相似理论讲义.docx

§1 引言1一, 理论分析法1二, 试验方法2§2 物理现象的数学描述 单值条件2§3 相像的概念3一, 几何相像3二, 运动相像4三, 力相像：4§4 相像第确定理（相像性质）5一, 相像指标5二, 相像准则：6三, 相像第确定理6§5 相像第二定理（相像条件）7§6 相像第三定理7§7 方程分析法求相像准则9一, 相像转换法9二, 积分类比法11三, 相像函数和非相像函12§8 因次分析法求相像准则13一, 因次的概念：13二, 因次分析法求相像准则14三, 独立相像准则的完整集合16四, 用矩阵求相像准则（因次分析法求相像准则的规格化）18§9 相像准则形式的选择和试验数据的处理21一, 相像准则的转换21二, 试验数据的处理21§10 模型试验的局限；近似模型试验22相 似 理 论 模型试验的理论基础§1 引言 人们探讨自然现象的规律的方法,概括起来有两种：理论分析法（数学分析法）与试验方法。这两种方法不是截然分开的。理论分析是建立在前人依据试验得到的基本定律的基础上，试验方法中也离不开理论分析。一, 理论分析法 理论分析法是在自然科学的各种定律基础上，以数学为主要工具，把自然规律（各物理量之间的关系）用数学方程式表达出来。对于运动看，变更着的现象，将其中的某一微元抽出来进行分析，建立起微分方程，给出边界条件, 初始条件，这个方程的解就是表征现象的各物理量之间的关系式。 这种方法的优点是严格，精确，通用性强。 这种方法的缺点是：对于困难的微分方程，求解往往是特殊困难的； 对于许多错综困难的现象，甚至不能列出微分方程。这些缺点使理论分析受到局限。二, 试验方法1）干脆试验 干脆试验就是用原型进行试验。其优点是直观。但是，试验结果只能应用于完全相同的现象，推广受到局限；对于有些现象无法进行干脆试验,如还没有建立出的设备设施, 对于已建立出的设备但受到条件的限制（尺寸太大或太小，温度, 压力的限制）, 对造价高的设备作破坏性试验, 一些不常发生的自然现象（如地震）等，都是难于应用干脆试验法的。2）模型试验 模型试验是通过模型来探讨原型。模型应当依据须要，在形态, 工作规律, 信息传递规律与原型相像。 模型分类： a参观用模型供参观, 教学用。一般仅保持外形, 活动状态的相像。 b定性分析用的简易模型它表达设想，扶植构思，供分析探讨用。一般仅保持外形, 活动状态相像。c定量探讨用的模型分物理模型与数学模型。物理模型是供探讨某种现象用的模型。它保持工作规律相像，物理本质不变，与原型比较仅是物理量大小比例不同。数学模型是供探讨某系统在变更输入信息后，工作过程的变更的模型。它保持信息传递规律相像。它与原型所进行的物理过程本质不同，但信息传递按同一规律进行。如计算机模拟。本课程探讨的模型试验是指“定量探讨用的物理模型。”要求模型保证工作规律相像，所反映的现象物理本质不变。而不仅仅是外形尺寸，活动状态相像。因此，模型试验所说的“模型”是指的模型现象，而不仅是一个物体的模型。模型试验的优点：（1）试验结果可以推广到一切相像的现象；（2）经济性好，节约人力, 物力, 时间。如阿波罗指令仓有关外壳刚度与减速度试验，实物试验费需50万美元，模型试验费只需9千美元，下降约15倍。土星V运截火箭实物试验费1000万美元，模型试验费50万美元，下降约20倍；（3）可以对干脆试验无法进行的现象进行试验；（4）可以严格限制试验条件，突出主要因素；（5）可以反复再现试验。由于这些优点，模型试验广泛应用于各个科学领域。在汽车的探讨中，模型试验应用于探讨汽车的空气阻力，汽车的碰撞, 轮胎在各种土壤条件下的牵引性能等方面。本章的内容主要是探讨怎样设计模型与怎样整理与推广试验结果。§2 物理现象的数学描述 单值条件现象，常用各种物理量来表征。任何现象都有其客规律。当人们相识到这个规律时，都可以把表征这个现象的各种物理量及其它参量组成一组数学方程式，一般是一组微分方程式。具体运用这个规律时，须要把方程解出来。由微分方程可得到通解。这个方程组或其通解反映了各物理量间的关系，是用数学形式对这种类型的现象的一种描述。