初三圆知识点及定理.docx

圆学问点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的间隔 等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的间隔 大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的间隔 小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的间隔 等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；补充2、垂直平分线：到线段两端间隔 相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线也叫中垂线； 3、角的平分线：到角两边间隔 相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的间隔 相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的间隔 等于定长的两条直线； 5、到两条平行线间隔 相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔 都相等的一条直线。二、点及圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线及圆的位置关系1、直线及圆相离 无交点；2、直线及圆相切 有一个交点；3、直线及圆相交 有两个交点；四、圆及圆的位置关系外离图1 无交点 ；外切图2 有一个交点 ；相交图3 有两个交点 ；内切图4 有一个交点 ；内含图5 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中随意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中，四边形是内接四边形 九、切线的性质及断定定理1切线的断定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行 即：且过半径外端 是的切线2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推确定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， 2推论：假设弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， 3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等如上图。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：中，；2外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算1正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进展：；2正四边形同理，四边形的有关计算在中进展，：3正六边形同理，六边形的有关计算在中进展，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：1弧长公式：；2扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： 1圆柱侧面绽开图 =2圆柱的体积：2圆锥侧面绽开图1=2圆锥的体积：十六、圆中常见的扶植线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等2作弦心距，利用垂径定理进展证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距间的关系进展证明3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距组成的直角三角形进展计算4作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种状况：(1)假设知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边十七、圆中较特别的扶植线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完好3)作扶植圆例1如图23-11，为O的切线，切点为A，点B在O上，假设55°，那么等于( )A35°B90°C110°D120°例2 假设圆柱的底面半径为4，母线长为5，那么侧面积等于( )A B C D例3 如图23-12，在半径为4的O中，、是两条直径，M为的中点，延长交O于E，且>，连结、，求：的长 例4如图23-13，是O的直径，切O于点B，交O于点C，分别交、于E、D，交O于F、G，且、恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根(1)求证：；(2)假设，求A的度数