2022年2022年结构力学矩阵位移法学习 .pdf

第 8 章矩阵位移法制作同济大学教材笔记 (本章答案陆续上传中 ) 一、知识要点：1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy。此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。2.局部坐标系主要注意角的定义，看如下图示即明白。yxoijexy3.桁架单元刚度方程000000000000eeexiiyiixjjyjjEAEAFullFvEAEAFullFv桁架结构变换矩阵Tcossin00sincos0000cossin00sincosT桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222eecsccscscsscsEAklcsccscscsscs4.刚架单元刚度方程逆时针方向为正cossincs名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 32322232322212612664621261266264eeeyiiiiyjjjjEIEIEIEIllllFvEIEIEIEIMllllEIEIEIEIFvllllMEIEIEIEIllll5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程323222323222000012612600646200000012612600626400eexiiyiiiixjjyjjEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllEAEAFullFvEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllejj一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos000001T结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵ek12412423523545645612412423523545645622eaaaaaaaaaaaaaaaaaakaaaaaaaaaaaaaaaaaa6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。正正负正正正负正负负正负正正负正转角和弯矩在坐标转换时不会发生变化，即始终有,MM22143253222363126cossin,sin126()cossin,cos124sincos,EAEIEIaalllEAEIEIaalllEAEIEIaalll名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 7.坐标转化公式单元杆端力单元结点位移单元刚度矩阵整体局部局部整体eeFTFeeTeeTkTk TeTeFT FeTeTeTekT k T二、书本例题例题 8-1 试用直接刚度法计算如图所示刚架。设各杆53.0 10EAkN20kN30kN4m3m1234yx1234解： (1)结构标识。单元局部坐标系如图中箭头所示，i为局部坐标系原点，ij为x轴正向，各单元基本数据如表中所示。杆单元局部坐标与结构坐标相同，无需坐标转换。单元局部坐标系ij杆长 /mcossin134 235 4535433 0 1 244 (2)建立结点位移向量和结点力向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1112220334344uvuvuvuv，11212203334440000020300 xyxyxyxyFFFFFFFFFFFkNFkNF(3)计算结构坐标系下单元刚度矩阵51113313310103750375 0000000003 102001010375 03750400000000kkkkN mkN mkk111111313131352223323316121612252525251921441921441291291441081441083 102525252520016121612192144192144525252525144108144108121212925252525kkkkN mkN mkk3222222232323544433433000000000101050005003 10200000000003010105000500kkkkN mkN mkk33333434343432 22 44 24 43 7503 75000002003 7503 7500000kkkkk N mkk1244444424(4)生成总刚度矩阵和总刚度方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1113222223240313233333334424344440000kkkkkkKkkkkkkkkkk124123312443412312343412桁架的总刚度方程为11223344375000375000000000000056714419214437500014410814410800200375019214456714400001441081446080500003750003750000005000500uvuvkN muvuv1122020300 xyxyFFFFkNkN(5)建立结构刚度矩阵和结构刚度方程支座位移边界条件为：1112220000uvuv将总刚度矩阵中对应上述边界位移的第1 至 4 行和列删除即得结构刚度矩阵。相应的结构刚度方程为：334456714400014460805002020000375030050005000uvkNkN mukNv(6)计算结点位移，由以上结构刚度方程可求得1353445 6 71 4 40002 1 3. 3 31 4 46 0 805 0 02 08 4 0. 0 011 0003 7 503 02 4 0. 0 02 0 0605 0 005 0 008 4 0. 0 0umvk Nmuk Nmk Nmvm(7)计算杆端力以单元为例，其中单元的局部坐标系与结构坐标的方向一致，因此由单元刚度方程得：要标明是哪根杆， 2与4 结点间是杆，而不是杆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1111113333335375037500000200375037500000375037500000001020037503750213.3360000840.00 xxyyxxyyFFuFvFkN mFuFFvFkN mmm26.67026.670kNkN11对于单元，可先求出结构坐标系下的单元杆端力为：23333192144192144144108144108200192144192144144108144108192144192144144108144108200192144192144144108144108xyxyFuFvkN mFuFvkN m2225026.67020.0010213.3326.676840.0020.00kNkNmkNmkN2局部坐标下的单元杆端力可用求得3343005526.6733.33340020.000554326.6733.33005520.000340055xyxyFkNkNFkNkNkNFkNF222(8)计算支座反力，结合考虑已知的支座约束条件可知：151223 7 50002 1 3. 3 32 6. 6 700008 4 0. 0 00102001 9 21 443 7 502 1 3. 3 33. 361 4 41 08008 4 0. 0 02 0 xyxyFmk NFmk NmFmk NFmk N(9)校核，考虑桁架的整体平衡：12123026.673.3330020020200 xxxyyyFFFkNkNkNkNFFFkNkNkN可见计算无误eeFTF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例题 8-2 试用直接刚度法列出图示刚架的结构刚度方程。已知支座B有沉降c解 (1)结构标识和结构的基本信息表lEAI、 、E2 2A2 2IPFMACBllcB12312yx各单元的基本数据信息单元ij杆长截面积惯性矩cossin12lAI0 232l2 2A2 2I3152222(2)建立结点位移向量和结点力向量1111202232222uvuvuv，11110233300 xyPxyFFMFFFFFMFF(3)计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，对于杆可直接写出323222323222000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll11212单元的刚度矩阵元素项为支座结点处的结点力并不是为零，而 是 未 知的，故用未知 力 来 表示，3 支座处的角位移为零名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 22133222122226()()222(2 )EAEIE AE Iallll233221222226()()222(2 )EAEIEAEIallll22333222122226()()222(2 )EAEIE AE Iallll42262226()2(2 )EIEIall522622262(22 )EIEIall642 282EIEIall单元的刚度矩阵332332332332222233233233666666666666668664666666666E AE IE AE IE IE AE IE AE IllllllllllE AEIE AE IE IE AE IE AE IllllllllllE IE IE IE IE IE IllllllkE AEIE AE IEIE AE IE AE IllllllllllE AE IE AE IEllll23322222666664668IE AE IEAE IE IllllllE IE IE IE IE IE Illllll3212232(4)生产总刚度矩阵和总刚度方程323222332332323333222000000012612600000646200000266666600126618666006261200EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAEIEAEIEIEAEIEAEIEIlllllllllllEIEIEAEIEAEIEAEIEAEIEIlllllllllllEIEIEIEIlll223323323323322222664666666000666666000664668000EIEIEIllllEAEIEAEIEIEAEIEAEIEIllllllllllEAEIEAEIEIEAEIEAEIEIllllllllllEIEIEIEIEIEIllllll1111112223333300 xyPxyuFvFMuvFMuFvF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - (5)建立结构刚度矩阵和结构刚度方程。位移边界条件：111330,uvuvc3323223332222233323232222666666186606126406666666468EAEIEAEIEIEAEIEIllllllllEAEIEAEIEAEIEIulllllllvEIEIEIEIllllvEAEIEAEIEIEAEIEIllllllllEIEIEIEIEIlllll300PyFMF因3vc， 以上所示的五个方程中只有四个未知位移，求解时应将其中的第四个方程删除，得3323222333222232222666660618660612640066468PEAEIEAEIEIEAEIEIlllllllluEAEIEAEIEAEIEIvFlllllllEIEIEIEIMcllllEIEIEIEIEIlllll上式等号左边系数矩阵中第四列元素与c的乘积构成一列常数项，在求解时应移至等号的右边，并与原右端项合并，于是，有：332232332322223222266666()618660()612460()66486()PEAEIEAEIEIEIEAEIclllllllluEAEIEAEIEIEAEIFcvlllllllEIEIEIEIMcllllEIEIEIEIEIclllll如何处理非零边界位移条件先处理法进行结构矩阵分析的步骤：(1)结构标识，其中包括对结点和单元编号，设定单元坐标系和结构坐标系(2)建立结点位移向量和结点荷载向量(3)建立考虑位移约束条件后的各单元刚度矩阵(4)组装结构刚度矩阵，建立结构刚度方程(5)求解结构刚度方程，计算结点未知位移(6)计算各单元的杆端力和支座反力(7)计算各单元的杆端力和支座反力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 8-3 试用先处理法建立图所示刚架的结构刚度方程，忽略杆件的轴向变形。解 (1)结构标识，本例中结构坐标系方向取为与柱单元局部坐标系方向相同，这样，所有相关单元的量就都不需要坐标转换。这是因为忽略了杆件轴向变形，横梁单元刚度矩阵中只包含角位移项而不出现线位移项的缘故。EIEIEI2EI2EI2EI1PF2PF2PFllll1234561234567123456xoy(2)建立结点位移向量和结点荷载向量。414253646576vv，1230000PPPFFFF(3)计算单元刚度矩阵。32212664llkEIll4224llkEIll41()v42()41()v42()42()53()42()53()123222412128llkEIll41()v41()v53()53()33232223232222412241212812424122412124128llllllllkEIllllllll64()v65()441()v53()64()v65()41()v53()4224llkEIll65()76()3223334llkEIll64()v76()65()76()564()v76()6重要的一步名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - (4)建立结构刚度方程。