它适合于一切这种类型的现象。kcmF例如：对于图示振动系统，可依据牛顿第二定律，列出描述系统运动现象的微分方程：解这个方程，得描述物体位移规律的通解： x1方程对应的齐式方程的通解； x2方程的一个特解这个微分方程与这个能解适合于一切如图示系统的运动现象。这种现象有多数多个。每个具体的现象有它独有的特性，或是无阻尼的, 欠阻力的, 过阻尼的，或是自由振动, 衰减振动, 受迫振动等等。上面这个方程包括了这些现象，但要区分或要描述某一个具表达象，还要给出附加条件。这个附加条件与方程组一起，才能描述个别的, 具体的某一特定现象。能从听从于同一方程组的多数现象，单一地划分出某一具表达象的附加条件，叫单值条件。单值条件是同类现象中各个现象相互区分的标记。单值条件一给定，具表达象即确定。如给出上述振动现象的单值条件：时： ， ， 就描述了一个具体的振动现象（一个零初始状态的受迫振动现象）。单值条件包括：空间(几何)条件:参与现象的物体的几何形态尺寸大小。如悬臂梁的长度与受力位置。物理条件:参与现象的物理介质的物理性质。如振动体的质量m；流体的密度边界条件条件：发生在现象边界的对象有影响的约束状况。如悬臂梁的一端转角为零。初始条件：现象的初状态。这个初始状态干脆影响现象的演化过程。如自由振动与衰减振动现象的初始状态确定了振幅A与初相位角。把同类现象作为一个集合，其中每一个具表达象就是这集合的元素，而相像现象是这个集合的一个子集。如上述振动系统，每一种不同的单值条件的取值都是同类现象的一个具表达象；而依据相像的概念，相像现象的每一单值条件物理量都应是成比例的，而不是随意取的。（下一节将讲解并描述这些比例是有确定约束关系的）。因此，在模型试验中，限制试验条件就是限制单值条件，以使模型与原型相像，试验结果才有意义。在实际中，由于现象的规律往往是不知道的，单值条件也不知道。精确地判定单值条件，是很重要的，也是很困难的。综上所述，有以下几点： 单值条件是指表征现象的一些(不是全部)物理量。 在同一类现象中，单值条件一给定，具表达象即确定，非单值条件物理量也由现象的规律而被确定。由于单值条件物理量与非单值条件物理量之间有这种从属关系，我们称单值条件物理量叫“定性量”；称非单值条件物理量叫“非定性量”。 哪些物理量是单值条件还与探讨的问题有关.如探讨应力与挠度的关系时,应力与挠度都可以分别作为单值条件。§3 相像的概念一, 几何相像相像的概念首先出现在几何学里。两个相像三角形的对应尺寸不同，但形态一样。相像三角形的性质（相像性质）：各对应线段的比例相等，各对应角相等，即： Cl相像倍数反过来讲，满足“相像条件”的两个三角形是相像三角形。此条件为：“相像性质”是指彼此已相像的现象具有的性质；“相像条件”是指满足此条件，现象就彼此相像。几何学中的相像概念可推广到其它物理概念中。yx0。s”yx0。s几何相像（空间相像）：指对应尺寸不同，但形态一样的几何体。它表现为全部对应线段都成确定比例，全部对应角都相等。二, 运动相像物体的运动现象可以用路程S, 时间T, 速度V等物理量来描述。运动相像就是指这些表征运动现象的物理量分别相像。1”t2”s12ts(a) 时间相像：指对应的时间间隔的比值相等：Ct是时间的相像倍数。（b）速度相像：指速度场的几何相像。表现为在对应时刻上各对应点速度的方向一样，大小成比例：VV ”）（C）运动轨迹几何相像：表现为轨迹曲线每对应点的坐标值成比例，斜率相等： 三, 力相像：力相像指力场的几何相像。表现为对应点上的作用力方向一样，大小成确定比例。首先，受力体应当是几何相像。否则就无所谓对应点了。分布载荷表现为力场几何重力场几何相像力多边形几何相像相像，集中载荷表现为力多边形几何相像。若力随时间变更，还需时间相像， 即对应时刻的力方向一样，大小成确定比例。此外，还有温度相像, 浓度相像等等。现象相像是指在对应时刻, 对应点上描述这类现象的全部同名物理量各自成确定比例关系，若是向量则方向一样。