概率论与数理统计复习资料要点总结[6].docx

概率论及数理统计复习提要第一章 随机事务及概率1事务的关系 2运算规那么 1 2343概率满意的三条公理及性质：1 23对互不相容的事务，有 可以取4 5 6，假设，那么，784古典概型：根本事务有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：假设，那么（2） 乘法公式：假设为完备事务组，那么有（3） 全概率公式： （4） 公式： 7事务的独立性： 独立 留意独立性的应用第二章随机变量及概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，满意1，2=1 3对随意，2 连续随机变量：具有概率密度函数，满意1；2；3对随意，3 几个常用随机变量名称及记号分布列或密度数学期望方差两点分布，二项式分布，分布几何分布匀整分布，指数分布正态分布4 分布函数 ，具有以下性质 1；2单调非降；3右连续； 4，特殊； 5对离散随机变量，； 6对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，那么有 1；2；3假设，那么； 4以记标准正态分布的上侧分位数，那么6 随机变量的函数 1离散时，求的值，将一样的概率相加； 2连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，那么，假设不单调，先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；(2) 连续时，；(3) 二维时，(4)；5；6；7独立时，2方差1方差，标准差；2；3；4独立时，3协方差1；2；3；4时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；54相关系数 ；有，5 阶原点矩， 阶中心矩第五章 大数定律及中心极限定理1不等式 或2大数定律3中心极限定理 1设随机变量独立同分布，那么， 或 或，2设是次独立重复试验中发生的次数，那么对随意，有或理解为假设，那么第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布留意样本分布的求法；（2） 样本数字特征： 样本均值，； 样本方差样本标准差 样本阶原点矩，样本阶中心矩2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布留意它们的密度函数形态及分位点定义 1分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，假设且独立，那么； 2分布 ，其中且独立； 3分布 ，其中且独立，有下面的性质 4正态总体的抽样分布1； 2；3且及独立； 4；5，6第七章 参数估计1矩估计：1依据参数个数求总体的矩；2令总体的矩等于样本的矩；3解方程求出矩估计2极大似然估计：1写出极大似然函数；2求对数极大似然函数3求导数或偏导数；4令导数或偏导数为0，解出极大似然估计如无解回到1干脆求最大值，一般为或3估计量的评比原那么(1)无偏性：假设，那么为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计正态参数条件估计函数置信区间未知未知复习资料一、 填空题15分题型一：概率分布的考察【相关公式】P379分布参数分布律或概率密度数学期望E方差D01分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布匀整分布 【相关例题】1、 设，那么求a，b的值。2、 ,那么求n，p的值。题型二：正态总体均值及方差的区间估计【相关公式】P163【相关例题】1、 样本容量2、 样本容量未知题型三：方差的性质【相关公式】P103【相关例题】1、题型四：【相关公式】P140、P138【相关例题】1、2、题型五：互不相容问题【相关公式】P4【相关例题】1、二、 选择题15分题型一：方差的性质【相关公式】见上，略【相关例题】见上，略题型二：考察统计量定义不能含有未知量题型三：考察概率密度函数的性质见下，略题型四：和、乘、除以及条件概率密度见下，略题型五：对区间估计的理解P161题型六：正态分布和的分布【相关公式】P105【相关例题】题型七：概率密度函数的应用【相关例题】 设 三、 解答题70分题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】v 全概率公式：v 贝叶斯公式：【相关例题】1、P19 例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂供应的，依据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率供应原件的份额123设这三家工厂的产品在仓库中是匀整混合的，且无区分标记。问：（1） 在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2） 在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂消费的概率分别是多少，试求这些概率。见下2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币次品硬币两面均有国徽，在袋中随意取一枚，将他掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？3、设依据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的状况共有三种：损坏2%这一事务记为A1，损坏10%这一事务记为A2，损坏90%这一事务记为A3，且知PA1=0.8，PA2=0.15，PA3=0.05.如今从已经运输的物品中随机取3件，觉察这三件都是好的这一事务记为B，见下4、 将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出其他字母的概率都是1-/2.今将字母串、之一输入信道，输入、的概率分别为p1、p2、p3p123=1，输出为。问输入的概率是多少？设信道传输各字母的工作是互相独立的。题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、 求概率密度【相关公式】分布函数求概率密度在连续点求导；概率密度f(x)求分布函数抓住公式：，且对于随意实数，有：。【相关例题】1设随机变量X的分布函数为： X= 见下 2，是确定常数A。3 设随机变量X具有概率密度f(x)= ，求X的分布函数。 