2022年二次根式全章复习与巩固知识讲解 .pdf
二次根式全章复习与巩固- 知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算， 会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a的式子叫做二次根式，如13,0.02, 02等式子，都叫做二次根式 . 要点诠释： 二次根式a有意义的条件是0a，即只有被开方数0a时，式子a才是二次根式，a才有意义 . 2. 二次根式的性质（1）；（2）；（3）. 要点诠释： （ 1）一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a2()a（0a），如222112( 2) ;() ;()33xx（0 x） . （2）2a中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，2a一定有意义 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （3）化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）2a与2()a的异同不同点：2a中a可以取任何实数，而2()a中的a必须取非负数；2a=a，2()a=a（0a） . 相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，2a=2()a.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2) 被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 如222,3,abxab等都是最简二次根式. 要点诠释： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式 . 要点诠释： 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 如2与8，由于8=2 2，2与8显然是同类二次根式 . 知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)abab ab积的算术平方根化简公式：(0,0)abab ab二次根式的除法(0,0)aaabbb商的算术平方根化简公式：(0,0)aaabbb要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c dac bd. （ 2） 被 开 方 数a、 b 一 定 是 非 负 数 （ 在 分 母 上 时 只 能 为 正 数 ） . 如( 4)( 9)49. 2.加减法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式. 如23 25 2(1 35) 22. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2). 【答案】（1）; （2）. 【解析】 (1) 要使在实数范围内有意义，则必有当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有当时，在实数范围内有意义；【总结升华】 本例考查了二次根式成立的条件，要牢记， 只有0a时a才是二次根式. 举一反三：【变式】已知，求的值 .【答案】 根据二次根式的意义有将代入已知等式得2. 把根号外的因式移到根号内，得( ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A BC D【答案】 C. 【解析】 由二次根式的意义知x0，则. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。如此例中x0，所以只能向根号里移x，到根号里面要变成2x.举一反三：【变式】（2014 春?团风县校级期中）已知x 为奇数，且=，求?【答案】 解：=，6x 9，x为奇数，x=7，则?=8=123. 实数, ,a b c在数轴上对应的点如图：化简22()1()accbabc. 【答案与解析】由数轴可知0,0,0,acbacb并且ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - ,00,100,0,00,00acacccabbababcbc22()1()accbabc=1accbabc=1accbabc=1c【总结升华】 本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力 . 通过观察确定, ,a b c的大小关系是本题的关键. 举一反三：【变式】ABC的三边长为a、b、c，则22()()abcabc= . 【答案】22ca. 类型二、二次根式的运算4 （2015?昆山市一模）计算（1）（2）【答案与解析】解： （1）原式 =21+3=4；（2）原式 =232=3【总结升华】 此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键举一反三：【变式】计算【答案】5. 已知 a、b、c 为 ABC的三边长，化简【答案与解析】a、b、c 为 ABC的三边长，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 原式【总结升华】 利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简 . 6. 若0 x，化简_xxyxyyxyyxxy.【答案与解析】【总结升华】 把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三：【变式】当22211 221123aaaaaaaa时，求的值. 【答案】123,10.23aa由得22(1)(1)1=11(1)aaaaa aa原式，将12323a代入，原式 =3. ()()=()()xxyyxyyxyxxyyxyxxyxvyxxyxyxy原式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