由此可知相像只能是同类现象,这些现象能用相同的微分方程描述；现象相像首先在空间要几何相像与时间相像。 同类现象能用相同的关系方程式或微分方程式描述。两相像现象的同名物理量的比例值，称为相像倍数。相像倍数是一个常数。§4 相像第确定理（相像性质） 本节探讨彼此相像的现象具有什么性质的问题。相像第确定理的内容就是说明什么是相像现象的相像性质。一, 相像指标以物体受力产生加速度这种现象为例：表征两个现象 的物理量分别为F, m, a与F, m, a。描述第一个现象的运动方程式为： F=ma （1） 描述第二个现象的运动方程式为 ： F=ma （2）设这两个现象相像。依据相像的概念，知道它们的同名物理量成比例： （3）或 代入（1）式，则描述第一个现象的运动方程式为： （1*）因为相像现象是同类现象，描述它们的方程式应完全一样，因此比较（1*）式与（2）式得：此式表明，各物理量的相像倍数不是随意的，是受到这个式子的约束的。（这是由于两个现象都遵从于同一规律，各物理量间都有确定的函数关系）。这种约束关系用C表示，即： （4）C称为“相像指标”。对于相像现象，C=1 。C1的，就不是相像现象。C所表示的约束关系是由这类现象的自然规律所确定的，具体的说就是由描述这类现象的方程所表达的各物理量间的函数关系所确定。C在确定程度上表达了各物理量之间的关系（即现象的规律）。 相像现象的相像指标C的个数一般有若干个。二, 相像准则：将（3）式代入（4）式，得整理后,这种约束关系就表示成另外一种形式：此式表明：由描述两现象的物理量组成的这个综合量对应相等。（“对应”是指这些物理量是在对应时刻, 对应几何点上的取值）。这个综合量称为“相像准则”，用符号(或)表示:或 (不变量)相像准则是表征某一现象的物理量组成的综合量。其中的物理量不愿定是表征现象的全部物理量。相像准则的特点因次为1，是无因次量（无量纲）。反之，由表征现象的物理量组成的无因次量就是相像准则。必需留意：相像准则包含的物理量属同一个现象；（如）相像准则中各物理量取值应是同一时刻同一点上的值（ 如 脚标i表示时刻时的取值）； 相像准则是时间与空间的函数,不是常数，即同一现象的同一准则在不同点, 不同时刻的值一般不同（如 ）。（相像倍数在随意时刻, 随意点都是确定值，是常数const）。全由定性量组成的相像准则称“定性准则”；不全由定性量组成的相像准则称“非定性准则”。三, 相像第确定理相像第确定理：“彼此相像的现象，其相像指标为1。” 或“彼此相的现象，其似准则的数值相等。” 相像第确定理表述了相像现象的性质。此定理包含了如下内容（依据相像的概念，“彼此相像的现象”一句表明白, 内容）：相像现象属于同一类现象，它们都可被文字上完全相同的方程式（包括描述单值条例的方程式）所描述。相像倍数的同名物理量各自成比例关系，相像倍数是常数。相像倍数不全都能随意取值，而是彼此有确定的约束关系。§5 相像第二定理（相像条件）相像第二定理：“凡同类现象，当单值条件相像，而且由单值条件物理量组成的相像准则在数值上相等，则这些现象就必定相像。”此定理说明白相像条件： 是同类现象； 全部单值条件分别对应相像； 定性准则相等。由条件“定性准则相等”，经代换整理可得由定性量（单值条件物理量）的相像倍数组成的相像指标等于1，限制了条件“单值条件相像”的相像倍数不能随意取值。条件的意义就在于此。第二定理的条件是相像的充要条件：充分条件：若单值条件条件相像，非单值条件按现象的规律也就自行相像了。这样，全部物理量都成比例，现象相像。单值条件确定（单值条件相像）现象确定（现象相像）非单值条件确定（非单值条件相像）必要条件：由第确定理可知，若相像现象，则全部参数成比例，相像准则相等，即满足条件。（第确定理本身就可看作是必要条件）。从“相像性质”与“相像条件”的意义动身，相像第一, 第二定理又分别称为“相像正定理”与“相像逆定理”。第二定理的指导意义：是模型设计的原则。§6 相像第三定理相像第三定理（又叫定理, 巴金汉定理）：“描述现象的物理量关系方程式，可以转化为相像准则之间的关系式 ）。”）称为“准则关系式”。