导数计算教新课教案.docx
导数的计算一、考点热点回忆教学目的：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、的导数公式； 2驾驭并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数、的导数公式； 教学难点：四种常见函数、的导数公式几个常见函数的导数探究1函数的导数 依据导数定义，因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体的瞬时速度始终为0，即物体始终处于静止状态探究2函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做瞬时速度为1的匀速运动探究3函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的改变，切线的斜率也在改变另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时改变率来看，说明：当时，随着的增加，函数削减得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快若表示路程关于时间的函数，则可以说明为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为探究4函数的导数因为所以函数导数探究5函数的导数因为所以函数导数（2）推广：若，则函数导数函数导数二、典型例题1下列各式正确的是()A. (sin )cos (为常数)B. (cos x)sin xC. (sin x)cos xD. (x5)x6【答案】C【解析】由导数运算法则易得，留意A选项中的为常数，所以(sin )0. 选C2下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则与导数计算公式可得：本题选择C选项.3已知，则等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有：本题选择D选项.4函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。5已知函数，则这两个函数的导函数分别为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数，则这两个函数的导函数分别为 .本题选择C选项.6已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3，则切线有()A1条B2条C3条 D不确定解析：选Bf(x)3x23，解得x±1.切点有两个，即可得切线有2条7曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.解析：选A由条件得yex，依据导数的几何意义，可得ky|x0e01.8已知f(x)3x，则f(2)()A10 B5xC5 D10解析：选Df(x)5x，f(2)5×2×10，故选D.9已知f(x)x，若f(1)2，则的值等于()A2 B2C3 D3解析：选A 若2，则f(x)x2，f(x)2x，f(1)2×(1)2合适条件故应选A.10. 曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1 BC. D.解析：选Cyx2，y|x11，切线的倾斜角满意tan 1，0<，.11求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y4x；(3)ylog3x；(4)ysin；(5)ye2.解：(1)y(x8)8x818x7.(2)y(4x)4xln 4.(3)y(log3x).(4)y(cos x)sin x.(5)y(e2)0.三、课堂练习1曲线yln x在点M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析：y(ln x)，y|xe.切线方程为y1(xe)，即xey0.答案：xey02已知f(x)a2(a为常数)，g(x)ln x，若2xf(x)1g(x)1，则x_.解析：因为f(x)0，g(x)，所以2xf(x)1g(x)2x1.解得x1或x，因为x0，所以x1.答案：13设坐标平面上的抛物线C：yx2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为_解析：明显点(a，a2)为抛物线C：yx2上的点，y2x，直线l的方程为ya22a(xa)令x0，得ya2，直线l与y轴的交点的坐标为(0，a2)答案：(0，a2)4已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线yx2的切线方程(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解：(1)因为y2x，P(1,1)，Q(2,4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1y|x12，过Q点的切线的斜率k2y|x24，过P点的切线方程：y12(x1)，即2xy10.过Q点的切线方程：y44(x2)，即4xy40.(2)因为y2x，直线PQ的斜率k1，切线的斜率ky|xx02x01，所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为：yx，即4x4y10.5质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A.B.C. D.解析：选Bst.当t4时，s· .6直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选Cyln x的导数y，令，得x2，切点为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.7在曲线f(x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选D因为f(x)，所以f(x)，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为1，即f(x)1，所以x±1，则当x1时，f(1)1；当x1时，f(1)1，则点坐标为(1,1)或(1，1)8设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2··xn的值为()A. B.C. D1解析：选B对yxn1(nN*)求导得y(n1)xn. 令x1，得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1·x2··xn×××××， 故选B.9与直线2xy40平行且与曲线yln x相切的直线方程是_解析：直线2xy40的斜率为k2，又y(ln x)，2，解得x.切点的坐标为.故切线方程为yln 22.即2xy1ln 20.答案：2xy1ln 2010若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_解析：y，切线方程为y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由题意知··a2，a4.答案：411已知曲线方程为yf(x)x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点P的坐标为(x0，x)yx2，y2x，kf(x0)2x0，切线方程为yx2x0(xx0)将点B(3,5)代入上式，得5x2x0(3x0)，即x6x050，(x01)(x05)0，x01或x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)，即2xy10或10xy250.12求证：双曲线xya2上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设P(x0，y0)为双曲线xya2上任一点y.