高中导数及其应用教案.docx

教化老师备课手册老师姓名 学生姓名 填写时间2012.2.1 学科数学 年级高三 上课时间 10:00-12:00课时安排2小时 教学目的教学内容中考复习 三角形特性化学习问题解决根底学问回忆，典型例题分析教学重点、难点教学过程 导数及其运用学问网络导数的概念根本初等函数的导数公式导数函数的单调性探讨的的的函数的极值与最值探讨导数的定义导数的物理及几何意义意义导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用最优化问题计算定积分的的的定积分与微积分的根本定理定积分的应用第1讲 导数的概念及运算 知 识 梳理 1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的变更量y；（2）求平均变更率.（3）取极限，得导数（x0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0）处导数的意义是t=t0处的 解析：斜率.；瞬时速度.3. 几种常见函数的导数（为常数）；（）； ； ； ； ；. 解析：4.运算法则求导数的四则运算法则：； ； .解析：； 复合函数的求导法则：或 重 难 点 突 破 1.重点：理解导数的概念及运算法则，娴熟驾驭常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变更率的实际含义是变更量及自变量的变更量的比。问题1.比拟函数及,当时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技奇妙法总结: 计算函数的平均增长率的根本步骤是(1)计算自变量的变更量(2)计算对应函数值的变更量(3)计算平均增长率: 对于,又对于,故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进展究竟”的原则,问题2. 已知,则 .点拨：复合函数求导数计算不娴熟,其及系数不一样也是一个复合的过程,有的同学无视了,导致错解为:.设,则. （3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3. 求在点和处的切线方程。点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不可以干脆用导数求值，要通过设切点的方法求切线切忌干脆将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为： 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值例1 设函数在处可导，则等于 A B C D【解题思路】由定义干脆计算解析.故选【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式考点2.求曲线的切线方程例2(高超一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .【解题思路】区分过曲线处的切线及过点的切线的不同，后者的点不肯定在曲线上. 解析:视察图形,设,过P点的切线方程为即它及重合,比拟系数知:故=2【名师指引】求切线方程时要留意所给的点是否是切点若是，可以干脆采纳求导数的方法求；不是则需设出切点坐标题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变更率例3一球沿一斜面从停顿开场自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变更率事实上就是在点处的导数.解析：加速度v= (10+t)=10 m/s.加速度v=2t=2×5=10 m/s.【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变更率的根本步骤是1. 计算2. 计算【新题导练】.1. 曲线和在它们交点处的两条切线及轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们及轴所围成的三角形的面积是.点拨:及切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ ）A1B3C7D13解:B 点拨:计算即可3. 已知曲线C1:y=x2及C2:y=(x2)2,直线l及C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l及C1相切于点P(x1,x12),及C2相切于Q(x2,(x22)2)对于C1：y=2x,则及C1相切于点P的切线方程为yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12对于C2：y=2(x2),及C2相切于点Q的切线方程为y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直线l方程为y=0或y=4x4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2 导数的运算题型1:求导运算例1 求下列函数的导数：（1） （2） （3）【解题思路】按运算法则进展解析 （1）（2）（3）【名师指引】 留意复合函数的求导方法（分解求导回代）；留意问题的变通：如的导数简洁求错，但的导数不易求错.题型2:求导运算后求切线方程例2. (广州市2008届二月月考)已知函数（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数上为单调增函数，试求满意条件的最大整数a.【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则 又，所以所求切线的方程为： 即【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中常常出现.及曲线相切于P处的切线方程是（ D ）A B C D 题型3:求导运算后的小应用题例3. 某市在一次降雨过程中,降雨量刚好间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )A. B. C. D. 【解题思路】先对的求导,再代的数值.解析:选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变更率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4. 设函数，且，则 A0 B-1 C3 D-6思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.解 : +故 又,故5. 设函数，（、 是两两不等的常数），则 解析:代入即得0.6. 质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是 解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J根底稳固训练1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是 解析: 故=32. (广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是_. 解析：故填3. 已知直线x+2y4=0及抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 .解析：|AB|为定值，PAB面积最大，只要P到AB的间隔 最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上y=2,y=,kAB=,x=4,代入y2=4x(y<0)得y=4. P(4,4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线及函数、的图像都相切，且及函数的图像的切点的横坐标为1求直线的方程及的值；解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线及的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；5.(湛江市试验中学2009届高三第四次月考)已知函数的图象都相切，且l及函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由，故直线l的斜率为1，切点为即（1，0） 又 即 比拟和的系数得 综合拔高训练6. 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于随意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.