人教版八年级数学上第十三章《-轴对称》全章教案.docx

13.1 轴对称（1）教学目的：1理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区分与联络 2探究成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由详细到抽象相识问题的过程，感悟类比方法在探讨数学问题中的作用 3理解线段垂直平分线的概念 教学重、难点：轴对称的概念和性质教学过程：一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标记，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、课本精讲：问题1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再翻开这张对折的纸，就得到了漂亮的窗花视察得到的窗花，你能发觉它们有什么共同的特点吗？ 假如一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部可以相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称老师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 问题2视察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合 把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 老师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 老师：你能结合详细的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区分与联络吗？两者的联络：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称两者的区分：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后可以重合问题3如图，ABC 和ABC关于直线MN 对称，点A,B,C分别是点A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN 有什么关系？老师：你能说明其中的道理吗？上面的问题说明“假如ABC 和ABC关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直线段AA，BB和CC，并且直线MN 还平分线段AA，BB和CC”假如将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”其他条件不变，上述结论还成立吗？ 问题3如图，ABC 和ABC关于直线MN 对称，点A,B,C分别是点A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN 有什么关系？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 老师：你能用数学语言概括前面的结论吗？ 成轴对称的两个图形的性质：假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段问题4下图是一个轴对称图形，你能发觉什么结论？能说明理由吗？ 结论：直线l 垂直线段AA，BB，直线l平分线段AA，BB（或直线l 是线段AA，BB的垂直平分线） 老师：你能用数学语言概括前面的结论吗？ 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 三、稳固进步：教科书60页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区分与联络是什么？ （3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？ 五、课后作业：教科书习题13.1第1、2、3、4、5题课后反思：13.1 轴对称（2）教学目的：1理解线段垂直平分线的性质和断定2能运用线段垂直平分线的性质和断定解决实际问题3会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，理解作图的道理教学重、难点：线段垂直平分线的性质教学过程：一、问题导入：探究并证明线段垂直平分线的性质如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请猜测点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的间隔 之间的数量关系老师：你能用不同的方法验证这一结论吗？二、课本精讲：请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的间隔 相等吗？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的间隔 相等证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的间隔 相等”已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB用符号语言表示为： CA =CB，lAB， PA =PB线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的间隔 相等老师：反过来，假如PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？点P 在线段AB 的垂直平分线上 已知：如图，PA =PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上用数学符号表示为：PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上与一条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上老师：你能再找一些到线段AB 两端点的间隔 相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点间隔 相等的点？这些点能组成什么几何图形？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的间隔 都相等；反过来，与A，B 的间隔 相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的间隔 相等的全部点的集合老师：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？三、稳固进步：教科书62页练习1、2.四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和断定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何推断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 五、课后作业：教科书习题13.1第6、9题课后反思：13.1 轴对称（3）教学目的：1能用尺规作线段的垂直平分线2进一步理解作图的一般步骤和作图语言，理解作图的根据3运用尺规作图的方法解决简洁的作图问题教学重点：作线段的垂直平分线教学难点：作线段的垂直平分线教学过程：一、问题导入：有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能精确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 二、课本精讲：作线段的垂直平分线我们已能用尺规完成：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线老师：那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？例1如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 老师：怎样作线段AB 的垂直平分线呢？作法：如图（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CDCD 就是所求作的直线 老师：这种作法的根据是什么？老师：这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点 老师：假如两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？假如两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到随意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴如图中的五角星，请作出它的一条对称轴. 你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？三、稳固进步：教科书64页练习1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）作线段的垂直平分线的根据是什么？举例说明 这种作法有哪些运用？（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？五、课后作业：教科书习题13.1第10、12题课后反思：13.2 画轴对称图形（1）教学目的：1理解图形轴对称变换的性质2能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形教学重点：画轴对称图形教学难点：画轴对称图形教学过程：一、问题导入：在一张半透亮纸张的左边局部，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？二、课本精讲：请动手在一张纸上画一个你喜爱的图形，将这张纸折叠，描图，再翻开纸，看看你得到了什么？由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形 一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之 间有什么关系？ 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形态、大小完全一样；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；连接随意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 老师：假如有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关 于这条直线对称的图形呢？ 例1 如图，已知ABC 和直线l，画出与ABC关于直线l 对称的图形画法：（1）如图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，点A就是点A 关于直线l 的对称点；（2）同理，分别画点B，C 关于直线l 的对称点B，C；（3）连接AB，BC，CA，得到的ABC即为所求老师：如何验证画出的图形与ABC 关于直线l 对称？已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法几何图形都可以看作由点组成对于某些图形，只要画出图形中的一些特别点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形三、稳固进步：教科书68页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？（3）画轴对称图形的一般方法是什么？根据是什么？五、课后作业：教科书习题13.2第1题 课后反思：13.2 画轴对称图形（2）教学目的：1理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的改变规律2驾驭在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法教学重、难点：在平面直角坐标系中关于x 轴或y 轴对称的点的改变规律和作出与一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形教学过程：一、问题导入：如图，假如以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？