2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).docx

2016年全国高中数学联赛（B卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列的各项均为正数，且则的值为 2.设，则平面点集的面积为 3.已知复数满意（表示的共轭复数），则的全部可能值的积为 4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为 7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满意，则异面直线所成角的余弦值为 8.设正整数满意，且这样的的个数为 这里，其中表示不超过的最大整数二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个不同的解，求的值10.（20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；（2）求的最小值11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为求符合以下要求的全部大于的实数：过点随意作两条相互垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立加试一、（40分）非负实数和实数满意：（1）；（2）是奇数求的最小值二、（40分）设是正整数，且是奇数已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满意三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分 四、（50分）设是随意一个11元实数集合令集合求的元素个数的最小值2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列的各项均为正数，且则的值为 答案：6解：由于且故另解：设等比数列的公比为，则又因而，从而2.设，则平面点集的面积为 答案：7解：点集如图中阴影局部所示，其面积为3.已知复数满意（表示的共轭复数），则的全部可能值的积为 答案：3解：设由知，比拟虚、实部得又由知，从而有即，进而于是，满意条件的复数的积为4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 答案：2016.解：由条件知 由图像的对称性，可得结合知， 由、解得从而另解：因为， 所以 因为的图像关于直线对称，所以 又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，从而 将、代入，再移项，得 在式中令，得 由、解得于是 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 解：样本空间中有个元素而满意恰有两个球放在同一盒子的元素个数为过所求的概率为6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为 答案：解：的标准方程分别为由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满意，则异面直线所成角的余弦值为 解：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系不妨设此时高从而由条件知，因此设异面直线所成的角为，则8.设正整数满意，且这样的的个数为 这里，其中表示不超过的最大整数解：由于对随意整数，有等号成立的充分必要条件是，结合知，满意条件的全部正整数为共有个另解：首先留意到，若为正整数，则对随意整数，若，则这是因为，当时，这里是一个整数，故因此，当整数满意时，简单验证，当正整数满意时，只有当时，等式才成立而，故当时，满意正整数的个数为二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程 的两个不同的解，求的值解 对，有即因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而即由等比数列的性质知，10.（20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；（2）求的最小值解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，同理得，故已知条件化为即（2）由余弦定理及根本不等式，得等号成立当且仅当因此的最小值为11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为求符合以下要求的全部大于的实数：过点随意作两条相互垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立解 过点作两条相互垂直的直线与易知，与交于点（留意这里），与交于点由条件知，解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所探讨的的状况，这时有若的斜率都存在，不妨设留意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）联立与的方程知，即这是一个二次方程式，其判别式为故与有两个不同的交点同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，用代替，同理可得于是综上所述，为符合条件的值加试一、（40分）非负实数和实数满意：（1）；（2）是奇数求的最小值解：由已知条件（1）可得：于是（留意） 不妨设则 若，并且令 则于是由条件（2）知，是奇数，所以是奇数，这与冲突因此必有，或者则 于是结合得又当时满意题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为1二、（40分）设是正整数，且是奇数已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满意证明：记，则的不超过的正约数的集合是若结论不成立，我们证明对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知冲突从而结论成立三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分解：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点因此，点在线段上 由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的圆由相交弦定理知 取的中点留意到故有因此关于点对称于是 结合、，有，因此四点共圆 又所以，即平分 四、（50分）设是随意一个11元实数集合令集合求的元素个数的最小值解：先证明考虑到将中的全部元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数下面分类探讨：状况一：中没有负数设是中的全部元素，这里于是 上式从小到大共有个数，它们均是的元素，这说明状况二：中至少有一个负数设是中的全部非负元素，是中的全部负元素不妨设 其中为正整数，而，故于是有 它们是中的个元素，且非正数；又有 它们是中的7个元素，且为正数故由此可知，另一方面，令则 是个17元集合 综上所述，的元素个数的最小值为