相像第三定理可以证明。（证明略）说明：“物理关系式”要是完整的物理方程。“完整的”是指方程的因次与谐或方程具有因次齐次性：（a）每项的因次相同。同因次的量相加, 减才有物理意义。（b）方程适合于任何单位制。物理量不管取哪种单制（工程制, cgs制, 国际制, 英制），只要单位是统一的（属同一单位制），方程都恒久成立。 例如： F=ma 因次上齐次，是一完整的物理方程。而当m=1时，F=a。F=a这个方程在因次上不与谐，不是完整的物理方程。又例如： 因次上齐次，是一完整的物理方程。而当取g=9.8时， （k是一常数）。这个方程在因次上不与谐，不是完整的物理方程。对一些限定了物理量单位的方程，因次上不是齐次的。如1摩尔志向气体的状态方程PV=RT 是一个完整的物理方程，但 PV=8.31T （P帕 V T开）PV=8.2×T(大气压 V升 T开)因次没有齐次性，不是一个完整的物理方程。（2）均是表征现象的物理量组成的相像准则，包括定性准则与非定性准则。相像准则是无因次量，所以，不管选择哪种单位制，准则关系式中的各变量在数值数上都是不变的。准则关系式是描述物理量之间关系的另一种形式。是微分方程的解。相像现象的准则数值相等，因此它们的准则关系式在形式上与数值上完全相同。所以说，准则关系式适用于一切相像现象。这就为我们供应了模型试验结果推广的依据。定性量给定后，现象就被确定，非定性量也随之确定了。定性量给定后，定性准则被确定，非定性准则也随之被确定，由于这种关系，我们把准则关系式表示成由此可以探讨随变更的规律。探讨的目的主要是在于探讨其中的非定性量。以粘性不行压缩流液体的稳定等温流淌为例，来说明如何利用准则关系式来整理, 推广试验结果与利用准则关系式的优点。探讨的问题：流体压力p的规律。P是非定性量，l（几何尺寸）, （流体密度）, （流体动力粘度）, g（重力加度）, v（流体速度）是单值条件物理量。（假如探讨流速v的规律，则V是非定性量）。已知的三个相像准则中， 是非定性准则，则准则关系式为 即 或试验的目的就是要找出函数关系。试验时，可通过变更V来变更Re, Fr的值。每一Re, Fr的值对应一个Eu的值，在座标上描下这些点。用曲线拟合这些点，这个曲线就是准则关系曲线，也就是要找的函数关系。与按有因次的物理量整理试验结果比较，准则关系式有如下优点：削减了试验的内容。假如不按准则关系式组织试验，就要分别探讨l, , , , , 对的影响。而上例只需探讨Re, Fr对Eu的影响。只用变更v来变更Re, Fr意味着只须要一种试验设备与一种流体就行了。(2)便于限制。要想限制, 变更, 是较困难的，但按准则关系式只须要限制Re与Fr就行了，这可以通过限制易于限制的V来达到。试验结果同样能反映, 与P的关系。（3）反映了现象的本质。按有因次量整理试验结果，得到的是, , 等关系式，不能反映现象的本质，只反映了p分别与其它量的关系。相像三定理是相像理论的主要内容，构成了模型试验的理论基础： 怎样由原型设计模型由第二定理知：必需保证单值条件相像, 定性准则相等的相像条件。 试验时测哪些数据由第确定理可知：应当测量（这里的“测量”还有“限制”的意思）相像准则中包含的全部物理量。因为相像准则表达了模型与原型的联系。 试验结果如何处理？由第三定理可知：应当整理成准则关系式。这样就可以推广到一切相像现象。§7 方程分析法求相像准则方程分析法有相像转换法与积分类比法两种。它是依据已知的微分方程组与单值条件来求相像准则。既然方程都知道了，为什么还要作试验？这是因为有时方程很困难，求解特殊困难，只得依靠试验来求解。有时得到的方程式在建立过程中，为了简便起见，作了许多假设，这时就仅是利用这个假设的方程来求相像准则而己。Fkx一, 相像转换法（例）图示系统，求相像准则。m解： 写出方程式与初始条件：方程式 初始条件: t=0时,(单值条件只需写出那些随现象的进行而要发生变更的物理量，即初始条件。)