二、课本精讲：探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标改变规律对于平面直角坐标系中随意一点，你能找出其关于x 轴或y 轴对称的点的坐标吗？它们之间有什么规律？ 在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中老师：视察下图中关于x 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的改变规律？关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数老师：视察关于y 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的改变规律？ 关于y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等老师：请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发觉的规律 点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（_，_）； 点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（_，_）例 如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形老师：归纳画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤. 先求出已知图形中一些特别点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形步骤简述为：（1）求特别点的坐标；（2）描点；（3）连线三、稳固进步：教科书70页练习1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴的对称点的坐标有什么改变规律，如何推断两个点是否关于x 轴或y 轴对称？（3）说一说画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤五、课后作业：教科书习题13.2第2、4、5题 课后反思：13.3 等腰三角形（1）教学目的：1探究并证明等腰三角形的两特性质 2能利用性质证明两个角相等或两条线段相等3结合等腰三角形性质的探究与证明过程，体会轴对称在探讨几何问题中的作用 教学重、难点：探究并证明等腰三角形性质教学过程：一、问题导入：如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影局部，再把它绽开，得到的ABC 有什么特点？老师：细致视察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发觉这个等腰三角形有什么特征吗？ 老师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形态各异，是否都具有上述所概括的特征？二、课本精讲：老师：在练习本上随意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍旧成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合老师：利用试验操作的方法，我们发觉并概括出等腰三角形的性质1和性质2对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？已知：如图，ABC 中，AB =AC求证：B = C你还有其他方法证明性质1吗？可以作底边的高线或顶角的角平分线. 老师：性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”老师：在等腰三角形性质的探究过程和证明过程中，“折痕”“协助线”发挥了特别重要的作用，由此，你能发觉等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴三、稳固进步：教科书77页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？五、课后作业：教科书习题13.3第1、2、4、6题课后反思：13.3 等腰三角形（2）教学目的：1探究等腰三角形断定定理2理解等腰三角形的断定定理，并会运用其进展简洁的证明3理解等腰三角形的尺规作图.教学重、难点：理解和运用等腰三角形的断定定理教学过程：一、问题导入：问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等结论：这两条边所对的角相等二、课本精讲：思索性质定理证明方法是什么？ 作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等 问题一个三角形满意什么条件是等腰三角形？ 思索1假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？这两个角所对的边相等思索2这个命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等 结论：这两个角所对的边相等 问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？ 已知：如图，在ABC 中，B =C. 求证：AB =AC老师：你还有其他证明方法吗？ 思索能作底边BC 上的中线吗？ 等腰三角形的断定方法： 假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）符号语言：在ABC 中，B =C，AB =AC思索与等腰三角形性质进展比拟看有什么区分？例1求证：假如三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：CAE 是ABC 的外角，1 =2，ADBC求证：AB =AC.例2已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段AB =a；（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC =h； （4）连接AC，BC，则ABC 就是所求作的等腰三角形.三、稳固进步：教科书79页练习1、2、3、4四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的断定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和断定的区分和联络五、课后作业：教科书习题13.3第2、5题 课后反思：13.3 等腰三角形（3）教学目的：1探究等边三角形的性质和断定2能运用等边三角形的性质和断定进展计算和证明教学重、难点：探究等边三角形的性质与断定教学过程：一、问题导入：问题满意什么条件的三角形是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形二、课本精讲：请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区分和联络？联络：等边三角形是特别的等腰三角形；区分：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.问题等腰三角形有哪些特别的性质呢？ 从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一思索将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？ 图形边角轴对称图形等腰三角形两边相等（定义）两底角相等（等边对等角）是（三线合一）一条对称轴等边三角形三边相等（定义）对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进展证明.已知：ABC 是等边三角形 求证：A =B =C =60°证明：ABC 是等边三角形， BC =AC，BC =AB A =B，A =C A =B =C A +B +C =180°， A =60° A =B =C =60°等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：ABC 是等边三角形，A =B =C =60°思索利用所学学问推断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.问题等边三角形除了用定义（即用边）来断定以外，能否利用角来断定呢？思索1一个三角形的三个内角满意什么条件是等边三角形？思索2一个等腰三角形满意什么条件是等边三角形？三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形请你将得到的这两个命题进展证明.等边三角形的断定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形 符号语言：在ABC 中， A=B =C ， ABC 是等边三角形等边三角形的断定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 符号语言：在ABC 中，BC =AC，A =60°，ABC 是等边三角形断定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条断定定理 等边三角形的断定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的断定定理2：有一个角为60°的等腰三角形 例1如图，ABC 是等边三角形，DEBC, 分别交AB，AC 于点D，E求证：ADE 是等边三角形. 三、稳固进步：教科书80页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了等边三角形的性质和断定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特别的性质？ 共有几种断定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈探讨三角形的方法五、课后作业：教科书习题13.3第12、14题 课后反思：13.3 等腰三角形（4）教学目的：1探究含30°角的直角三角形的性质2理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进展有关的证明和计算教学重、难点：探究并理解含30°角的直角三角形的性质.教学过程：一、问题导入：问题已知ABC 中，A =60°,（         ）.请你在括号内补充一个条件，使ABC 能成为等边三角 形.二、课本精讲：思索1等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特别图形？思索2这个特别的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特别性质？活动用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由 问题你能借助这个图形，找到含30°角的直角ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？猜测在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.问题请说一说你猜测的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.思索这个命题是真命题吗？请进展证明已知：如图，在RtABC 中，C =90°，A =30°. 求证：BC = AB 在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.符号语言：在RtABC 中，C =90°，A =30°，BC = AB例如图是屋架设计图的一局部，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，A =30°，立柱BC、DE 要多长？三、稳固进步：教科书81页练习四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决 哪些问题？须要留意哪些问题？五、课后作业：教科书习题13.3第15题课后反思：