0,其他解： 0，x<0 2、 正态分布(高斯分布)【相关公式】1公式其中：（2） 假设（3） 相关概率运算公式： 【相关例题】1、 P58 27某地区18岁女青年的血压收缩压：以计听从110,122，在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：12确定最小的2、 由某机器消费的螺栓的长度听从参数的正态分布，规定长度在范围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。见下题型三：二维随机变量的题型【相关公式】【相关例题】1、 P84 3设随机变量的概率密度为： yx04424 见下2、 P86 18设X和Y是两个互相独立的随机变量，X在区间0,1上听从匀整分布，Y的概率密度为： 1,0<x<1 0,其他3、 P87 25设随机变量X，Y互相独立，且具有一样的分布，它们的概率密度均为 0，其他求的概率密度。4、 P87 26设随机变量互相独立，它们的概率密度为 0，其他求的概率密度。 题型四：最大似然估计的求解【相关公式】【相关例题】1、 设概率密度为： 2、 P174 8 的总体的样本，未知，求的最大似然估计。题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】【相关例题】1、 P218 3某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定%设测定值总体听从正态分布，但参数均未知，问在=0.01下能否承受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25.，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著程度=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？模拟试题一一、 填空题每空3分，共45分1、P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P() = 0.85, 那么P() = P( AB) = 2、设事务A及B独立，A及B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率及B发生且A不发生的概率相等，那么A发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、随机变量X的密度函数为：, 那么常数 , 分布函数F(x)= , 概率 ；5、设随机变量 B(2，p)、 B(1，p)，假设，那么p = ，假设X及Y独立，那么()的分布律： ；6、设且X及Y互相独立，那么D(23Y)= , (23Y, X)= ；7、设是总体的简洁随机样本，那么当 时， ；8、设总体为未知参数，为其样本，为样本均值，那么的矩估计量为： 。9、设样原来自正态总体，计算得样本视察值，求参数a的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题35分1、 (12分)设连续型随机变量X的密度函数为： 求：1；2的密度函数；3；2、(12分)设随机变量()的密度函数为1） 求边缘密度函数；2） 问X及Y是否独立？是否相关？3） 计算Z = X + Y的密度函数； 3、11分设总体X的概率密度函数为： X12,是取自总体X的简洁随机样本。1） 求参数的极大似然估计量；2） 验证估计量是否是参数的无偏估计量。三、 应用题20分1、10分设某人从外地赶来参与紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。假设他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？，假定有害物质含量X听从正态分布。如今取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()？附表：模拟试题二一、填空题(45分，每空3分) 1设 那么 2设三事务互相独立，且，假设，那么 。 3设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，假设用表示取出的3件产品中的次品件数，那么的分布律为 。4设连续型随机变量的分布函数为 那么 ，的密度函数 。 5设随机变量，那么随机变量的密度函数 6设的分布律分别为 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且，那么的结合分布律为 。和 7设，那么 ， 。8设是总体的样本，那么当 ， 时，统计量听从自由度为2的分布。 9设是总体的样本，那么当常数 时，是参数的无偏估计量。 10设由来自总体容量为9的样本，得样本均值=5，那么参数 。二、计算题(27分) 1(15分)设二维随机变量的结合密度函数为（1） 求的边缘密度函数；（2） 推断是否独立？为什么？（3） 求的密度函数。 2(12分)设总体的密度函数为其中是未知参数，为总体的样本，求1参数的矩估计量； 2的极大似然估计量。三、应用题及证明题(28分) 1(12分)甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，1求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；2从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。 2(8分)设某一次考试考生的成果听从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成果，算得平均成果分，标准差分，问在显著性程度下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成果为70分，并给出检验过程。3(8分)设，证明：互相独立。附表： 模拟试题三一、填空题每题3分，共42分 1设 假设互斥，那么 ；独立，那么 ；假设，那么 。 2在电路中电压超过额定值的概率为，在电压超过额定值的状况下，仪器烧坏的概率为，那么由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ； 3设随机变量的密度为，那么使成立的常数 ； ； 4假设的结合分布律为 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 那么应满意的条件是 ，假设独立， ， ， 。5设，且 那么 ， 。6设，那么听从的分布为 。