将上述各单元矩阵中的元素按其所对应的位移序号对号入座并叠加，即可求得结构刚度矩阵，并建立结构刚度方程为：323221122342332322562226062412006820000220124000241227123001241212200328000PPPllllFlllllllEIFFlllllllllllll例 8-4 试用先处理法分析图所示的组合结构。已知材料的弹性模量112.0 10EPa，横梁的长度各为1lm， 横截面惯性矩641.5 10Im， 拉杆截面积526.25 10Am；支座A处有顺时针方向转角0.01rad，支座B是转动弹性支座，其转动刚度系数22 10/kkN m rad；忽略横梁的轴向变形。解：(1)结构标识。单元局部坐标系的原点，各横梁单元均设在其左端，拉杆单元设在结点 2，将支座B作为一个特殊单元看待。ll34lABCDEIEIEA30kN0.01radk12341234yx123(2)建立结点位移向量和结点荷载向量212233v，3000kNF(3)建立单元刚度矩阵。单元的左端有预定的转角10.01rad ，在计算其单元刚度矩阵时可先暂时将1对应的刚度矩阵元素予以保留。于是，有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2223224621218661261018361861812264lllkN mkNkN mkEIkNkN mkNlllkN mkNkN mlll121()v22()121()v22()13222221266361818642101812618612624lllkN mkNkNkEIkNkN mkNlllkNkNkN mlll33()21()v22()21()v22()33()222(sin)10(36)1.25EAkkN ml21()v21()v3特殊单元的存在使得结点3 发生单位转角时需要在3方向增加一个力矩，其大小等于转动弹簧的刚度系数k 。这样，单元的刚度矩阵可表示为：210(2)kkN m33()433()(4)建立结构刚度方程。先按照对号入座的原则写出保留预定转角1时的刚度方程如下：1112231218601810801830106024600186140kN mkNkN mMkNkN mkNkNkN mkN mkN mkNkN mkN m根据已知条件，10.01rad 。将以上刚度矩阵对应1的第一个方程删除，并将1与刚度矩阵第一列元素的乘积移至方程的右端与荷载向量合并，得到结构刚度方程如下：12231 0 801 84 81 002 4661 861 40k Nmk Nk Nk Nmk Nmk Nmk Nk Nmk Nm(5)计算结点位移。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 112223108018480.559102466100.079101861400.684kN mkNkNmkN mkN mkN mkNkN mkN m(6)计算杆端力。根据各单元刚度矩阵和刚度方程可求得杆端力如下：11222222121861.01.4710183618100.5593.53618120.0795.00yyMMkN mkNkN mkN mFFkNkN mkNmkNMkN mkNkN mkN mM222222333618180.5596.371018126100.0795.00186120.6841.37yyFFkN mkNkNmMMkNkN mkNkN mMkNkNkN mkN mM22222103610(0.559m)20.10/sin33.50yyyFkN mkNFFkN(7)校核考虑结点 2 在竖直方向的平衡， 注意到单元对结点的作用力方向与杆端方向相反，则有22211303.536.3720.1300yyyyFFFFkNkNrkNkN表面计算无误。1.47kN m5.00kN m1.37kN m33.50kN()拉本题要注意：支座位移的处理弹性支座的处理混合结构的区别求杆端力使用单元刚度矩阵和单元刚度方程坐标的转换等效结点荷载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 8-5 试按先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出刚架横梁杆端力的矩阵表达式。已知弹簧刚度23EIka，其左端发生向右的水平位移为c，忽略杆件的轴向变形。4a3a3EI4EI3EIq2a2aPFPFPFkc123412341234xyq2PFaPFkc2PF2PF2PFa232qa32qa234qa234qa1433EIcaxy32PF32PF2342PF aqa3323qaEIca2PF a32qa234qa( )a( )b( )c( )d解：(1)结构标识。单元局部坐标系的原点，各柱单元均设在其上端，横梁单元设在其左端。为避免坐标转换，结构坐标系选为与柱单元局部坐标系同向，将弹簧作为特殊单元看待。(2)建立结点位移向量和等效结点荷载向量。11222334v，232343233422PPqaqaEIcaFF aqaF a(3)计算单元刚度矩阵。322224223242224aaakEIaaaaaa4224aakEIaa22()v23()11()v23()34()1232242324aakEIaa322()v23()11()v23()34()22()v34()22()v34()213kEIa22()v22()v4单 元 按 两 端固 定 梁计算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - (4)建立结构刚度方程。将上述单元刚度矩阵的元素按照其对应的未知结点位移序号对号入座，即可得到结构刚度矩阵，据此可列出结构的刚度方程。221232232232424223042322323228234222802PPqaaaaqaEIcaaaaaEIF aqaaaaaF aaaa(5)列横梁单元杆端力表达式。假设未知结点位移已由上述结构刚度方程中解得，因单元的杆端位移仅有其两端的角位移，所以不受坐标转换的影响，即有3434,。这样，就可以直接采用34,计算单元在局部坐标系中的杆端力。单元的杆端力应为该单元的固端反力与等效结点荷载作用于结构时该单元杆端力之和，即：32322222333232432233334242220343222220333342422232342222PPyPPyPPPPFFaaaaFFFaaMaaaaFEIFFFaaaaMFFaaaaaa223422332242332224aaaaEIaaaa22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -