2022年2021年中考数学第一轮复习-第十五讲二次函数的综合题及应用 .pdf

第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例 1 （ 2017?牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3 ）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使 ABP的面积为10，请直接写出点P 的坐标思路分析： （1）利用待定系数法把A（1，0）， C（0，-3 ）代入）二次函数 y=x2+bx+c 中， 即可算出 b、 c 的值， 进而得到函数解析式是y=x2+2x-3 ；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m ，n），根据ABP的面积为10 可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m的值即可得到P点坐标解： （1）二次函数y=x2+bx+c 过点 A（1，0）， C （0，-3 ），103bcc，解得23bc，二次函数的解析式为y=x2+2x-3 ；（2）当 y=0 时， x2+2x-3=0 ，解得： x1=-3，x2=1；A（1，0）， B（ -3，0），AB=4，设 P（m ，n）， ABP的面积为10，12AB?|n|=10，解得： n=5，当 n=5 时， m2+2m-3=5，解得： m=-4或 2，P（-4 ，5）（ 2，5）；当 n=-5 时， m2+2m-3=-5，方程无解，故 P（-4 ，5）（ 2，5）；点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式对应训练1（ 2017?湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0）， B（-1 ，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标考点二：二次函数与x 轴的交点问题例 2 （2017?苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的一个交点为（ 1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - Ax1=1，x2=-1 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=0 Dx1=1，x2=3 对应训练2（ 2013?株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A-8 B8 C 8 D6 考点三：二次函数的实际应用例 3 （2017?营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策， 使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元 / 千克）有如下关系： y=-2x+80 设这种产品每天的销售利润为w元（1）求 w与 x 之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析： （1）根据销售额=销售量销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150 代入（ 2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据 x 的取值范围求x 的值解： （1）由题意得出：w= （ x-20 ）? y =（x-20 ）（ -2x+80 ）=-2x2+120 x-1600 ，故 w与 x 的函数关系式为：w=-2x2+120 x-1600 ；（2）w=-2x2+120 x-1600=-2 （x-30 ）2+200，-2 0，当 x=30 时， w有最大值 w最大值为200答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润200 元（3）当 w=150时，可得方程 -2 （x-30 ）2+200=150解得x=25，x2=353528，x2=35 不符合题意，应舍去答：该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为每千克25 元点评： 本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题对应训练3（2017?武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据， 科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度 x 的函数， 且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3解：（ 1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a0），x=-2 时， y=49，x=0 时， y=49，x=2 时， y=41，4249494241abccabc，解得1249abc，所以， y 关于 x 的函数关系式为y=-x2-2x+49 ；不选另外两个函数的理由：点（ 0，49）不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数，点（ -4 ，41）（ -2，49）（ 2，41）不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数；（2）由（ 1）得， y=-x2-2x+49=- （x+1）2+50，a=-1 0，当 x=-1 时， y 有最大值为50，即当温度为 -1 时，这种作物每天高度增长量最大；（3） 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，平均每天该植物高度增长量超过25mm ，当 y=25 时， -x2-2x+49=25 ，整理得， x2+2x-24=0 ，解得 x1=-6，x2=4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，实验室的温度应保持在-6 x4考点四：二次函数综合性题目例 4 （2017?