初三数学竞赛试卷.docx
学校 坐位号 姓名 初三数学竞赛试卷题 号一 二三总 分1891415161718得 分一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分. 以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分) 1假如，那么代数式m是 （ ） （A） （B） （C） （D） 2在平面直角坐标系中，点A（，）在第四象限，那么点B（，）在 （ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，点A表示数x，则x2的平方根是 （ ）O-11A2（A） （B） （C） （D）24假如，那么等于 ( ) （A）4 （B）3 （C）2 （D）1初中数学竞赛试卷 第1页(共6页)5考虑下列4个命题： 有一个角是100°的两个等腰三角形相像； 斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等； 对角线相互垂直且相等的四边形是正方形； 对角线相等的梯形是等腰梯形 其中正确命题的序号是 ( )(A) (B) (C) (D)11ABDC6已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共局部(即阴影局部)的面积是 ( ) （A）大于1（B）等于1（C）小于1（D）小于或等于1 7已知梯形的两条对角线分别为m及n，两对角线的夹角为600. 那么，该梯形的面积为 （ ）（A） （B） （C） （D）8已知，正整数n，k满意不等式，那么当n及k取最小值时，n+k的值为 （ ）（A）29 （B）30 （C）31 （D）32二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知O的直径AB=2cm，过点A有两条弦AC=2cm，AD=cm，那么劣弧CD 的度数为_.初中数学竞赛试卷 第2页(共6页)10已知，关于x的一元二次方程及只有一个公共的根，那么方程全部的根的和是 . 11在写有整式 ，的卡片中，随意选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是 .xyB/ACBO12如图，直线及x轴、y轴分别交于A点和B点，C是OB上的一点，若将DABC沿AC翻折得到DAB/C，B/ 落在x轴上，则过A，C两点的直线的解析式是 .AFBECD13若，则= . 14如图，在DABC中，ÐC=90°，D、E分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好及D相切于点F. 假如AC=，那么D的半径= . 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）15已知，一次函数（是不为0的自然数，且是常数）的图象及两坐标轴所围成的图形的面积为（即k=1时，得，k=2时，得，）.试求+的值. 初中数学竞赛试卷 第3页(共6页)16一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售. 已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 依据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量一样，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大最大利润是多少初中数学竞赛试卷 第4页(共6页)17已知，ABC和A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，如图1. (1)当A1B1C1绕点D旋转到A2B2C2时，试推断AA2及CC2的位置关系，并证明你的结论. (2)假如当A1B1C1绕点D旋转一周，顶点A1和AC仅有一个交点，设该交点为A3，如图3. 当AB=4时，求多边形ABDC3C的面积.CABDB1C1A1CABDB2C2A2ABCDB3C3A3图1图2图3初中数学竞赛试卷 第5页(共6页) 18给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.初三数学竞赛参考答案和评分意见 一、选择题(每小题5分，共40分)18：ACAD BCBC二、填空题(每小题5分，共30分)9 30°或150° 10 0 11 12 131 14 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）15一次函数的图象及两坐标轴的交点为（，0）、（0，），所围成的图形的面积为. 4分+= 8分=. 12分16设该商店每天批进这种食品x千克，每月获得的利润为y元（1）当时，由题意，30天中批进这种食品的本钱为元，销售收入为元，退货所得为元，于是可得 即 4分是一次函数，且y随x的增大而增大，当时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元 8分（2）当时，由题意，化简得 是一次函数，且y随x的增大而减小，当时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元 12分CABDB2C2A2FE17AA2CC2. 2分（1）在图2中，连接AD、A2D、延长AA2交BC于E，交CC2于F，ÐADA2=90°-ÐA2DC=ÐCDC2，（等边三角形都相像，相像三角形对应高的比等于相像比）DAA2DDCC2D，于是得ÐA2AD=ÐC2CD 5分又因为ÐAED=ÐCEF，ÐADE=ÐCFE=90° AA2CC2. 8分（2）在图3中，连接A3D，过C3作C3GBC于G，由（1）得ACCC3，ABCDB3C3A3G由题意又得A3DAC， 四边形A3CC3D是矩形. C3C=A3D=， C3G=， 多边形ABDC3C的面积= =. 12分 18经过2007步后得到495或0. 2分不妨设选定的三位数中的最大数字为，最小数字为，还有一个数字为，则， 4分 现探讨如下：（1），第一步结果0. （2），第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792 ,第四步结果693，第五步结果954,第六步结果495. （3），第一步结果198，第二步结果792，第三步结果692，第四步结果954，第五步结果495. （4），第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954 ,第四步结果495. （5），第一步结果396,第二步结果594,第三步结果495. （6），第一步结果495. （7），第一步结果594,第二步结果495. （8），第一步结果693，第二步结果594，第三步结果495. （9），第一步结果792 ,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495. （10），第一步结果891,第二步结果792 ,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495. 由以上探讨可知至多6步可将一个三位数变为495或0，然后就进入循环，所以经过2007步后将得到495或0.当时，得到0；当时，得到495. 14分（探讨一种状况给1分）初中数学竞赛试卷 第6页(共6页)