过点P的切线方程为yy0(xx0)令x0，得y；令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S··|2x0|2a2.即双曲线xya2上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.导数的运算法则导数运算法则123（一）导数的加减法运算法则：1 2 3、导数的加法与减法法则1导数的加法与减法法则的推导令，所以（）即 说明：对推导方法有爱好的同学来说，理解足够了，不要求驾驭。2导数的加法与减法法则两个函数的与（差）的导数，等于这两个函数的导数的与（差），即，与（差）函数求导法则由两个可以推广到个。（二）导数的乘除法运算法则1 ；2 ；3 ； 1导数的乘法、除法法则的推导：令，即同理可得：说明：对推导方法有爱好的同学来说，理解足够了，不要求驾驭。2导数的乘法、除法法则：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数的与，即。若为常数，则。由以上两个法则可知：，为常数。两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即二、典型例题1设则等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，得.故选D.2函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。3若，则 _【答案】【解析】结合函数的解析式与导函数的运算法则有： .4解下列导数问题：（）已知，求（）已知，求【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）依据题干对函数求导将1代入导函数即可；（2）依据三角函数求导公式与分式型的求导公式计算即可.解析：（）因为，所以 ，所以 （） ，依据导函数的计算公式可得 5求下列函数的导数（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）因为，所以考点：求函数的导数6求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：干脆利用导数的乘除法则及根本初等函数的求导公式求解.试题解析：（1）（2）.三、 课后练习1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1B.C1 D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4解析：选Dy(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)·(x1)(x1)23x22x1，y|x14.3曲线f(x)xln x在点x1处的切线方程为()Ay2x2 By2x2Cyx1 Dyx1解析：选Cf(x)ln x1，f(1)1，又f(1)0，在点x1处曲线f(x)的切线方程为yx1.4. 已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds2t，s|t24.5设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.6曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，y|x13×1212.切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy107已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_.解析：由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01.答案：18已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fsin xcos x，ff×，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：19求下列函数的导数：(2)y；(3)y；解：(2)y .(3)y.10偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的图象过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点为(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函数f(x)的解析式为f(x)x4x21.1若函数f(x)ax4bx2c满意f(1)2，则f(1)等于()A1B2C2 D0解析：选Bf(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.2曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：选C函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率kf(1)2，故选C.3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满意f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae1 B1Ce1 De解析：选Cf(x)2xf(e)ln x，f(x)2f(e)，f(e)2f(e)，解得f(e)，故选C.4若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选Cf(x)x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x0或x2，又因为f(x)的定义域为(0，)，所以x2.5已知直线y2x1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：yln(xa)，y，设切点为(x0，y0)，则y02x01，y0ln(x0a)，且2，解之得aln 2.答案：ln 26曲线y在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近间隔 是_解析：y，则y1，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2,0)到直线的间隔 d2，圆的半径r1，所求最近间隔 为21.答案：217已知曲线f(x)x3axb在点P(2，6)处的切线方程是13xy320.(1)求a，b的值；(2)假如曲线yf(x)的某一切线与直线l：yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)f(x)x3axb的导数f(x)3x2a，由题意可得f(2)12a13，f(2)82ab6，解得a1，b16.(2)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x0±1.由f(x)x3x16，可得y0111614，或y0111618.则切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.8设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0an.解：(1)由题设fn(x)12xnxn1.所以fn(2)12×2(n1)2n2n·2n1，则2fn(2)22×22(n1)2n1n·2n，得，fn(2)12222n1n·2nn·2n(1n)·2n1，所以fn(2)(n1)·2n1.(2)因为f(0)10，fn112×n12×20，因为x0，n2.所以fn(x)xx2xn1为增函数，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an.所以0ana×n1.