（2）写出相像倍数表示式 (3)相像转换第一现象： （1）第二现象： （2）由相像倍数表示式有代入（1）式得：（留意d(cx)=cdx d(cx)=cd d(cx)）到 （1*）比较（1*）, （2）式有 （3）同样地, 由两个现象的单值条件： ， 得 （4）（留意：（1*）式右端为0；左端每一项都有一个相像倍数因子。（3）与（4）式可以等于随意值，也可以等于1，但不恒等于1，故不能在右边写“=1”。若等于1时，不能将, , , , 等误认为是相像指标。这可简洁地用因次等于1证明, kx, F等不是相像准则。）由（3）, （4）式有 得相像指标 相像准则 描述此现象的物理量m, k, t, F, , x中，前五个是定性量，只有是定性准则。在这些物理量中，往往简洁漏掉。所以应当特殊留意初始条件的物理量与由初始条件得到的相像准则，不要遗漏了。在以上准则中，因，故 , 与中只有（随意）两个是独立的。对于相像现象，只要独立的相像准则相等了，由独立相像准则导出的相像准则自然也就是相等的。因此在模型试验中，只须要探讨独立的相像准则。在用方程法求相像准则时，只探讨（3）式中某1个量分别与其它量相等的状况，其它量相等则不需探讨。二, 积分类比法描述相像现象的方程是完全一样的。方程式中，随意对应的两项比值应当相等。由于方程的因次是谐与的，即各项的因次相同，所以随意两项的比值是无因次量。因而这个比值就是一个相像准则。如 的随意对应两项之比相等： , 第一个等式是一个相像准则，第二个等式里有微分符号。下面讲怎样处理微分符号。设 （有脚标）表示同一现象的第个状态的u值。 常数取极限，由于常数的极限等于它本身，有 即同理 即 以上三个式子说明：相像现象的有微分号的对应量之比，等于去掉微分或偏微分符号“” “”相应量之比。（留意：上式得不出的结论，因为u与t不是对应项。与才是对应量。）因此： 去掉“d”符号： 即 由的结果可知，干脆将两项比值中的微分符号去掉，就得到相像准则了。将积分类比法归纳成以下步骤：1）写出现象的微分方程组与初始条件；（不须要分别写出两个现象的方程与初始条件了）2）用方程式中的任一项（只需一项，假如用了两项，得出的相像准则将有不独立的）除以其它各项（性质相同的项仅取其中一项）；3）全部微重量用相应量代替；沿各座标的重量用总量代替（如速度重量, 用总量V代替）；座标量用定性尺寸代替（如长x, 宽y, 高z等几何量用一个定性尺寸L代替）。三, 相像函数与非相像函数探讨相像函数与非相像函数，可以说明模型试验的局限性。例1：由方程式 （k, e是常数）求相像指标。解： 相像倍数 ， 则第一个式子为 与第二个式子比较，得： 各相像倍数都等于1，意味着不能得到相像的模型，不能进行模型试验。例2：有 （1） （, 是常数） （2）用相像转换法：将相像倍数代入得（1）式： （3）比较得（1）, （3）式，有 。 说明不能进行模式模型试验。用积分类比法：由随意两项之比相等，有 ， ；即 ， ；得 ， 。即有 ， 。与用相像转换法得到的结论相同。（若B=0，则得 。 说明可进行模型试验，是相像函数。） 以上两个函数式都不能得出相像倍数，的约束关系，即不能得到相像指标。我们称能用方程分析法得到相像指标的函数式叫“相像函数”，不能用方程分析法得到相像指标的函数式叫“非相像函数”。§8 因次分析法求相像准则 在多数状况下，各物理量之间关系是末知的，写不出方程式来。只能写出不定函数式：f（a，b，c，）=0 a，b，c，是表征现象的物理量这时，就只有用因次分析法来找相像准则。因次分析法有许多用途，找相像准则只是其中的一个。由于因次分析法在找相像准则中的重要作用，因次分析与模型试验结下了不解之缘。一, 因次的概念：“因次”又叫“量纲”。我们这里把物理量单位的种类（性质）叫因次。种类：长度, 质量, 温度, 时间, ，就是不同的种类。它们有各自的因次。用分别L, M, t, T表示。物理量单位：除了指明物理量所属种类外，还涉及到大小的问题。如米, 市尺, 英寸, 等等，都是长度单位，是属“长度”这个种类的，它们的每1单位大小不同。它们的因次都是长度的因次L。因此，因次只涉及物理量的性质，而不涉及它的大小。