2016年北京高考数学文科试题及答案.docx

绝密启封并运用完毕前2016年一般高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。第一局部（选择题 共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，或，则（ ） A. B.或 C. D.或2.复数（ ） A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ） A. 8 B. 9 C. 27 D. 36 4.下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ） A. B. C. D.5.圆的圆心到直线的间隔 为（ ） A.1 B.2 C. D.26.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D.7.已知，若点在线段上，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b658.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成果，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛第二局部（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.已知向量 ，则a与b夹角的大小为_.10.函数的最大值为_.11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.12.已知双曲线 （，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_；_.13.在ABC中， ，则=_.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店:第一天售出但第二天未售出的商品有_种；这三天售出的商品最少有_种.三、解答题（共6题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题13分）已知是等差数列，是等差数列，且，. （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16.（本小题13分）已知函数的最小正周期为. （1）求的值；（2）求的单调递增区间.17.（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的局部按4元/立方米收费，超出w立方米的局部按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）假如w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.18.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面说明理由.19. （本小题14分）已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点. （I）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.20.（本小题13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.绝密考试完毕前 2016年一般高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案1,【答案】C考点： 集合交集【名师点睛】1首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，三者是不同的 2集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特殊是互异性，在推断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因无视互异性，疏于检验而出错 3数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图施行，对连续的数集间的运算，常利用数轴进展，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的表达和运用 4空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的状况下，要考虑集合为空集的可能另外，不行无视空集是任何元素的子集2.【答案】A【解析】试题分析：，故选A.考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进展复数运算的理论根据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化3.【答案】B考点： 程序框图【名师点睛】解决循环构造框图问题，要先找出限制循环的变量的初值、步长、终值(或限制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比拟少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特殊留意最终输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.4.【答案】D【解析】试题分析：由在上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性【名师点睛】函数单调性的推断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有一样的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.5.【答案】C考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的间隔 公式记忆简洁，对于知求，很便利.6.【答案】B【解析】试题分析：所求概率为，故选B.考点：古典概型【名师点睛】假如根本领件的个数比拟少，可用列举法把古典概型试验所含的根本领件一一列举出来，然后再求出事务A中的根本领件数，利用公式求出事务A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必需根据某一依次做到不重不漏.假如根本领件个数比拟多，列举有肯定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合学问干脆计算m，n，再运用公式求概率.7.【答案】C考点： 函数最值【名师点睛】求函数值域的常用方法：单调性法，如(5)；配方法，如(2)；分别常数法，如(1)；数形结合法；换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；判别式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对详细题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域求函数的值域是个较困难的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简洁且常用的方法，应重点驾驭8.【答案】B【解析】试题分析：将确定成果的30秒跳绳成果的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳竞赛的前8名，此时确定的30秒跳绳竞赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成果仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B.考点：统计【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是实力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可能性，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏，另外留意条件中数据的特征.9.【答案】考点：平面对量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进展运算.当然，无论怎样改变，其本质都是对数量积定义的考察.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应娴熟驾驭其解法.10.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.考点：函数最值,数形结合【名师点睛】求函数值域的常用方法：单调性法，如(5)；配方法，如(2)；分别常数法，如(1)；数形结合法；换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；判别式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对详细题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域求函数的值域是个较困难的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简洁且常用的方法，应重点驾驭11.【答案】考点：三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图推断几何体的构造特征.常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.12.【答案】.【解析】试题分析：依题意有,结合,解得.考点：双曲线的根本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考察的重点内容.对渐近线：(1)驾驭方程；(2)驾驭其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，时为椭圆，当时为双曲线.13.【答案】1考点：解三角形【名师点睛】根据所给等式的构造特点利用余弦定理将角化边进展变形是快速解答本题的关键娴熟运用余弦定理及其推论，同时还要留意整体思想、方程思想在解题过程中的运用14.【答案】16；29 【解析】试题分析：由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为16同第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形故答案为29考点： 统计分析【名师点睛】本题将统计与实际状况结合，创新味十足，是实力立意的好题，关键在于分析商品出售的全部可能的状况，分类探讨做到不重复不遗漏，另外，留意数形结合思想的运用.15.【答案】（1）（，）；（2）（II）由（I）知，因此从而数列的前项和考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考察运算实力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的探讨，而数列的前n项和Sn可视为数列Sn的通项.通项及求和是数列中最根本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或根本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类探讨思想(如：等比数列求和，或)等.16.【答案】（）（）（）考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间确实定，一般先将函数式化为根本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比拟两个同名三角函数值的大小，必需先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比拟，与1比拟等)求解17.【答案】（）3；（）10.5元.（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.【名师点睛】1.用样本估计总体是统计的根本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比拟精确，直方图比拟直观.2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，全部小长方形的面积的和等于1.18.【答案】（）见解析；（）见解析；（III）存在.理由见解析.（III）棱上存在点，使得平面证明如下：取中点，连结，又因为为的中点，所以又因为平面，所以平面考点：空间垂直断定与性质；空间想象实力，推理论证实力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的协助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的学问证明垂直关系)，构造(找寻)二面角的平面角或得到点到面的间隔 等.19.【答案】（）；（）见解析.所以离心率从而四边形的面积为定值考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解实力.【名师点睛】解确定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)干脆计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应留意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.20.【答案】（）;（）;（III）见解析.（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的状况如下：所以，当且时，存在，使得考点：利用导数探讨曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明2求参数范围问题的常用方法：(1)分别变量；(2)运用最值3方程根的问题：可化为探讨相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的探讨4高考中一些不等式的证明须要通过构造函数，转化为利用导数探讨函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的构造特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键