人教版二次根式全章教案.docx

第十六章 二次根式 教材内容 本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式 教学目的 1学问及技能 （1）理解二次根式的概念 （2）理解（a0）是一个非负数，（）2=a（a0），=a（a0） （3）驾驭·（a0，b0），=·；=（a0，b>0），=（a0，b>0） （4）理解最简二次根式的概念并敏捷运用它们对二次根式进展加减 2过程及方法 （1）先提出问题，让学生讨论、分析问题，师生共同归纳，得出概念再对概念的内涵进展分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进展二次根式的计算和化简 （2）用详细数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进展计算 （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进展化简 （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念，来对一样的二次根式进展合并，到达对二次根式进展计算和化简的目的 3情感、看法及价值观 通过本单元的学习培育学生：利用规定精确计算和化简的严谨的科学精神，经过探究二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，开展学生视察、分析、发觉问题的实力 教学重点 1二次根式（a0）的内涵（a0）是一个非负数；（）2a（a0）；=a（a0）及其运用 2二次根式乘除法的规定及其运用 3最简二次根式的概念 4二次根式的加减运算 教学难点 1对（a0）是一个非负数的理解；对等式（）2a（a0）及=a（a0）的理解及应用 2二次根式的乘法、除法的条件限制 3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，详细安排如下： 161 二次根式 3课时 162 二次根式的乘法 3课时 163 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时161 二次根式第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目的 理解二次根式的概念，并利用（a0）的意义解答详细题目 提出问题，依据问题给出概念，应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1重点：形如（a0）的式子叫做二次根式的概念； 2难点及关键：利用“（a0）”解决详细问题 教学过程 一、复习引入 活动1、填空，完成课本思索1：，活动2、视察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思索下列问题：的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？定义中为什么要加0？若a<0，表示什么？有无意义？当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不行能为负数？(0)是什么样的数呢？可由学生思索后进展讨论，然后教师订正，最终师生共同归纳得出性质1：(0)是一个非负数 二、探究新知 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0 解：二次根式有：、（x>0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、 例2当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数肯定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意义 解：由3x-10，得：x 当x时，在实数范围内有意义 三、稳固练习 教材P3练习1、2 四、应用拓展 例3当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 分析：要使+在实数范围内有意义，必需同时满意中的0和中的x+10 解：依题意，得 由得：x- 由得：x-1 当x-且x-1时，+在实数范围内有意义 例4(1)已知y=+5，求的值(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值(答案:) 五、归纳小结（学生活动，教师点评） 本节课要驾驭： 1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必需满意被开方数是非负数 六、布置作业 习题16.1第1、5题 16.1 二次根式(2)第二课时 教学内容 1（a0）是一个非负数； 2（）2=a（a0） 教学目的 理解（a0）是一个非负数和（）2=a（a0），并利用它们进展计算和化简 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a0）是一个非负数，用详细数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a0）；最终运用结论严谨解题 教学重难点关键 1重点：（a0）是一个非负数；（）2=a（a0）及其运用 2难点、关键：用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a0） 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1什么叫二次根式？ 2当a0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ 教师点评（略） 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） （a0）是一个什么数呢？ 教师点评：依据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 （a0）是一个非负数 做一做：依据算术平方根的意义填空：（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_ 教师点评：是4的算术平方根，依据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4 同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a0） 例1 计算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2 分析：我们可以干脆利用（）2=a（a0）的结论解题解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，（）2=，（）2= 三、稳固练习 计算下列各式的值：（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、应用拓展 例2 计算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2分析：（1）因为x0，所以x+1>0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）20所以上面的4题都可以运用（）2=a（a0）的重要结论解题 解：（1）因为x0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应驾驭： 1（a0）是一个非负数； 2（）2=a（a0）;反之:a=（）2（a0） 六、布置作业 