高一数学必修一各章知识点总结技巧解答.docx

高一数学必修1各章学问点总结第一章 集合及函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性、如：世界上最高的山(2) 元素的互异性、如：由的字母组成的集合(3) 元素的无序性、如：和是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：我校的篮球队员1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法及描绘法。u 留意：常用数集及其记法：自然数集 N正整数集 N*或 整数集Z 有理数集Q 实数集R1） 列举法：2） 描绘法：将集合中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示集合的方法。xÎ 3>2 , 3>23） 语言描绘法：例：不是直角三角形的三角形4） 图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：2=5表示二、集合间的根本关系1.“包含关系子集留意：有两种可能1A是B的一部分，；2A及B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作或2“相等关系： (55，且55，那么5=5)实例：设 2-1=0 -1,1 “元素一样那么两集合相等u 留意： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:假如AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作(或)假如 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 假如AÍB 同时 BÍA 那么3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，21个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做的交集记作读作A交B，即，且由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做的并集记作：读作A并B，即 =，或)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集SA记作，即韦恩图示SA性 质 A= A() ()= ()() ()= ()A ()A ()= 练习：1.以下四组对象，能构成集合的是 A某班全部高个子的学生 B闻名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.假设集合2-210，那么M及N的关系是 .，假设，那么的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种试验，物理试验做得正确得有40人，化学试验做得正确得有31人，两种试验都做错得有4人，那么这两种试验都做对的有 人。6. 用描绘法表示图中阴影部分的点含边界上的点组成的集合 .7.集合 x2+28=0, x2-56=0, x22-19=0, 假设BC，A，求m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： (x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1. (5)指数为零底不行以等于零，(6)假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.u 一样函数的推断方法：对应法那么一样及表示自变量和函数值的字母无关；定义域一样 (两点必需同时具备)2值域 : 先考虑其定义域(1)干脆法 (2)配方法 (3)别离常数法 (4)判别式法(5)换元法 (6)单调性法 (7)反函数法 (8)数形结合3. 函数图象学问归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 (x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 (x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满意函数关系(x)，反过来，以满意(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 双向都得满意(2) 画法A、 描点法B、 图象变换法u 常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间2无穷区间3区间的数轴表示5映射一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应f：为从集合A到集合B的一个映射。记作“f对应关系：A原象B象对于映射f：AB来说，那么应满意：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。u 可以多对一，但是不能一对多记二次函数26.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值状况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数假如(u)(uM)(x)(xA),那么 g(x)(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质1.函数的单调性(部分性质)1增函数设函数(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为(x)的单调增区间.假如对于区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为(x)的单调减区间.留意：函数的单调性是函数的部分性质；2 图象的特点假如函数(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间及单调性的断定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2D，且x1<x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形通常是因式分解和配方；4 定号即推断差f(x1)f(x2)的正负；5下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性及构成它的函数(x)，(u)的单调性亲密相关，其规律：“同增异减u 求复合函数单调性的步骤： 1、求复合函数的定义域2、把复合函数分解为根本函数3、把中间变量的范围转化成自变量的改变范围4、由复合函数的单调性规律推断其单调性或单调区间u 留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一样的区间和在一起写成其并集. 2函数的奇偶性整体性质1偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)(x)，那么f(x)就叫做偶函数2奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)(x)，那么f(x)就叫做奇函数3具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称u 利用定义推断函数奇偶性的步骤：1、首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称；2、确定f(x)及f(x)的关系；3、作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是奇函数u 留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再根据定义断定; (2)由 f()±f(x)=0或f(x)f()=±1来断定; (3)利用定理，或借助函数的图象断定 .3、函数的周期性1周期函数：对于函数f(x)，假如存在一个常数T0，使得当x取定义域内每一个值时，都有f()(x)成立，那么函数f(x)叫周期函数，非零常数T叫做f(x)的周期。2最小正周期：周期函数的周期可能不止一个，假如在全部周期中存在着一个最小正数，那么称这个最小正数为该函数的最小正周期。3设m为非零常数，那么对于函数f(x)定义域中的随意x，恒有以下条件之一成立： 那么f(x)是周期函数，周期2m.4、函数的解析表达式1 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.2求函数的解析式的主要方法有：1、凑配法 2、待定系数法 3、换元法 4、消参法5函数最大小值1)、利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值2)、利用图象求函数的最大小值3)、利用函数单调性的推断函数的最大小值：假如函数(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减那么函数(x)在处有最大值f(b)；假如函数(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增那么函数(x)在处有最小值f(b)；练习：1.求以下函数的定义域： 2.设函数的定义域为，那么函数的定义域为_ _ 3.假设函数的定义域为，那么函数的定义域是 ，假设，那么= 5.求以下函数的值域： 配方法 留意定义域(3) 换元法、单调性法 (4) 复合函数求值域6.函数，求函数，的解析式7.函数满意，那么= 。8.设是R上的奇函数，且当时,那么当时= 在R上的解析式为 9.求以下函数的单调区间： 10.设函数推断它的奇偶性并且求证：第二章 根本初等函数一、指数函数一指数及指数幂的运算1根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根，其中>1，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质1·；2；3二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为Ru 留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、0和12、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域y0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点0，1函数图象都过定点0，1u 留意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a，b上，值域是或；(留意增减性)(2)假设，那么；取遍全部正数当且仅当；(3)对于指数函数，总有；二、对数函数一对数1对数的概念：一般地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作： 底数， 真数， 对数式说明：1、 留意底数的限制，且；2、；3、留意对数的书写格式两个重要对数：1、 常用对数：以10为底的对数；2、 自然对数：以无理数为底的对数的对数几个常用公式：1、 2、3、 4、u 指数式及对数式的互化幂值 真数 N b 底数 指数 对数二对数的运算性质假如，且，那么：1、·；2、；3、 u 留意：换底公式，且；，且；利用换底公式推导下面的结论1 23 4二对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是0，+留意： 对数函数的定义及指数函数类似，都是形式定义，留意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点1，0函数图象都过定点1，0三幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳1全部的幂函数在0，+都有定义并且图象都过点1，1；2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特殊地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；3时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地靠近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴正半轴练习：1.a>0，a0，函数及()的图象只能是 ( )2.计算： ;= ；= ; = 3.函数的递减区间为 4.假设函数在区间上的最大值是最小值的3倍，那么 5.，1求的定义域2求使的的取值范围第三章 函数的应用一、方程的根及函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象及轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象及轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： 代数法求方程的实数根； 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数1，方程有两不等实根，二次函数的图象及轴有两个交点，二次函数有两个零点2，方程有两相等实根，二次函数的图象及轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点搜集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型说明实际问题符合实际不符合实际3，方程无实根，二次函数的图象及轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型 检验