1995考研数二真题及解析.docx
1995年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则.(2) 微分方程的通解为.(3) 曲线在处的切线方程为.(4) .(5) 曲线的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设和在内有定义,为连续函数,且,有连续点,则 ( )(A) 必有连续点 (B) 必有连续点(C) 必有连续点 (D) 必有连续点(2) 曲线与轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设在内可导,且对随意,当时,都有,则(A) 对随意 (B) 对随意(C) 函数单调增加 (D) 函数单调增加(4) 设函数在上,则或的大小依次是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设可导,若使在处可导,则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1) 求.(2) 设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.(3) 设,且,求. (4) 设探索讨在处的连续性.(5) 求摆线一拱()的弧长.(6) 设单位质点在程度面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设是微分方程的一个解,求此微分方程满意条件的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为(其中),试推导出点的坐标表达式.七、(本题满分8分)设,计算.八、(本题满分8分)设,且,证明.1995年全国硕士探讨生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满意复合函数求导法则, 【相关学问点】复合函数求导法则：的导数为.(2)【答案】【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,故对应齐次方程的通解为.设非齐次方程的特解,则,代入微分方程,得比拟系数得故.所以通解为【相关学问点】1.二阶线性非齐次方程解的构造：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种状况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为(2) 两个相等的实数根,则通解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：假设则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与一样次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.假设,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为其中与是次多项式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.(3)【答案】【解析】切线的斜率为当时,.故所求切线方程为 .化简得 .【相关学问点】参数方程所确定函数的微分法：假设,则.(4)【答案】【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令则 又 ,即 ,所以 .由夹逼准则,得.即(5)【答案】【解析】函数的定义域为全体实数,且所以曲线只有一条程度渐近线.【相关学问点】铅直渐近线：如函数在其连续点处有,则是函数的一条铅直渐近线；程度渐近线：当(为常数),则为函数的程度渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,照旧在该点处连续.设函数无连续点,因为是连续函数,则必无连续点,这与有连续点冲突,故应选择(D).方法二：解除法,举出反例解除. 设 则都到处连续,解除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有应选择(C).方法二：画出曲线的草图,所求面积为图中两面积之和,即故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对随意,当时,则函数,即,故是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令,则对随意,当时,都有,但 ,在其定义域内单调削减.故解除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由可知在区间上为严格的单调递增函数,故由微分中值定理,.所以应选择(B).(5)【答案】(A)【解析】函数在处可导的充分必要条件是与存在且相等.由于,而可导,所以在处可导等价于在可导.令,则于是要使在处可导,当且仅当,即.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当时,.原式.(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对求导,得 即 ,将代入并化简,得 .两边再对求导,得将代入并化简得方法二：方程两边先取对数再对求导.方程两边取对数得 ,求导得 ,因为,所以 .以下同方法一.【相关学问点】复合函数求导法则：的导数为.(3)【解析】首先应求出的表达式.由令得.又则.解得.因此 (4)【解析】函数在处的导函数连续的充分必要条件是与存在且必与相等.当时,由于所以 .故在处连续.(5)【解析】由弧微分公式得所以(6)【解析】设质点的运动速度为,由题设,阻力为,按牛顿第二定律有其中质量,即.这是简洁变量可分别的微分方程,解之得.另有初始条件,得.当此质点的速度为时,有,得.到此时刻该质点所经过的路程为 四、(本题满分8分)【解析】对函数两边求导并令,得解得驻点.由于 所以为函数的极大值点,为函数的微小值点,且又 ,所以 为函数最大值,为函数的最小值.【相关学问点】积分上限函数的求导公式：五、(本题满分8分)【解析】把和代入所给的一阶线性微分方程,得解得 .线性方程被确定为,即这是一阶线性非齐次微分方程,通解为再由 得,即.故所求的特解为 .【相关学问点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:,其中为常数.六、(本题满分8分)【解析】要求点的坐标,也就是说,要用表示出.由,有又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知把式,即代入消去得到 由,知曲线是向上凹的,简洁看出,所以可化为 ,且 ,于是得 七、(本题满分8分)【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 ,因此由分部积分法和,有方法二：对于二重积分,可以通过变换积分次序来求解.其中于是 八、(本题满分8分)【解析】由于 ,所以必有,且证法一：用函数单调性证明不等式.令 ,则 .由于,所以函数单调增加,在由负变正,所以是的微小值点也是最小值点,即.证法二：用泰勒公式.因为,所以 .所以 .第 12 页