解析（1），.令得 ， .拐点（2）设是图象上随意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线一样。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）设及在公共点处的切线一样由题意知，由得，或（舍去）即有（2）设及在公共点处的切线一样由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为8. 设三次函数在处获得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；解：()方法一、 .由题设，得 ，。由代入得，得或 将代入中，得 由、得；方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，明显，所以因为图象的开口向下，且有一根为x1=1由韦达定理得,所以，即，则，由得：所以：第2讲 导数在探讨函数中的应用 知 识 梳理 1. 函数的单调性及导数的关系一般地，函数的单调性及其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，假如，那么函数在这个区间内 ；假如，那么函数在这个区间内 .解析：单调递增；单调递减2. 判别f(x0)是极大、微小值的方法若满意，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且假如在两侧满意“左正右负”，则是的 ，是极大值；假如在两侧满意“左负右正”，则是的微小值点，是 解析：极大值点；微小值.3解题规律技奇妙法总结: 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得微小值；假如左右不变更符号，那么f(x)在这个根处无极值.4求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比拟极值和端点值，确定最大值或最小值. 重 难 点 突 破 1.重点：熟识利用导数处理单调性、极值及最值的一般思路，娴熟驾驭求常见函数的单调区间和极值及最值的方法2.难点：及参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数探讨函数及不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应留意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1. 设，令，探讨在内的单调性并求极值；点拨:依据求导法则有，故，于是，2减微小值增列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处获得微小值（2）借助导数处理函数的单调性，进而探讨不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有. 点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由转化为为增函数等思索问题的方法是我们必需学会的.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数及函数的单调性题型1.探讨函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，试探讨函数的单调性【解题思路】先求导再解和【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。【名师指引】解题规律技奇妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）比照定义域得出结论.误区警示求函数单调区间时，简洁无视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.题型2.由单调性求参数的值或取值范围例2: 若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用途理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为 故的取值范围为【名师指引】:本题主要考察函数的单调性及导数正负值的关系,要特殊留意导数值等于零的用法.题型3.借助单调性处理不等关系例3. 当，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0解析：设函数当时， ，故在递增，当时，,又，即，故【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的根本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【新题导练】.1. 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a3 B.a=2C.a3D.0<a<3分析：本题主要考察导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.解析：f(x)=3x22ax=3x(xa),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(xa)0,即a2,a3.答案：A2. 函数y=x3+x的单调增区间为A.(,+)B.(0,+)C.(,0)D.不存在解析：y=3x2+1>0恒成立，y=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间.答案：A3. 已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上随意一点为切点的切线的斜率恒成立，务实数的最小值；解析：（I），由，在上单调递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。（II），恒成立当时，获得最大值。，考点2: 导数及函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数在处获得极值,则 .【解题思路】若在旁边的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在旁边的左侧，右侧，且,那么是的微小值.解析因为可导,且,所以,解得.阅历证当时, 函数在处获得极大值.【名师指引】 若是可导函数，留意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右推断单调性.例2（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和微小值【解题思路】先求驻点，再列表推断极值求出极值。解析：.，令，解得或由于，当变更时，的正负如下表：因此，函数在处获得微小值，且；函数在处获得极大值，且【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进展。例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.（）求的最小值；（）若对全部都有，务实数的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值,比拟求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，获得最小值. 6分（）解法一：令，则， 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，及题设相冲突. 13分综上，满意条件的的取值范围是. 14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范围是. 14分【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：求在内的极大（小）值，将极大（小）值及端点处的函数值进展比拟，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3（广东省六校2009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，务实数的取值范围【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）解析：， -2分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，-3分又得。