物理量分“基本量”与“导出量”；现象可由基本物理量表征，也可用导出物理量表征。相应地，物理量单位分“基本单位”与“导出单位”，物理量因次分“基本因次”与“导出因次”。 导出量是由基本量导出的，可由基本量表示；导出单位是由基本单位导出的，可由基本单位表示；导出因次是由基本单位导出的，可由基本因次表示。例如：由基本量长度, 时间, 质量导出力，导出量力可由基本量表示为；由基本单位m（米）, S（秒）, Kg（千克）导出N（牛），导出单位N可由基本单位表示为；由基本因次L, T, M导出F，导出因次F可由基本因次表示为L·M· T-2 ，或L ·M · T-2，或LMT-2。所谓“基本量（或基本因次）”与“导出量（或导出因次）”是相对的，可以取随意的量（或因次）为基本量（或基本因次）。但基本量（或基本因次）必需相互独立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）导出，（如可以取L, F, 不能取L, T, V），但必需完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）导出。国际单位制规定了七个基本单位：m（米）, Kg（千克）, S（秒）, A（安培）, K（开尔文）, mol（摩尔）, cd（坎德拉）。在力学中，我们常以长度, 质量, 时间, 作为基本量，相应地，取L, M, T作为基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示： A=LMT或 A=L M T任何物理量的因次都是基本因次的幂乘积。例如： 速度 V=LT-1M 0=LT-1角加速度 =L0T-2M0=T-2角度 因次为1 （以弧度来理解）可按物理量间的关系式写出因次，如： 振动频率 相像准则是无因次量， ，又称其因次为1。二, 因次分析法求相像准则依据 相像准则是表征现象的各物理量的幂的乘积，即； 相像准则的因次为1 ( ); 由表征某一现象的物理量组成的无因次量是相像准则。在已知表征现象的全部物理量的条件下，就可求得相像准则。例：求物体受力产生运动的现象的相像准则。解： 1）写出描述现象的全部物理量：m, F, v, t ；2）写出相像准则通式及其因次 准则通式 = 准则通式的因次 将其因次表示为基本因次的形式：3）依据=1 解出准则通式中的末知指数 由 得方程组：解方程组，得有无穷多组解。其基础解只有一组。其余的解都是基础解的线性组合。令 ， 得一基础解： ， ， ， 4）写出相像准则将方程的解代入准则通式，得到相像准则。（此准则称为牛顿准则）5）验算验算是否为1，假如为1，说明正确。假如不为1，就错了，应检查物理量的因次是否弄错, 解方程组是否出错。假如又令，则， ， ，这一组解是基础解的线性组合，由此得到的准则，是不独立的。所以，相像独立准则的个数与基础解的个数相等。 由这个例子可以看出用因次分析法求相像准则的主要过程就是由“依据”写出相像准则的通式，再由“依据”解出通式中的未知数，。在实际中，要找出表征现象的全部物理量往往是困难的。物理量。多了或少了，对结果都有影响。例如，在上例中，若多一个物理量加速度a，将得到两个相像准则， 。假如经过试验，将得到结果：1，那就找到了F, m, a, 之间的关系，但这个关系是我们早已知熟知的，由此是没有什么意义的，反而增加了试验的内容。所以，要留意推断哪些是不独立的物理量（即可由另外的物理量推导得出），在解题的第一步骤中就不应将它们列入。例如，对于同一物体的速度V, a, x, t中，就只有两个量是独立的。若将它们都代入，就将得到， 或等没有意义的相像准则。又如，假如将表征同一物体的几何尺寸a, b, c都列入，将得到相像准则, 或。这些准则的物理意义是两相像现象中的这个物体的对应尺寸成比例。但只要我们保证了物体的几何相像，这些准则对试验来说就是没有多大意义的。通常，对这些有相同意义的物理量只需取其中一个就行了。但对于相像准则（是单值条件），则是必要的，它表示了对初始条件的限制。在描述现象的方程中，有时存在有因次的常数，如气体常数R。在因次分析中考虑物理量时，往往容量漏掉有因次的常数，从而造成错误。总之，用因次分析法时，必需对所探讨的现象的物理实质有必要的了解，才能正确确定参与现象的物理量。假如了解甚少，就只有经过反复试验来推断所确定的物理量是否全面, 正确。三, 独立相像准则的完整集合1. 独立相像准则表征现象的物理量组成的无因次量都是相像准则。相像准则的加, 减, 乘, 除, 幂都是无因次量，亦都是相像准则。相像准则一般不用有加, 减号形式，且乘, 除实质上是指数为1的幂的乘积，所以说“相像准则的幂的乘积也是相像准则”。由此可知，一类相像现象的相像准则有无穷多个。但其中有些准则可以由其它一些准则的幂的乘积来表示。所谓独立，是指准则之间的关系。单独一个，谈独立没有意义。相像准则之间相互独立，是指这些准则中的任何一个都不是其它准则的幂的乘积，即不能相互转换。例如：设 ，1，2，3 相互独立。则 1，2，是不独立的，其中随意两个独立的；,=是独立的，其中随意两个也是是独立的。 2独立相像准则的完整集合由上例，,是独立的，, ，也是独立的，这种独立的准则集合可能包括最大的独立准则个数，就是所要探讨的独立相像准则的完整性。若,是现象的独立相像准则，而且现象的其它任何相像准则都可以表示为这些准则的幂的乘积，则称,为该现象的独立相像准则的一个完整集合。完整集合有无穷多个。每一个完整集合的相像准则数都为。若这个集合的相像准则数则不独立；若准则数,则不完整，其它准则中就必定有些准则不能用这个集合中的准则的幂的积来表示。无穷多个完整集合中的任何一个完整集合，都可以代表这个现象的全部(无穷多个)相像准则，因此求相像准则就是要求出一个独立相像准则的完整集合。3.求独立相像准则的完整集合的准则数目先确定完整集合中独立准则的个数,再找出个相互独立相像准则。这个相像准则就是一个独立相像准则的完整集合。设表征某现象的物理量,共n个。其因次为 =1,2,n相像准则通式 , 相像准则的因次 EMBED Equation.3 定理：齐次线性方程组的系数矩阵的秩时，只有唯一零解；当时，有无穷多组解，每组基础解系包含个解向量。基础解系 ：1.k个解向量（将解看成是n维向量）线性无关；2.随意解向量是基础解向量的线性组合。基础解不是唯一的，但其解向量的个数是一样的。假如有不完全为零的数,存在,使，那么线性相关；如不存在,也就是只有当,都是零时上式才成立,那么线性无关。（为解向量，即 ）秩是矩阵中不为零的子式的最高阶数。系数矩阵 若矩阵的秩为r，则方程组基础解解向量 个数。 方程组的解就是相像准则中物理量的指数。若有几组解线性相关，则对应的相像准则就不是相互独立的。若有几组解线性无关，则对应的相像准则是相互独立的。基础解是解的最大线性无关组，因此，它所对应的个独立准则就是一个完整集合。 所以，可知一个完整集合的独立准则数与方程组的基础解个数相等。即 独立准则数=物理量个数秩（）一般基本因次都有三个，方程组有3个等式，系数矩阵有3行，所以秩不大于3。大多数状况下，=3。特殊是假如物理量中有因次分别为或, , 的三个物理量（“长度, 时间, 质量”或“长度, 时间, 力”），那么系数矩阵中必定有一个三阶子式： 1 0 0 1 1 0 对应L 0 1 0 或 0 1 0 对应M 0 0 1 0 -2 1 对应T 不等于零，系数矩阵的秩=3。对于方程分析法，独立准则数m = 不同类项数1四, 用矩阵求相像准则（因次分析法求相像准则的规格化）例：不行压缩液体的等温稳定流淌解：1考察表征现象的物理量： 2写出各物理量的因次：3写出因次矩阵 p g 物理量 物理量的指数 L -1 -1 1 1 1 -3 M 1 1 0 0 0 1 T -2 -1 -2 -1 0 0 右下角是一个矩阵，就是方程组的系数矩阵。4计算秩与独立相像准则的个数计算矩阵的秩：右边的三阶子式 +1 +1 -3 0 0 0 0 , -1 0 0 由此可知相像准则的一个完整集合有（63 = 3 ）个相像准则。 5写出方程式组：