7测量铝的比重16次，得， 设测量结果听从正态分布，参数未知，那么铝的比重的置信度为95%的置信区间为 。二、12分设连续型随机变量X的密度为： 1求常数； 2求分布函数； 3求的密度 三、15分设二维连续型随机变量的结合密度为1求常数； 2求的边缘密度；3问是否独立？为什么？4求的密度； 5求。 四、11分设总体X的密度为其中是未知参数，是来自总体X的一个样本，求（1） 参数的矩估计量；2 参数的极大似然估计量； 五、10分某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在确定时间内须要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床须要修理时，求这台机床是车床的概率。 六、10分测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体听从正态分布，得到的10个测定值给出，试问可否认为水份含量的方差？ 附表：模拟试题四一、填空题每题3分，共42分 1、 设、为随机事务，那么及中至少有一个不发生的概率为 ；当独立时，那么 2、 椐以往资料说明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：=0.6，=0.5，=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为 。3、设离散型随机变量的分布律为：，那么 。4、假设连续型随机变量的分布函数为那么常数 ， ，密度函数 5、连续型随机变量的密度函数为，那么 ， 。 。6、设， ，且及独立， 那么)= 。7、设随机变量互相独立，同听从参数为分布的指数分布，令的相关系数。那么 , 。注：二、计算题34分1、 18分设连续型随机变量的密度函数为 1求边缘密度函数； 2推断及的独立性； 3计算； 3求的密度函数 2、16分设随机变量及互相独立，且同分布于。令。1求的分布律； 2求的结合分布律；3问取何值时及独立？为什么？ 三、应用题24分1、 12分假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。假设一周5个工作日内无故障那么可获10万元；假设仅有1天故障那么仍可获利5万元；假设仅有两天发生故障可获利0万元；假设有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。 2、 12分将、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母，之一输入信道，输入，的概率分别为0.5，0.4，0.1。输出为，问输入的是的概率是多少？设信道传输每个字母的工作是互相独立的。答 案模拟试题一四、 填空题每空3分，共45分1、0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ； 3、，；4、 1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3 ， ()的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(23Y)= 43.92 , (23Y, X)= 3.96 ； 7、当 时，； 8、的矩估计量为：。9、 9.216，10.784 ； 五、 计算题35分1、解 1 2 32、解：1 2明显，所以X及Y不独立。 又因为0，0，所以，()=0，因此X及Y不相关。33、解1 令 解出： 2 的无偏估计量。 六、 应用题20分1解：设事务A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事务B表示“迟到，概率分别等于1/4，1/3，1/2，0 那么 ，由概率推断他乘火车的可能性最大。2 解：， 回绝域为： 计算， 所以，回绝，说明有害物质含量超过了规定。 答 案模拟试题二一、填空题(45分，每空3分)1 23 0 1 2 6/11 9/22 1/224， 56 0 1 -1011/4 00 1/21/4 078；9； 10. 二、计算题(27分)112不独立 3 21计算 依据矩估计思想， 解出：； 2似然函数 明显，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为，所以，即 所以，当时，使得似然函数达最大。极大似然估计为。三、1解：1设表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品，0,1,2,3 设表示“第二次从乙箱任取一件为次品的事务； 2 2 解： ， 回绝域为： 依据条件，计算并比较 所以，承受，可以认为平均成果为70分。 3(8分)证明：因为 互相独立 答 案模拟试题三一、填空题每题3分，共42分 1 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2 ； 3； 15/16； 4 ， 2/9 ， 1/9 ， 17/3 。5 6 ， 0.4 。 6。 7 (2.6895, 2.7205) 。二、解：1 23Y的分布函数 三、解：1， 23不独立； 45 四、解：1 令，即 解得。 2，解得 五、解：设=某机床为车床，；=某机床为钻床，； =某机床为磨床，；=某机床为刨床，； =须要修理， 那么 。六、解：回绝域为： 计算得，查表得样本值落入回绝域内，因此回绝。附表： 答 案模拟试题四一、填空题每题3分，共42分 1、 ； 0.8421 。 2、 。 3、， 。 4、， 。5、3， 5 ， 0.6286 。 6、 。7、, 3/5 。 二、1、解 18分1 2不独立3 2、解 1求的分布律； 2的结合分布律： 0 1 0 1 3当 时，X及Z独立。三、应用题24分1、解：设表示一周5个工作日机器发生故障的天数，那么，分布律为： 设万元表示一周5个工作日的利润，依据题意，的分布律 那么万元。 2、解：设分别表示输入，的事务，表示输出为的随机事务。由贝叶斯公式得： 07试题一、填空题本大题共6小题，每题3分，总计18分1. 设为随机事务,那么 210件产品中有4件次品,从中随意取2件,那么第2件为次品的概率为 3设随机变量在区间上听从匀整分布,那么的概率密度函数为 4设随机变量的期望,方差,那么期望 5. 设随机变量听从参数为2的泊松分布,那么应用切比雪夫不等式估计得 .6. 设是来自正态总体的样本,那么当 时, .二、选择题在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每题3分，总计18分 1设为对立事务, , 那么以下概率值为1的是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设随机变量,概率密度为,分布函数,那么以下正确的选项是( )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 3. 设是随机变量的概率密度,那么确定成立的是( )(A) 定义域为; (B) 非负; (C) 的值域为; (D) 连续 4. 设,那么( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设随机变量的方差,相关系数,那么方差 ( )(A) 40; (B) 6. 设是正态总体的样本,其中,未知,那么以下不是统计量的是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题本大题共6小题，每题10分，共计60分1甲乙丙三个同学同时独立参与考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,(1) 求恰有2位同学不及格的概率；(2) 假设3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 2连续型随机变量的分布函数为,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 3设随机变量及互相独立,概率密度分别为:,求随机变量的概率密度4设二维随机变量的密度函数： 1求常数的值；2求边缘概率密度；3和是否独立5 . 设二维随机变量的概率密度函数：求1数学期望及；2及的协方差6 . 设总体概率密度为，未知，为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量.四、证明题本大题共1小题，每题4分，共4分1. 设随意三个事务,试证明:06试题一、填空题本大题共5小题，每题4分，总计20分1. 设为随机事务,那么 2设10把钥匙中有2把能翻开门, 现随意取两把, 能翻开门的概率是 3设, 且及互相独立, 那么 4设随机变量上听从匀整分布,那么关于未知量的方程有实根的概率为5. 设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得 .二、选择题在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每题4分，总计20分 1设事务互相独立,且,，那么有 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设,那么概率 (A) 随增加而变大; (B) 随增加而减小； (C) 随增加而不变; (D) 随增加而减小 3. 设,那么 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4设互相独立，听从上的匀整分布，的概率密度函数为，那么(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设总体,是取自总体的一个样本, 为样本均值，那么不是总体期望的无偏估计量的是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题本大题共5小题，每题10分，共计50分1某产品整箱出售，每一箱中20件产品，假设各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80，10，10，如今从中任取一箱，顾客随意抽查4件，假设无次品，那么买下该箱产品，假设有次品，那么退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，的确无次品的概率.2随机变量的密度为,且,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的分布函数3设二维随机变量有密度函数： 1求边缘概率密度；2求条件密度；3求概率.4 . 设随机变量独立同分布，都听从参数为的泊松分布，设, 求随机变量及的相关系数5 . 设总体为二项分布，未知，为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量。四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分1. 设事务互相独立,证明事务及事务也互相独立2. 设总体为, 期望,方差,是取自总体的一个样本, 样本均值,样本方差,证明:是参数的无偏估计量06答案一、填空题本大题共5小题，每题4分，总计20分1. 2/3 217/45 335 45/6 5. 4/5二、选择题在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每题4分，总计20分 1. (B) 2(D) 3(C) 4(D) 5. (D)三、计算题本大题共5小题，每题10分，共计50分1解:设表示“顾客买下该箱产品 ，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件 那么80，1010，1，(3分)由全概率公式得：448/475，(7分)由贝叶斯公式得：95/112 (10分)2解: (1) 由, 解得 (4分) (2) ,当时, ，当时, , 当时, ， 所以 (10分)3解: 1 (4分)(2) 当时, =当时, (8分)(3) (10分)4 .解: , (8分)=3/5 (10分)5 .解：由，得的矩估计量 (4分)似然函数为，由，得极大似然估计量 (10分) 四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分1. 证明：由于事务互相独立，所以，(2分)所以即,所以事务及也互相独立 (5分)2. 证明：，是取自总体的一个样本，所以，所以 ，即是参数的无偏估计量(5分)07答案一、填空题本大题共6小题，每题3分，总计18分1. 0.1 20.4 3. 4 54 5. 1/2 6. 1/20二、选择题在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每题3分，总计18分 1. (C) 2(B) 3(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C)三、计算题本大题共6小题，每题10分，共计60分1解:设分别表示 “甲,乙,丙同学不及格 , 那么，由题意互相独立 (2分)(1) 事务“恰有2位同学不及格 为: ，所以=0.188 (6分)(2) =33/47 (10分)2解: (1) 由右连续性得，即, 又由得， 解得 (5分) (2) ,