自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2 （a0）与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于 C点，直线 BD交抛物线于点D，并且 D（2，3）， tan DBA= 12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象限， 顺次连接点B 、M 、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（ 2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心， OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析： （1）如答图1 所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1 所示，首先求出四边形BMCA 面积的表达式，然后利用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图2 所示，首先求出直线AC与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了Rt AGF的各个边长；然后证明RtAGF RtQEF ，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标解： （1）如答图1 所示，过点D作 DEx 轴于点 E，则 DE=3 ，OE=2 tan DBA=DEBE=12，BE=6，OB=BE-OE=4 ，B（-4 ，0）点 B（ -4，0）、 D （2，3）在抛物线y=ax2+bx-2 （a0）上，164204223abab，解得1232ab，抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2 （2）抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2 ，令 x=0，得 y=-2 ， C（0，-2 ），令 y=0，得 x=-4 或 1， A（1，0）设点 M坐标为（ m ，n）（ m 0，n0），如答图 1 所示，过点M作 MF x 轴于点 F，则 MF=-n，OF=-m ，BF=4+m S四边形 BMCA=SBMF+S梯形 MFOC+SAOC=12BF?MF+12（MF+OC ）?OF+12OA?OC=12（4+m ）（ -n ）+12（-n+2 ）（ -m）+1212=-2n-m+1 点 M （ m ，n）在抛物线y=12x2+32x-2 上，n=12m2+32m-2，代入上式得：S四边形 BMCA=-m2-4m+5=-（m+2 ）2+9，当 m=-2时，四边形BMCA 面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样的Q如答图 2 所示，设直线 x=-2 与 x 轴交于点G， 与直线 AC交于点 F设直线 AC的解析式为y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，-2 ）代入得：02kbb，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 解得： k=2， b=-2 ，直线 AC解析式为： y=2x-2 ，令 x=-2 ，得 y=-6 ， F（-2 ，-6 ）， GF=6 在 RtAGF中，由勾股定理得：AF=22AGGF=22363 5设 Q （-2 ，n），则在Rt AGF中，由勾股定理得：OQ=22OGQF=24n设 Q与直线 AC相切于点E，则 QE=OQ=24n在 RtAGF与 Rt QEF中， AGF= QEF=90 ， AFG= QFE ，Rt AGF RtQEF ，AFAGQFQE，即3 56n=234n，化简得： n2-3n-4=0 ，解得 n=4 或 n=-1 存在一个以Q点为圆心， OQ 为半径且与直线AC相切的圆， 点 Q的坐标为 （-2 ，4）或（-2 ，-1）点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（ 3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标对应训练4（2017?张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为 Q （ 2，3），点 D在 x 轴正半轴上，且OD=OC （1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3） 将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E， 求证：CEQ CDO ；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE上的动点，点F 是线段OD上的动点，问：在P点和 F 点移动过程中， PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（1）C （0，1），OD=OC ，D点坐标为 （1，0）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 设直线 CD的解析式为y=kx+b（k0），将 C（0，1）， D（1，0）代入得：10bkb，解得： b=1， k=-1 ，直线 CD的解析式为：y=-x+1 （2）设抛物线的解析式为y=a（ x-2 ）2+3，将 C（0，1）代入得： 1=a（ -2 ）2+3，解得 a=-12y=-12（ x-2 ）2+3=-12x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45 ，OC=OD ，且 OC OD ， OCD 为等腰直角三角形， ODC=45 ， ECD= ODC ， CE x 轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点 E的坐标为（ 4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与 CE交于点 F，则 F（2，1），ME=CM=QM=2， QME 与 QMC 均为等腰直角三角形， QEC= QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形，ODC= OCD=45 ， QEC= QCE= ODC= OCD=45 ， CEQ CDO （4）存在如答图所示， 作点 C关于直线 QE的对称点 C， 作点 C关于 x 轴的对称点C， 连接 CC，交 OD于点 F，交 QE于点 P，则 PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF 的周长 =FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF 的周长大于PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称， QCE为等腰直角三角形，QC E 为等腰直角三角形，CEC 为等腰直角三角形，点 C的坐标为（ 4，5）；C，C关于 x 轴对称，点C的坐标为（ -1 ，0）过点 C作 CN y 轴于点 N，则 NC =4，NC =4+1+1=6 ，在 RtCNC 中，由勾股定理得： CC=2222462 13NCNC综上所述，在P点和 F 点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为213名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【聚焦山东中考】1 （ 2017?淄博）如图， Rt OAB的顶点A （-2 ，4）在抛物线y=ax2上，将Rt OAB绕点 O顺时针旋转90，得到 OCD ，边 CD与该抛物线交于点P，则点 P的坐标为（）A （2，2）B （2，2）C （2，2）D （2，2）2（2017?滨州） 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为180cm ，高为 20cm 请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时， 抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）2解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为1802-x= （ 90-x ）cm由题意得： y=x（90-x ）20=-20 （x2-90 x ）=-20 （x-45 ）2+40500 当 x=45 时， y 有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm33（2017?日照） 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x 3O00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150 元， 未租出的车每辆每月需要维护费50 元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元3解：（ 1）由表格数据可知y 与 x 是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b由题：3000100320096kbkb，解之得：150160kb，y 与 x 间的函数关系是y=-150 x+160（2）如下表：租出的车辆数-150 x+160 未租出的车辆数150 x-60 租出的车每辆的月收益x-150 所有未租出的车辆每月的维护费x-3000 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - （3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W= （ -150 x+160）（ x-150 ）- （x-3000 ）=（-150 x2+163x-24000 ）- （ x-3000 ）=-150 x2+162x-21000 =-150（x-4050 ）2+30705 当 x=4050 时， Wmax=307050 ，即：当每辆车的月租金为4050 元时，公司获得最大月收益307050 元故答案为： -150 x+160，150 x-60 4 （ 2017?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于 A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为 （3，0） ，与 y 轴交于 C （0，-3）点，点P是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO 、PC ，并把 POC 沿 CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点 P ，使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积4解：（1）将 B、C两点的坐标代入得930-3bcc，解得：-2-3bc；所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3 。（2）存在点P，使四边形POP C 为菱形；如图，设P点坐标为（ x， x2-2x-3 ） ，PP 交 CO于 E 若四边形POP C 是菱形，则有PC=PO ；连接 PP ，则 PE CO于 E，OE=EC=32， y=-32； x2-2x-3=-32解得 x1=2102，x2=2102（不合题意，舍去）P点的坐标为（2102，-32） 。（3）过点 P作 y 轴的平行线与BC交于点 Q，与 OB交于点 F，设 P （x，x2-2x-3 ） ，易得，直线BC的解析式为y=x-3 则 Q点的坐标为（x，x-3 ） ；S四边形 ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - =12AB?OC+12QP?BF+12QP?OF=1243+12 (-x2+3x) 3=-32 (x-32)2+758。当x=32时，四边形ABPC的面积最大此时 P点的坐标为(32，-154)，四边形ABPC的面积的最大值为7585（ 2017?潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在RtABC内修建矩形水池DEFG ，使定点 D，E在斜边 AB上， F，G分别在直角边BC ， AC上；又分别以AB ， BC ，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中 AB=243米， BAC=60 ，设EF=x米， DE=y米（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（2）当 x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的13？5解：（ 1）在 RtABC中， ACB=90 ， AB=243米， BAC=60 ，AC=12AB=123米， BC=3AC=36米， ABC=30 ，AD=tan60DG=33x，BE=tan30EF=3x，AD+DE+BE=AB，33x+y+3x=243，y=243-33x-3x=243-4 33x，即 y 与 x 之间的函数解析式为y=243-4 33x（0 x18）；（2） y=243-4 33x， 矩形 DEFG 的面积 =xy=x （243-4 33x）=-4 33x2+243x=-4 33（ x-9 ）2+1083，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 当 x=9 米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米；（3）记 AC 、BC 、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、 S3，两弯新月面积为S，则 S1=18 AC2，S2=18BC2， S3=18AB2，AC2+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-SABC，S=SABC，两弯新月的面积S=12AC?BC=1212336=2163（平方米）如果矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面积的13，那么 -4 33（x-9 ）2+1083=132163，化简整理，得（x-9 ）2=27，解得 x=933，符合题意所以当 x 为（933）米时，矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面积的136 （2017?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A，B，与 x 轴分别交于点E，F，且点 E的坐标为（ -23，0） ，以0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是 D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段 CB上的一个动点（点M与点 B， C不重合） ，过点 M作 MN BE交 x 轴与点 N，连结 PM ，PN ，设 CM的长为 t ， PMN 的面积为S，求 S与 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围 S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6解：（1）由题意，得A（0，2） ，B（2，2） ，E的坐标为（ -23，0） ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 则224242-093caabc，解得9-8942abc，该二次函数的解析式为：y=-98x2+94x+2；（2）如图 1，过点 D作 DG BE于点 G 由题意，得ED=23+1=53，EC=2+23=83， BC=2 ，BE=6449=103 BEC= DEG ， EGD= ECB=90 ， EGD ECB ，DGDEBCBE，DG=1 D的半径是1，且 DG BE ，BE是 D的切线；（3）如图 2，由题意，得E（-23，0） ，B（2，2） 设直线 BE为 y=kx+h（k0） 则22203khh，解得，3412kh，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 直线 BE为： y=34x+12直线 BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点 P的纵坐标y=54，即 P（1，54） MN BE ， MNC= BEC C=C=90 ， MNC BEC ，CNMCECBC，823CNt，则 CN=43t ，DN=54t-1 ，S PND=12DN?PD=12（43t-1 ）?54=56t-58SMNC=12CN?CM=1243t?t=23t2S梯形 PDCM=12（PD+CM ）?CD=12?（54+t ）?1=58+12t S=SPND+S梯形 PDCM-SMNC=-23t2+43t （0t 2） 抛物线S=-23t2+43t （ 0t 2）的开口方向向下，S存在最大值当t=1 时， S最大=237 （2017?泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点C （0，-4 ） ，与 x轴交于点A，B，且 B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P是 AB上的一动点，过点P作 PE AC，交 BC于 E，连接 CP ，求PCE面积的最大值（3）若点 D为 OA的中点，点M是线段 AC上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M点的坐标7解：（1）把点 C（0， -4 ） ，B（2，0）分别代入y=12x2+bx+c 中，得2-412202cbc， 解得1-4bc。该抛物线的解析式为y=12x2+x-4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - （2）令 y=0，即12x2+x-4=0 ，解得 x1=-4 ，x2=2，A（-4 ，0） ，SABC=12AB?OC=12设 P点坐标为（ x，0） ，则 PB=2-xPEAC ， BPE= BAC ， BEP= BCA ， PBE ABC ，2PBEABCS()SPBABVV，即2PBES2()126xV，化简得： SPBE=13（2-x ）2SPCE=SPCB-S PBE=12PB?OC -SPBE=12（ 2-x ）4 -13（2-x ）2=-13x2-23x+83=-13（x+1）2+3 当 x=-1 时， SPCE的最大值为3（3） OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2， OAC= AMD=45 ，ADM=90 ，M点的坐标为（-2，-2 ） ；（II ）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M作 MN OD于点 N，则点 N为 OD的中点，DN=ON=1 ， AN=AD+DN=3，又 AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3 ，M点的坐标为（-1，-3 ） ；（III）当 OD=OM 时， OAC为等腰直角三角形，点 O到 AC的距离为224=22，即 AC上的点与点O之间的最小距离为22222， OD=OM 的情况不存在综上所述，点M的坐标为（ -2 ，-2 ）或（ -1 ，-3 ） 8 （ 2017?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线 y=x 交于点 A，点 B在直线 y=12x+32上， BOA=90 抛物线y=ax2+bx+c 过点 A，O ，B，顶点为点E名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - （1）求点 A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点C，直线 BC交抛物线于点D，过点 E作 FE x 轴，交直线 AB于点 F，连接 OD ，CF，CF交 x 轴于点 M 试判断 OD与 CF是否平行，并说明理由8解：（1）由直线y=12x+32与直线 y=x 交于点 A，得1322yxyx， 解得，33xy，点 A的坐标是（ 3，3） BOA=90 ，OB OA ，直线 OB的解析式为y=-x 又点 B在直线 y=12x+32上，1322yxyx，解得，11xy，点 B的坐标是（ -1，1） 综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3） ， （-1，1） （2）由（ 1）知，点A、 B的坐标分别为（3，3） ， （-1 ，1） 抛物线y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，9330-1abcca bc， 解得12120abc，该抛物线的解析式为y=12x2-12x，或 y=12（x-12）2-18名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 顶点 E的坐标是（12，-18） ；（3）OD与 CF平行理由如下：由（ 2）知，抛物线的对称轴是x=12直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点C，C（12，12） 设直线BC 的表达式为y=kx+b（k0） ，把 B（-1 ，1） ，C（12，12）代入，得-121122kbkb，解得1-323kb，直线 BC的解析式为y=-13x+23直线 BC与抛物线交于点B、D，-13x+23=12x2-12x，解得， x1=43，x2=-1把 x1=43代入 y=-13x+23，得 y1=29，点 D的坐标是（43，29） 如图，作DN x 轴于点 N则 tan DON=16DNONFEx 轴，点 E的坐标为（12，-18） 点 F 的纵坐标是 -18把 y=-18代入 y=12x+32，得 x=-134，点 F 的坐标是（ -134，-18） ，EF=12+134=158CE=12+18=58，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - tan CFE=16CEEF， CFE= DON 又 FEx 轴， CMN= CFE ， CMN= DON ，OD CF，即 OD与 CF平行9 （ 2017?潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c 关于直线 x=1 对称，与坐标轴交与 A，B，C三点，且 AB=4 ，点 D （2，32）在抛物线上，直线l 是一次函数 y=kx-2 （k0）的图象，点O是坐标原点（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）把抛物线向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线与直线 l 交于 M ，N两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与 PN总是关于y 轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由9解：（1）因为抛物线关于直线x=1 对称， AB=4 ，所以 A （-1 ，0） ，B（3，0） ，设抛物线的解析式为y=a（x+1） （x-3 ） ，点 D（ 2，32）在抛物线上，32=a3（ -1 ） ，解得 a=-12，抛物线解析式为：y=-12（x+1） （x-3 ）=-12x2+x+32（2）抛物线解析式为：y=-12x2+x+32，令 x=0，得 y=32， C （ 0，32） ，D（2，32） ， CD OB ，直线 CD解析式为y=32直线 l 解析式为y=kx-2 ，令 y=0，得 x=2k；令 y=32，得 x=72k；如答图 1 所示，设直线l 分别与 OB 、CD交于点 E、F，则E（2k，0） ，F（72k，32） ，OE=2k，BE=3-2k，CF=72k，DF=2-72k直线 l 平分四边形OBDC 的面积，S梯形 OEFC=S梯形 FDBE，12（OE+CF ）?OC=12（FD+BE ）?OC ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - OE+CF=FD+BE，即：2k+72k=（3-2k）+（2-72k） ，解方程得： k=115，经检验k=115是原方程的解且符合题意，k=115（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t ） 抛物线解析式为：y=-12x2+x+32=-12（x-1 ）2+2，把抛物线向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线解析式为：y=-12x2依题意画出图形，如答图2 所示，过点M作 MD y 轴于点 D，NE y 轴于点 E，设 M （xm，ym） ，N（xn，yen） ，则 MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yen直线 PM与 PN关于 y 轴对称，MPD= NPE ，又 MDP= NEP=90 ，Rt PMD RtPNE ，MDPDNEPE，即mmnnxtyxty，点 M 、 N在直线 y=kx-2 上， ym=kxm-2 ， yen=kxn-2 ，代入式化简得： （t+2 ） （ xm+xn）=2kxmxn把 y=kx-2 代入 y=-12x2 ，整理得： x2+2kx-4=0 ，xm+xn=-2k ，xmxn=-4，代入式解得：t=2 ，符合条件所以在 y 轴正半轴上存在一个定点P （0，2） ，使得不论 k 取何值， 直线 PM与 PN总是关于y轴对称【备考真题过关】一、选择题1（ 2017?大庆）已知函数y=x2+2x-3 ，当 x=m时， y0，则 m的值可能是（）A-4 B0 C2 D3 2 （ 2017?南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴有两个交点， 坐标分别为 （x1，0）， （ x2，0），且 x1x2，图象上有一点M （x0，y0）在 x 轴下方， 则下列判断正确的是（）Aa0 Bb2- 4ac0Cx1x0 x2Da（x0-x1）（ x0-x2） 0 3 （2017?湖州）如图，在1010 的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（）A16 B15 C14 D13 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 二、填空题4（2017?宿迁）若函数y=mx2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则常数 m的值是5 （ 2017?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若动点P 在抛物线y=ax2上， P 恒过点 F（0，n） ，且与直线y=-n 始终保持相切，则n= （用含 a 的代数式表示） 6 （2013?锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3An在 y 轴的正半轴上，点B1，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1， C2， C3Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2， 四边形 A2B3A3C3四边形An-1BnAnCn都是菱形， A0B1A1=A1B2A1=A2B3A3= An-1BnAn=60，菱形An-1BnAnCn的周长为三、解答题7（ 2017?鞍山）某商场购进一批单价为4 元的日用品若按每件5 元的价格销售，每月能卖出3 万件；若按每件6 元的价格销售， 每月能卖出2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格x（元 / 件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润