩阵P 和上三角矩阵 R 使得 P1AP=R. 很明显，A 和 R 有相同的特征多项式( )， 并且 P1(A)P=(R),因此如果能够证明(R)=0 ，那么(A)=0 也就能够成立了。事实上，设A 的 n 个特征值为1, 2, ,n，R=10nR, 那么(R)=(1EnR)(2EnR) .(n 1EnR) (nEnR) =11110nnER11110nnnnER110nnnnER其中为 n 1 维列向量。根据上三角矩阵的乘积的对角块矩阵为相应对角块矩阵的乘积，那么(R)=10()jnjnR（）1100nnER，推论： 任何一个 n阶可逆矩阵A 的逆可以表示为A 的次数不超过n 1的多项式，即 A1=g(A) ，其中 g(x)的为次数不超过n 1 的多项式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 定义 19. 在所有首项系数为1 的多项式中使得A 成为它的根的最小次数多项式m( )称为 A的最小多项式。定理 1.19 矩阵 A 的最小多项式m( )可整除以 A 为根的任意首项系数为1的多项式 ( )，且 m( )是唯一的。定理 1.20 矩阵 A 的最小多项式m( )和特征多项式 ( )的零点相同。定理 1.21 设 n 阶矩阵 A 特征多项式 ( )，特征矩阵I A 的全体 n 1 阶子式的最大公因式为 d( )，则 A 的最小多项式为m( )= ( )/d( ) 定理 1.22 如果1,2, ,s是矩阵 A 的互不相同的特征值，x1,x2, ,xs是分别属于它们的特征向量，那么x1,x2, ,xs线性无关。定理 1.23 如果1,2, ,k是矩阵 A 的互不相同的特征值，xi1,xi2, ,xi ri是属于i的线性无关的特征向量，那么x11,x12, ,x1r1, , xk1,xk2, ,xkrk线性无关。证明：对 k 利用数学归纳法可得结论. 不变子空间定义 1.20 如果线性空间V 的线性子空间V1对线性变换T 保持不变，即，任给xV1 , 有TxV1, 则称 V1为 T 不变子空间 . 定义 1.21 设 T 为线性空间V 的线性变换， 若 V1为 T 不变子空间， 这时 T 可以看作V1的线性变换，记T 在 V1上的限制为T|V1。不变子空间的性质：性质 1. 不变子空间的和与交仍为不变子空间。性质 2. 线性变换T 的值域 R(T) ，核 N(T) 仍为不变子空间。性质 3. 设 f(t)为多项式，则T 的不变子空间为f(T) 的不变子空间，N(f(T) 为 T 的不变子空间，从而特征子空间V =x| Tx=x为 T 的不变子空间。证明 : 设 V1为 T 的不变子空间，则任给xV1有 TxV1,从而T2x=T(Tx)V1,因此有 TkxV1,对任何的非负整数成立。因此有V1为 f(T)的不变子空间。设 x N(f(T), 则有 f(T)x=0. 并且 f(T)(Tx)=T( f(T)x)=0 因此 TxN(f(T),