2022年一般数列的项知识点练习题 .pdf

一般数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列项的性质：数列的项具有有序性， 一个数列不仅与构成数列的“ 数” 有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集合中元素的无序性区分开来，；数列的项具有可重复性， 数列中的数可重复出现， 这也要与集合中元素的互异性区分开来：注意 an与an的区别： an表示数列 an的第 n 项，而an 表示数列 a1，a2，an，方法提炼：1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用（ 1）作差法；（ 2）作商法；（ 3）结合函数图像等方法；2.若求最大项 an,则 an满足 anan+1且 anan-1；若求最小项 an,则an满足 anan+1且 anan-1。一般数列的通项公式如果数列 an 的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。通项公式的求法：（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。已知递推公式求通项常见方法：已知 a1=a,an+1=qan+b,求 an时， 利用待定系数法求解， 其关键是确定待定系数 ，使 an+1+=q(an+)进而得到 。已知 a1=a,an=an-1+f(n)(n2),求 an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)的方法。已知 a1=a,an=f(n)an-1(n 2) ，求 an时，利用累乘法求解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例题 1.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-2 ，则 a2等于（）A、4 B、2 C、1 D、-2 答案： A 例题 2.数列 an中，且 a1=2 ，则 an等于（）ABCD答案： B 例题 3.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含f（n）个小正方形。（1）求出 f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1 ）与 f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求的值。解：（ 1）f （1）=1 ， f（2）=5 ， f（3）=13 ， f（4）=25 ，f（ 5）=25+44=41 。（2）f（ 2）-f （1）=4=4 1，f（3）-f （2）=8=4 2，f（4）-f （3）=12=4 3，f（5）-f （4）=16=4 4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由上式规律得出f（n+1 ）-f （n）=4n f（ n）-f （n-1 ）=4 （n-1 ），f（n-1 ）-f （n-2 ）=4 （ n-2 ），f（n-2 ）-f （n-3 ）=4 （ n-3 ）f（2）-f （1）=4 1，f（ n）-f （1）=4 （n-1 ）+ （n-2 ）+ +2+1 =2（n-1 ） n，f（ n）=2n2-2n+1。（3）当 n2 时，。例题 4.把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设 aij（i， jN* ） 是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、 从左往右数第j 个数，如 a42=8 ，若 i=65 ，j=3 ，则 aij的值为（）A.2 010 B.2 051 C.2 053 D.2 055 答案： C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例题 5.如下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为（n2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第 10 行第 4 个数（从左往右数）为（）A.B.C.D.答案： B 例题 6.数列 an的前 n 项和 Sn=n2+1 ，则 an= （）答案 ：an=例题 7.设数列 an前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn=2Sn-n2，nN* 。（1）求 a1的值；（2）求数列 an的通项公式。答案： （1）在中，令。（2），相减得：，相减得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - ，得得：数列是以为首项，公比为的等比数列。例题 8.已知 Pn是把 Pn-1Pn+1线段作 n 等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，PnPn+1，的长度分别为a1，a2，a3， an，其中 a1=1 。（1）写出 a2，a3和 an的表达式；（2）证明 a1+a2+a3+ +an3；（3）设点 Mn（n，an），在这些点中是否存在两个点同时在函数012kxky的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（ 1）由已知Pn1 Pn= （n1）PnPn1令 n=2 ，P1P2=P2P3，a2=1 ，同理。（2）a1+a2+a3+ +an而 n=1 时，结论成立，故 a1+a2+a3+ +an3；（3）假设有两个点A（p，ap）， B（q，aq），都在函数上，即，所以，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 消去 k 得，以下考查数列的增减情况，当 n2 时， n23n+1 0，所以对于数列 bn为递减数列不可能存在 p，q 使得式成立，因而不存在。例题 9.某商店投入38 万元经销某种纪念品，经销时间共60 天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明， 该商店在经销这一产品期间第n天的利润（单位：万元，nN* ），记第n 天的利润率bn=，例如。（1）求 b1，b2的值；（2）求第 n 天的利润率bn；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。解：（ 1）当 n=1 时，当 n=2 时，。（2）当 1n25 时， a1=a2= =an-1=an=1 当 26 n60 时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 n 天的利润率。（3）当 1n25 时，是递减数列，此时bn的最大值为当 26 n60 时（当且仅当，即 n=50时，“ = ”成立）又n=1 时，该商店经销此纪念品期间，第1 天的利润率最大，且该天的利润率为。例题 10.如图， P1（x1，y1）、 P2 （x2，y2）、 Pn（xn，yn）（ 0y1y2yn）是曲线 C：y2=3x （y0）上的 n 个点，点 Ai（ai，0）（ i=1 ，2，3， n）在 x 轴的正半轴上，且Ai-1AiPi是正三角形（ A0是坐标原点）。（1）写出 a1、a2、a3；（2）求出点An（an，0）（ nN* ）的横坐标an关于 n 的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当 m -1 ，1时，不等式 t2-2mt+bn恒成立，求实数t 的取值范围。解：（ 1）。（2）依题意，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由此及得即由（ 1）可猜想：下面用数学归纳法予以证明：当 n=1 时，命题显然成立；假定当n=k时命题成立，即有则当 n=k+1时，由归纳假设及得即解之得不合题意，舍去）即当 n=k+1时，命题成立由、知命题成立，即。（3）令则所以 f（x）在 1，+ ）上是增函数，故当 x=1 时， f（x）取得最小值3，即当 n=1 时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 即解之得， t2 或 t-2 故实数 t 的取值范围为（-，-2 ）（2，+ ）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -