2022年二阶线性常微分方程的幂级数解法 .pdf

二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道， 在满足某些条件下， 可以用幂级数来表示一个函数。 因此，自然想到， 能否用幂级数来表示微分方程的解呢？例 1、求方程0yxy的通解解：设2012nnyaa xa xa x为方程的解，这里(0,1,2, ,)ia in是待定常系数，将它对x微分两次，有212312 13 2(1)(1)nnnnyaa xn na xnnax将y，y的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x22 10a，303 20,aa414 30,aa525 40,aa或一般的可推得032 3 5 6(31) 3kaakk，1313 4 6 73(31)kaakk，320ka其中1a，2a是任意的，因而代入设的解中可得：363470112 32 3 5 62 3 5 6(31) 33 43 4 6 73(31)nxxxxxyaa xnnnn这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和 （其中包括两个任意常数0a及1a）便是所要求的通解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 例6 求方程 240yxyy的满足初值条件(0)0y及(0)1y的解。解设级2012nnyaa xa xa x为方程的解。 首先，利用初值条件，可以得到00a，11a，因而232321232231 2323 2(1)nnnnnnyxa xa xa xya xa xna xyaa xn na x将y，y，y的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,1nnaaaaan因而567891111,0,0,2!63!4!aaaaa最后得21111(1)!kakkk, 20ka, 对一切正整数k成立。将ia(0,1,2,)i的值代回2012nnyaa xa xa x就得到52132!kxxyxxk2422(1),2!kxxxxxxek这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程， 可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程22( )( )0d ydyp xq x ydxdx及初值条件00()y xy及00()yxy的情况。不失一般性，可设00 x，否则，我们引进新变量0txx，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0 xx的就是00t了，因此，今后我们总认为00 x。定理 10若方程22()()0dyd yp xq xyd xd x中系数( )p x和( )q x都能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR， 则方程22()()0dyd ypxqxyd xd x有形如0nnnya x的特解，也以|xR为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作是在全数轴上收敛的幂级数， 故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程22222()0d ydyxxxnydxdx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 这里n为非负常数 ，不一定是正整数， （22( )( )0d ydyp xq x ydxdx）在此1( )p xx，22( )1nq xx，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如0nnnya x的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。定理 11若方程22()()0dyd yp xqx yd xd x中系数( )p x，( )q x具有这样的性质，即( )xp x和2( )x q x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR， 若00a， 则 方 程22()()0dyd yp xq xyd xd x有 形 如0nnnyxa x即0nnnya x的特解，是一个特定的常数， 级数0nnnya x也以|xR为收敛区间。若00a， 或更一般的，0(0,1,2,1)iim， 但0ma，则引入记号m，km kba，则00nmkknmkkn mkkyxa xxaxxb x，这里00mba，而仍为待定常数。例7 求解 n阶贝赛尔方程22222()0d ydyxxxnydxdx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解将方程改写成2222210d ydyxnydxx dxx，易见，它满足定理 11的条件（( )xp x和2( )x q x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR） ，且2221,xp xx q xxn，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理 11，方程有形如0akkkya x的解，这里00a，而ka和是待定常数， 将0a kkkya x代入：22222()0d ydyxxxnydxdx中，得221()(1)a kkkxakaka x11()a kkkxak a x220()0a kkkxna x，把x同幂次项归在一起，上式变为2200()(1)()0akakkkkkkkkna xa x令各项的系数等于0，得一系列的代数方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2202212220(1)0()02,3,kkananaknak因为00a，故从2200an解得的两个值n和n先考虑n时方程22222()0d ydyxxxnydxdx的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数ka。把n代入以上方程组，得到10a2(2)kkaaknk，2,3k或按下标为奇数或偶数，我们分别有212122221221222kkkkaaknkaaknk1,2,k从而求得210ka1,2,k022211aan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2044122!12aann3066123!123aannn一般地02212!12kkkaaknnnk1, 2 ,k将ka各代入0akkkya x得到方程22222()0d ydyxxxnydxdx的一个解02102112!12knknkkaya xxknnnk既然是求22222()0d ydyxxxnydxdx的特解，我们不妨令0121nan其中函数s定义如下：当s0 时，10sxsxe dx；当s0 且非整数时， 由递推公式1( )1sss定义。s具有性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1sss; 1!nnn为正整数而02102112!12knknkkaya xxknnnk变为2101!112kknkxyknknn注意到函数的性质，即有2101!12kk nnkxyJxknknJx是由贝塞尔方程22222()0d ydyxxxnydxdx定义的特殊函数，称为n阶贝赛尔函数 。因此，对于n阶贝塞尔方程，它总有一个特解nJx。为了求得另一个与nJx线性无关的特解， 我们自然想到，求an时方程22222()0d ydyxxxnydxdx的形如20nkkkya x的解，我们注意到只要n不为非负整数，像以上对于n时的求解过程一样，我们总可以求得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 210ka1,2,k2021,2!12kkkaaknnnk1,2,k使之满足2202212220(1)0()02,3,kkananaknak中的一系列方程，因而02202112!12knknkkaya xxknnnk是22222()0d ydyxxxnydxdx的一个特解。此时，若令0121nan则02202112!12knknkkaya xxknnnk变为2201!12knknkxyJxknk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 称nJx为阶贝赛尔函数 。利用达朗贝尔判别法不难验证级数02102112!12knknkkaya xxknnnk和02202112!12knknkkaya xxknnnk（ 在02202112!12knknkkaya xxknnnk中0 x）都是收敛的， 因此，当n不为非负整数时，nJx和nJx都是方程22222()0dyd yxxxnyd xd x的解，而且是线性无关的，因为它们可展为由x的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是 常 数 。 于 是 方 程22222()0dyd yxxxnyd xd x的 通 解 可 写 为12nnyc Jxc Jx这里1c，2c是任意常数。此情形的nJx和nJx称为第一类贝塞尔函数。例 8 求方程2294025x yxyxy的通解。解引入新变量2tx，我们有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2dydy dtdydxdt dxdt222224d yddydtd ydxdtdtdxdt，将上述关系代入院方程，得到22229025d ydytttydtdt，这 是 ，35n的 贝 塞 尔 方 程 ， 由 例7可 知 ， 方 程22229025d ydytttydtdt的通解可表为132355yc Jtc Jt，代回原来变量，就得到原方程的通解13235522yc Jxc Jx其中12,c c是任意常数。第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下,物体将摆脱地球的引力,向地球一样绕着太阳运行 ,成为人造卫星 . 让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律,作用于物体的引力F(空气阻力忽略不计 )为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2mMFkr这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程222d rmMmkdtr或222d rMkdtr这里的负号表示物体的加速度是负的。设地球半径为5(63 10)R Rm，物理发射速度为0v，因此，当物体刚刚离开地球表面时，我们有0,drrRvdt，即应取初值条件为00,drtrRvdt当时，方程222d rMkdtr不显含自变量t,应用 4.3.1 （可降阶的一些方程类型）的方法，把方程降阶成为一阶方程2dvMvkdrr解得212vkMcr注意到这时初值条件为202vkMcR因而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 220()22vvkMkMrR因为物体运动速度必须始终保持是正的，即202v，而随着r的不断增大，量kMr变得任意小。因此，由220()22vvkMkMrR看到，条件202v要对所有的r都成立，只有不等式202vkMR，或02kMvR成立。因而最小的发射速度由下面式子决定: 02kMvR在地球的表面，即rR时，重力加速度为2(9.81 /)g gm s，由此根据2mMFkr，就有2MgkR，于是2kMgR。以此代入02kMvR得到53022 9.81 63 1011.210vgRm s我们通常所说的第二宇宙速度指的就是011.2vkm s这个速度。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -