中圆的基本性质与点圆关系-知识点及试题答案.docx

高中圆的根本概念及点圆关系 知识点及答案解析第一节 圆的根本概念1.圆的标准方程： 圆心，半径为例1 写出以下方程表示的圆的圆心和半径1x2 + (y + 3)2 = 2； 2(x + 2)2 + (y 1)2 = a2 (a0)例2 圆心在直线x 2y 3 = 0上，且过A(2，3)，B(2，5)，求圆的方程.例3 三点A(3，2)，B(5，3)，C(1，3)，以P(2，1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：其中，圆心为点，半径当时，方程表示一个点，这个点的坐标为当时，方程不表示任何图形。例1：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，解得当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。例2：假设2m2+m-1x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，那么m的值是。答案：3例3：求经过三点A1，1、B1,4、C4，2的圆的方程。解：设所求圆的方程为，A1，1、B1,4、C4，2三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2所求圆的方程为。例4：假设实数满意，那么的最大值是_。解：由，得点P(x, y)在以2,1为圆心，半径r=3的圆C上，原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为OCr3的最大值为。3.圆的一般方程的特点： (1)x2和y2的系数一样，不等于0。 没有xy这样的二次项。 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。 (3)及圆的标准方程相比拟，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。假如是圆，肯定有1A=C0；2B=0；3D2+E2-4AF>0。反之，也成立。例1：推断以下二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径。例2：方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m的取值范围是 D A. B. C. D. 或例3：假如圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为 A.-1，1 B.1，-1 C.-1，0 D.0，-1例4：圆的圆心坐标为 ，半径为 .例5：方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。 1：求实数m的范围。 2：求该圆半径r的范围。 3：求圆心C的轨迹的一般方程。解：(1)方程表示圆的充要条件是，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-<m<1.(2)，得到r的取值范围(3)设圆心为(x，y)，那么消去m得：y=4(x-3)2-1，-<m<1，<x<4，即轨迹为：y=4(x-3)2-1(<x<4)。例6：实数满意等式，求的最值。第二节 点及圆的关系及圆的关系的推断方法1>，点在圆外2=，点在圆上3<，点在圆内例1：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。解析：用待定系数法确定三个参数。例2：圆经过点和,且圆心在上,求圆的标准方程。解析：圆心为的圆经过点和,由于圆心及A,B两点的距离相等，所以圆心在AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线及直线m的交点，半径长等于或。例3：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并推断点是否在这个圆上。2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r相等。例1：求x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。设圆心关于直线的对称点O'(a,b) ，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：解得 所求圆的方程为。方法一：代入转移求轨迹方程如：方法二：参数法求轨迹方程方法三：充分利用韦达定理如：设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满意关于直线x+my+4=0对称,又满意·=0，求直线PQ的方程。解：曲线方程为x+12+y32=9表示圆心为1，3，半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，m=1。直线PQ及直线y=x+4垂直，设Px1，y1、Qx2，y2，PQ方程为y=x+b.将直线y=x+b代入圆方程，得2x2+24bx+b26b+1=0.=44b24×2×b26b+1>0，得23<b<2+3。由韦达定理得x1+x2=4b，x1·x2=。y1·y2=b2bx1+x2+x1·x2=+4b.·=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=123，2+3。所求的直线方程为y=x+1。（1） 形如的最值问题，转化为动直线斜率的问题；（2） 形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；（3） 形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。如：点Px,y是圆x+22+y2 =1上随意一点。（1） 求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2） 求x-2y的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值。解：1圆心C-2,0到到直线3x+4y+12=0的距离为：所以P到直线距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=。（2） 设t=x-2y,直线x-2y-t=0及圆x+22+y2 =1有公共点圆心到直线的距离小于等于半径（3） 设，那么直线kx-y-k+2=0及圆x+22+y2 =1有公共点圆心到直线的距离小于等于半径