习题16.1第2（1）-（4）、4、7题 16.1 二次根式(3)第三课时 教学内容 a（a0） 教学目的 理解=a（a0）并利用它进展计算和化简 通过详细数据的解答，探究=a（a0），并利用这个结论解决详细问题 教学重难点关键 1重点：a（a0） 2难点：探究结论 3关键：讲清a0时，a才成立 教学过程 一、复习引入 教师口述并板收上两节课的重要内容； 1形如（a0）的式子叫做二次根式； 2（a0）是一个非负数； 3()2a（a0） 那么，我们猜测当a0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题 二、探究新知 （学生活动）填空： =_；=_；=_； =_；=_；=_ （教师点评）：依据算术平方根的意义，我们可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；= 因此，一般地：=a（a0） 例1 化简 （1） （2） （3） （4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a0）去化简解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3 三、稳固练习 教材P4练习2 四、应用拓展 例2 填空：当a0时，=_；当a<0时，=_，并依据这一性质答复下列问题 （1）若=a，则a可以是什么数？ （2）若=-a，则a可以是什么数？ （3）>a，则a可以是什么数？ 分析：=a（a0），要填第一个空格可以依据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a0时，=，那么-a0 （1）依据结论求条件；（2）依据第二个填空的分析，逆向思想；（3）依据（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0 解：（1）因为=a，所以a0； （2）因为=-a，所以a0；（3）因为当a0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2，化简-分析：(略) 五、归纳小结 本节课应驾驭：=a（a0）及其运用，同时理解当a<0时，a的应用拓展 六、布置作业 习题16.1第2（5）-(8）、3、8、9题162 二次根式的乘除第一课时 教学内容 ·（a0，b0），反之=·（a0，b0）及其运用 教学目的 理解·（a0，b0），=·（a0，b0），并利用它们进展计算和化简 由详细数据，发觉规律，导出·（a0，b0）并运用它进展计算；利用逆向思维，得出=·（a0，b0）并运用它进展解题和化简 教学重难点关键 重点：·（a0，b0），=·（a0，b0）及它们的运用 难点：发觉规律，导出·（a0，b0） 关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或=× 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题 1填空 （1）×=_，=_； （2）×=_，=_ （3）×=_，=_ 参考上面的结果，用“>、<或”填空 ×_，×_，×_ 2利用计算器计算填空 （1）×_，（2）×_， （3）×_，（4）×_， （5）×_ 教师点评（订正学生练习中的错误） 二、探究新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律 教师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·（a0，b0） 反过来: =·（a0，b0） 例1计算 （1）× （2）× （3）× （4）× 分析：干脆利用·（a0，b0）计算即可 解：（1）×=（2）×=（3）×=9（4）×= 例2 化简（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=·（a0，b0）干脆化简即可 解：（1）=×=3×4=12 （2）=×=4×9=36 （3）=×=9×10=90 （4）=×=××=3xy （5）=×=3 三、稳固练习 （1）计算（学生练习，教师点评） × 3×2 ·(2) 化简: ; ; ; ; 教材P7练习 四、应用拓展 例3推断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）×=4××=4×=4=8 解：（1）不正确 改正：=×=2×3=6 （2）不正确改正：×=×=4 五、归纳小结 本节课应驾驭：（1）·=（a0，b0），=·（a0，b0）及其运用 六、布置作业 习题16.2第1,39(1)(2),6题。162 二次根式的乘除(2)第二课时 教学内容 =（a0，b>0），反过来=（a0，b>0）及利用它们进展计算和化简 教学目的 理解=（a0，b>0）和=（a0，b>0）及利用它们进展运算 利用详细数据，通过学生练习活动，发觉规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进展计算和化简 教学重难点关键 1重点：理解=（a0，b>0），=（a0，b>0）及利用它们进展计算和化简 2难点关键：发觉规律，归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； （2）=_，=_； （3）=_，=_； （4）=_，=_规律：_；_；_；_ 3利用计算器计算填空: （1）=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_ 规律：_；_；_；_。 每组举荐一名学生上台阐述运算结果 （教师点评） 二、探究新知 刚刚同学们都练习都很好，上台的同学也答复得非常精确，依据大家的练习和答复，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0，b>0），反过来，=（a0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例1计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b>0）便可干脆得出答案解：（1）=2 （2）=×=2（3）=2（4）=2 例2化简： （1） （2） （3） （4） 分析：干脆利用=（a0，b>0）就可以到达化简之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、稳固练习 教材P10 练习1 四、应用拓展 例3已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b>0时才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 6<x9 x为偶数 x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）= 当x=8时，原式的值=6 五、归纳小结 本节课要驾驭=（a0，b>0）和=（a0，b>0）及其运用 六、布置作业 习题16.2第2,3（3）（4),7题。16.2 二次根式的乘除(3)第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进展二次根式的化简运算 教学目的 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并依据它的特点来检验最终结果是否满意最简二次根式的要求 重难点关键 1重点：最简二次根式的运用 2难点关键：会推断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 1计算（1），（2），（3） 教师点评：=，=，= 2如今我们来看本章引言中的问题：假如两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是 二、探究新知 视察上面计算题1的最终结果，可以发觉这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满意上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？