高中数学人教版必修4知识点.docx

1.11 随意角1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形始边终边顶点AOB角的名称：角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角留意：在不引起混淆的状况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，假如是零角 =0°；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角1.1.2弧度制（一）1定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，经常将rad单位省略弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的肯定值|=4角度与弧度之间的转换： 将角度化为弧度：； ；将弧度化为角度：；5常规写法： 用弧度数表示角时,经常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度07弧长公式弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的肯定值与半径的积4-1.2.1随意角的三角函数（三）1. 三角函数的定义2. 诱导公式当角的终边上一点的坐标满意时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一样时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设随意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4-1.2.1随意角的三角函数（1） 1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个随意角，终边上随意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的间隔 为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有说明肯定是正角或负角，以及的大小，只说明与的终边一样的角所在的位置； 依据相像三角形的学问，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的变更而变更大小；当时，的终边在轴上，终边上随意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；除以上两种状况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。函 数定 义 域值 域2三角函数的定义域、值域留意：(1)在平面直角坐标系内探讨角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) 是随意角，射线OP是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)随意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联络与区分:锐角三角函数是随意角三角函数的一种特例，它们的根底共建立于相像（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，随意角的三角函数是以坐标与间隔 、坐标与坐标、间隔 与坐标的比来定义的,它也合适锐角三角函数的定义.本质上，由锐角三角函数的定义到随意角的三角函数的定义是由特殊到一般的相识和探讨过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一样性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，始终角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟识的锐角三角函数类比记忆.3例题分析例1求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）； （2）； （3） 解：（1）因为当时，所以， ， ， 不存在。（2）因为当时，所以， ， ， 不存在，（3）因为当时，所以， ， 不存在， ，例2已知角的终边经过点，求的四个函数值。解：因为，所以，于是； ； 例3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解：因为过点，所以， 当；当； 4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边一样的角三角函数值一样。即有：，其中，这组公式的作用是可把随意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题4-1.2.2同角三角函数的根本关系 （一）同角三角函数的根本关系式：1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：说明：留意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；留意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要坚固驾驭，还要能敏捷运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用根本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的状况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要缘由是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要留意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作奇妙的变形，13诱导公式1、诱导公式（五） 2、诱导公式（六） 总结为一句话：函数正变余，符号看象限小结：三角函数的简化过程图：公式一或二或四随意负角的三角函数随意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.1.4.1正弦、余弦函数的图象 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行挪动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象依据终边一样的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行挪动，每次挪动的间隔 为2，就得到y=sinx，xR的图象. 把角x的正弦线平行挪动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 依据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx xÎ0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) 1周期函数定义：对于函数f (x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，假如是，周期是多少？（，且）（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ （是，其缘由为：）2、说明：1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为2p （一般称为周期） 从图象上可以看出，；，的最小正周期为；推断：是不是全部的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 1. 奇偶性 (1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。(2)正弦函数的图形2.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线渐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线渐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.3.有关对称轴视察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZ y=cosx的对称轴为x= kZ1.4.3正切函数的性质与图象 1正切函数的定义域 2正切函数是周期函数 ，是的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来推断。3作，的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）依据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。y0x（3）正切曲线是由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质（1）定义域：；（2）值域：R 视察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。1.5函数y=Asin(x+)的图象（二）函数表示一个振动量时：A：这个量振动时分开平衡位置的最大间隔 ，称为“振幅”.T：f ：称为“相位” . x=0时的相位，称为“初相”.2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。A(起点) B（终点）a1、数量与向量的区分：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区分：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，这两个向量就是一样的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是随意的. 留意0与0的含义与书写区分.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完好定义（2）向量、平行，记作.2.1.2 相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同始终线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同始终线上，要区分于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以互相平行，要区分于在同始终线上的线段的位置关系.2.2.1 向量的加法运算及其几何意义、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABCa+ba+baabbaa如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定： a + 0-= 0 + a（1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时：当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<|+|；当与同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|>|，则+的方向与一样，且|+|=|-|；若|<|，则+的方向与一样，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加3加法的交换律和平行四边形法则 1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2）向量加法的交换律：+=+六、备用习题 思索：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？2.2.2向量的减法运算及其几何意义1 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a长度一样、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 假如a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - bOabBaba-b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a， = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.OABaBb-bbBa+ (-b)ab 留意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)平面对量根本定理、平面对量的正交分解和坐标表示及运算1.(1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进展分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量2向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作。3平面对量的坐标表示 （1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向一样的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面对量根本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特殊地，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示.233平面对量的坐标运算1平面对量的坐标运算（1） 若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。（3） 若，则=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义1平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（0）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所确定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右图：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.3向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab Û a×b = 02、当a与b同向时，a×b = |a|b|； 当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特殊的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 平面对量数量积的运算律:1交换律：a × b = b × a证：设a，b夹角为q，则a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)证：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3安排律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2. 平面内两点间的间隔 公式（1）设，则或.（2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的间隔 公式)3 向量垂直的断定设，则4 两向量夹角的余弦（） cosq =2.5.1平面几何中的向量方法运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联络，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系，如间隔 、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （分式分子、分母同时除以，得到留意： 将、称为和角公式，、称为差角公式。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式公式推导：；变形：；留意： 3.2简洁的三角恒等变换（一）代数式变换往往着眼于式子构造形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有构造形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换经常首先找寻式子所包含的各个角之间的联络，这是三角式恒等变换的重要特点；3.2简洁的三角恒等变换（二） (1) 二倍角公式：(2)二倍角变式：(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等