2011~2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案.docx

2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知，则可化简为（ ）A B. C. D. 2假如复数的模为4，则实数a的值为（ ）A. 2 B. C. D. 3. 设A ，B为两个互不一样的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ ）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ ）A. B. C. D. 5. 函数，则该函数为（ ）A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）2231 221 22 正视图 侧视图 俯视图（圆与正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+7某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是 则数组中的（ ） A64 B32 C16 D88. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. B C. D. 10. 已知，则的解为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数的最小正周期为_。12. 已知等差数列前15项的与=30，则=_.13. 向量，则的取值范围为 。14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点）,D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_。15设为实数，则_。16. 公路上有编号为1，2，3，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满意条件的关灯方法共有_种。（用组合数符号表示）17. 设为整数，且，则_。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）18. 设，求在上的最大值与最小值。19. 给定两个数列，满意， 。证明对于随意的自然数n，都存在自然数，使得 。20. 已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ，求 a的值。 2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准1解答：因为，所以= 。正确答案为D。2解答：由题意得。正确答案为C。3解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5. 解答：由单调性与奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一局部（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7. 答案 经计算。正确答案为 B。8. 解答：平面区域的四个边界点（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）满意，即有,由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。9. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10. 解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。11. 解答：最小正周期为4。12.解答：由，而。13. 解答：= ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为1，3。14. 解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为。15. 解答：16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。17. 解答：将代入得到，因为都是整数，所以前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。18. 解答：当 当 由此可知 。 当；当；当。19. 解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2， 所以。 又由已知，由， 所以取即可。 20. 解答：。设，由 得设。由M、A、D共线。又，得=整理得 。 2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明：本试卷分为A卷与B卷：A卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题与2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题与3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1化简三角有理式的值为（ ）A 1 B CD1+2若，则是的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3集合P=，则集合为（）A B C D4设,为两个互相垂直的单位向量。已知=，=，=r+k.若PQR为等边三角形，则k，r的取值为（ ） A B C D5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（ ）A60° B75° C90° D105°6设，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ ）A B C D 7若的二项式绽开式中系数最大的项为（ ） A第8项 B第9项 C第8项与第9项D第11项8设，则下述关系式正确的是（ ）A B C D9下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ）正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图： 半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆A B C D10设有算法如下：假如输入A=144, B=39,则输出的结果是（ ）A144 B3 C 0 D12二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11满意方程全部实数解为 。12 函数的最小正周期为 13设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为 .14设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把ABC分成两个等腰三角形，试求ABC的最小内角的取值范围为 .15设z是虚数，且，则z的实部取值范围为 .16设。假如对任何，都有，则k的最小值为 .17设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 .三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.19设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。20已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若ABC面积的最大值为，求的值。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB上的点。记。证明：。22（1）设，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线过格点（n，m），记对应的曲线段上的格点数为N。证明： （2）进而设a是一个正整数，证明： （注表示不超过x的最大整数）参考答案1解答为 A。也可以用特别值法2解答为 B。p成立，所以p 成立，推不出q肯定成立。3解答：D。 画数轴，由肯定值的几何意义可得，4解答C ，即。5解答：C。建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于 的直线为轴，所在的直线为轴。则6解答：A。7解答：D，r=10，第11项最大。8解答： D。函数为偶函数，在（0，）上，为减函数，而，所以。9解答：C依据题意，该立体图为圆柱与一个1/4的球的组合体。10解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11 。解答 变形得，解得12 解答 。13.解答 设M的坐标为，因为P点在圆上，所以 所以P点轨迹为。1430<x<45或22.5<x<30.解答 如图，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。ACDB（1）ACDB（2）在（1）中，设最小的角为x，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在（2）中，设最小的角为x，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015 .解答 设当，无解；当。16.解答 分子，所以k的最小值为。170或q.解答 因为函数为偶函数，由对称性以及图象知道，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18解（1）将数列分组：因为1+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。 - 10分 （2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出如今第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+4018）+2010=809428。 - 17分19解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为，则有，且 （*1）- 5分即有 。 （*2）于是有 。因此中必有一个取5。不妨设，代入（*1）式，得到。 -10分此时，y可取1，2，8，9（相应地z取 9，8，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有时二种放法重复。因此可得共有9×32 = 25种放法。 -17分20解： 不妨设的方程，则的方程为。由得： 由得： 从而有 -5分于是 。令，有 - 10分因为 时等号成立。因此当 - 14分令 - 17分四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21证明 由 -5分 。 - 10分所以，=。 -20分因此，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B重合。 - 25分22证明 （1）考虑区域且该区域上的格点为nm个。又该区域由区域E：以及区域F：组成。在区域E上，直线段上的格点为个，所以区域E上的 格点数为。 - 5分同理区域F上的格点数为。 - 10分由容斥原理，。 -15分 （2）当a是一个正整数时，曲线上的点（）都是格点，所以（1）中的N=n。同时，。将以上数据代入（1）得。 - 25分