假如不是，把它们化成最简二次根式 学生分组讨论，举荐34个人到黑板上板书教师点评：不是=. 例1(1) ; (2) ; (3) 三、稳固练习 教材P10 练习2、3 四、应用拓展例3视察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以到达化简的目的 解：原式=（-1+-+-+-）×（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应驾驭：最简二次根式的概念及其运用 六、布置作业 习题16.2第5,8,9,10题16.3 二次根式的加减(1)第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目的 理解和驾驭二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，浸透对二次根式进展加减的方法的理解再总结阅历，用它来指导根式的计算和化简 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会断定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，事实上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 二、探究新知 学生活动：计算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 教师点评： （1）假如我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2+3=（2+3）=5 （2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把当成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看为x，看为y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被开方数一样是可以合并的，如2及外表上看是不一样的，但它们可以合并吗？可以的 （板书）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数一样的二次根式进展合并 例1计算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将一样的最简二次根式进展合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、稳固练习 教材P13 练习1、2 四、应用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进展变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，依据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最终代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时， 原式=×+6=+3 五、归纳小结 本节课应驾驭：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）一样的最简二次根式进展合并 六、布置作业 习题16.3第1,2,3题。16.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目的 运用二次根式、化简解应用题 通过复习，将二次根式化成被开方数一样的最简二次根式，进展合并后解应用题 重难点关键 讲清如何解容许用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数一样的二次根式进展合并二、探究新知例1如图所示的RtABC中，B=90°，点P从点B开场沿BA边以1厘米/秒的速度向点A挪动；同时，点Q也从点B开场沿BC边以2厘米/秒的速度向点C挪动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，依据三角形面积公式就可以求出x的值 解：设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得：x·2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米 三、稳固练习 教材P13 练习3 四、应用拓展 例3若最简根式及根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数一样的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数一样；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化为最简二次根式： =|b|· 由题意得 a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应驾驭运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 习题16.3第5,7题。 16.3 二次根式的加减(3)第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式及单项式相乘、相除；多项式及单项式相乘、相除；多项式及多项式相乘、相除；乘法公式的应用 教学目的 含有二次根式的式子进展乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算学问并将该学问运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算学问迁移到含二次根式的运算 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 二、探究新知 假如把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 例1计算: （1）（+）× （2）（4-3）÷2 分析：刚刚已经分析，二次根式仍旧满意整式的运算规律，所以干脆可用整式的运算规律 解：（1）（+）×=×+× =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2 =2- 例2计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：刚刚已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍旧成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、稳固练习 课本P14练习1、2 四、应用拓展 例3化简 例4.当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示） 五、归纳小结 本节课应驾驭二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 习题16.3第4,6,8题