中二次函数常考知识点总结.docx

二次函数常考知识点总结一、 函数定义及表达式1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；一般式：顶点式：h、k 3. 交点式：，是抛物线及轴两交点的横坐标.顶点坐标留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化二、 函数图像的性质抛物线1开口方向二次项系数二次函数中，作为二次项系数，明显 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，确定了抛物线开口的大小和方向，的正负确定开口方向，的大小确定开口的大小越大开口就越小越小开口就越大. 2抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 一般式： 对称轴 顶点式： 两根式：3对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。“左同右异 a及b同号即0 对称轴在y轴左侧 a及b异号即0 对称轴在y轴右侧 4增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧当时，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧当时，y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧当时，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧当时，y随着x的增大而削减；当a>0时，函数有最小值，并且当，；当a<0时，函数有最大值，并且当，；5常数项c常数项c确定抛物线及y轴交点。 抛物线及y轴交于0，c。（6） abc符号判别二次函数2a0 中a、b、c的符号判别：1a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a0；当开口向下时，a0；2c的符号判别由及Y轴的交点来确定：假设交点在X轴的上方，那么c0；假设交点在X轴的下方，那么C0；3b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，那么a、b同号；假设对称轴在Y 轴的右侧，那么a、b异号；7抛物线及x轴交点个数 = b2-40时，抛物线及x轴有2个交点。这两点间的距离= b2-40时，抛物线及x轴有1个交点。 顶点在x轴上。= b2-40时，抛物线及x轴没有交点。 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有8特别的二次函数2a0及X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，那么2-40；二次函数2a0的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，那么0；二次函数2a0经过原点，那么0；三、平移、平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。随堂练：一、 选择题：1、对于的图象以下表达正确的选项是 A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小C 的肯定值越小，开口越大 D 的肯定值越小，开口越小2、对称轴是2的抛物线是 A. -2x2-8x B 2x2-2C . 2(1)2+3 D. 2(1)2-33、及抛物线的形态大小开口方向一样，只有位置不同的抛物线是 ABCD4、二次函数的图象上有两点(3，8)和(5，8)，那么此拋物线的对称轴是 Ax4 B. x3 C. x5 D. x1。5、抛物线的图象过原点，那么为 A0 B1 C1 D±16、把二次函数配方成顶点式为 A B.CD7、直角坐标平面上将二次函数y-2(x1)22的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，那么其顶点为 A.(0，0) B.(1，2) C.(0，1) D.(2，1)8、函数的图象及轴有交点，那么的取值范围是 A BC D9、抛物线那么图象及轴交点为 A 二个交点 B 一个交点 C 无交点 D 不能确定Oxy-11Oxy-1110、二次函数的图象如下图，那么，这四个式子中，值为正数的有 A4个B3个 C2个 D1个二、填空题：1、抛物线，请答复以下问题：它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；2、抛物线过第二、三、四象限，那么 0， 0， 03、抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到4、抛物线在轴上截得的线段长度是 5、抛物线，假设其顶点在轴上，那么 6、二次函数，那么当 时，其最大值为07二次函数的值恒久为负值的条件是 0， 08抛物线及轴交于点A，及轴的正半轴交于B、C两点，且2，S3，那么= ，= 三、解答1、二次函数2x²-46 求：此函数图象的顶点坐标，及x轴、y轴的交点坐标2、抛物线及y轴交于C0，c点，及x轴交于Bc，0，其中c0，1 求证：b102假设C及B两点距离等于，一元二次方程的两根之差的肯定值等于1，求抛物线的解析式.四、二次函数解析式确实定：依据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线及轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式随堂练:1、 关于x的二次函数图象的对称轴是直线1，图象交Y轴于点0，2，且过点-1，0求这个二次函数的解析式；2、 抛物线的顶点坐标为-1，-2，且通过点1，10，求此二次函数的解析式；3、 抛物线的对称轴为直线2， 且通过点1，4和点5，0，求此抛物线的解析式；4、 抛物线及X轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点2，8，求二次函数的解析式；5、 抛物线通过三点1，0，0，-2，2，3求此抛物线的解析式；6、 抛物线的顶点坐标是6，-12，且及X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；7、 抛物线经过点4，-3，且当3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；1133xyOABC8如图，在同始终角坐标系中，二次函数的图象及两坐标轴分别交于A1，0、点B3，0和点C0，3，一次函数的图象及抛物线交于B、C两点。二次函数的解析式为 当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大 自变量 时，一次函数值大于二次函数值9、顶点为2，5且过点1，14的抛物线的解析式为 10、对称轴是轴且过点A1，3、点B2，6的抛物线的解析式为 11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线4； 乙：及x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：及y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3 请你写出满意上述全部特点的一个二次函数解析式：五、二次函数解析式中各参数对图象的影响a开口方向及开口大小(即确定抛物线的形态)h顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减)k顶点纵坐标即最 值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减)b及a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异)c及y轴交点(0)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；0时必过原点)特别点纵坐标的位置:如(1，)、(-1，)等六、二次函数及一元二次方程及一元二次不等式的关系(a0)一元二次方程20的解是二次函数2的图象及x轴交点的横坐标即 ；一元二次不等式2>0的解集是二次函数2的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即 ；一元二次不等式2<0的解集是二次函数2的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即： .七、二次函数的最值看定义域 定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最 值； 定义域不包含顶点时，视察图象确定边界点，进而确定最值八、抛物线对称变换前后的解析式关于y轴对称x互为相反数 2 2 y互为相反数关于x轴对称关于原点对称x、y互为相反数2 2九. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象及轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置推断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号推断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.