-4分（1）函数在时有极值，所以，-5分解得，-7分所以-8分（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，-10分则得，所以实数的取值范围为-14分【名师指引】已知在处有极值，等价于。【新题导练】4在区间上的最大值为，则=（ ）A.B. C. D. 或解析：选B在上的最大值为，且在时，解之或（舍去），选B.5在区间上的最大值是A B0 C2 D4解析，令可得或（2舍去），当时，>0，当时，<0，所以当时，f（x）获得最大值为2.选C6已知函数是上的奇函数，当时获得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对随意不等式恒成立.解析（1）由奇函数定义，有. 即 因此， 由条件为的极值，必有 故 ,解得 因此 当时，故在单调区间上是增函数.当时，故在单调区间上是减函数.当时，故在单调区间上是增函数.所以，在处获得极大值，极大值为 （2）由(1)知，是减函数，且在上的最大值为最小值为所以，对随意恒有方法技巧擅长用函数思想不等式问题,如本题. 抢 分 频 道 根底稳固训练1（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有微小值 点共有（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个 解析：视察图象可知，只有一处是先减后增的，选A2、函数有（ ）A. 微小值1，极大值1B. 微小值2，极大值3C.微小值2，极大值2D. 微小值1，极大值3解析：，令得 当时，；当时，；当，时，当，故选D.3函数y=f(x)=lnxx,在区间(0,e上的最大值为A.1eB.1C.eD.0解析：y=1,令y=0,即x=1,在(0，e上列表如下：x(0,1)1(1,e)ey+0y增函数极大值1减函数1e由于f(e)=1e,而11e,从而y最大=f(1)=1.答案：B4(广东深圳外国语学校20082009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间. 解析 （当a.>1时，对x（0，+）恒有>0， 当a.>1时，f(x)在（0，+）上为增函数；5（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4递减，则当x（0，4）时，（x）<0。或，解得a3.综合拔高训练6（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=±1处获得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上随意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，务实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即2分 解得a=1，b=0. f(x)=x33x.4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1<x<1时，f(x)<0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上随意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满意因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3<m<2.故所求的实数a的取值范围是3<m<2.14分7（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）已知，其中是自然常数，（）探讨时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分的微小值为 4分（）的微小值为1，即在上的最小值为1， ， 5分令， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下， 9分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分当时，在上单调递减，在上单调递增，满意条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 8(潮南区0809学年度第一学期期末高三级质检)已知函数（）(1) 求f(x)的单调区间；(2) 证明：lnx<解：（1）函数f(x)的定义域为，当时，>0，f(x)在上递增当时，令得解得：，因（舍去），故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得第3讲 导数的实际应用 知 识 梳理 利用导数解决生活、消费优化问题，其解题思路是： 优化问题函数模型解决数学问题优化问题的解 重 难 点 突 破 1.重点：利用于数学学问建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：仔细审题，建立数学模型，解决及函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线分开路灯，求人影长度的变更速率v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的间隔 为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则， ,又,人影长度的变更速率为.（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题2. （2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形态是高为1m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O究竟面中心的间隔 为多少时，帐篷的体积最大？OO1剖析设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：）于是底面正六边形的面积为（单位：）帐篷的体积为（单位：）求导数，得令解得(不合题意，舍去),.当时，,为增函数；当时，,为减函数。所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大. 热 点 考 点 题 型 探 析考点: 最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1. 设工厂到铁路途的垂直间隔 为20km,垂足为B.铁路途上间隔 B为100km处有一原料供给站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条马路.假如已知每千米的铁路运费及马路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供给站C运货到工厂A所需运费最省【解题思路】由勾股定理建模.解析 ： 设BD之间的间隔 为km,则|AD|=,|CD|=.假如马路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供给站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的微小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且及B相距15km处时,运费最省.【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目的函数是一个复合函数,用过去的学问求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数学问,求复合函数的最值就变得特别简洁.例2. 某产品按质量分为10个档次,消费第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每进步一个档次,利润每件增加2元,但在一样的时间内产量削减3件.在一样的时间内,最低档的产品可消费60件.问在一样的时间内,消费第几档次的产品的总利润最大有多少元思路分析:在肯定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在消费、生活中常常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论实行何种方法都必需在函数的定义域内进展.解法一:设一样的时间内,消费第x(xN*,1x10)档次的产品利润y最大.2分依题意,得y=8+2(x1)603(x1)4分=6x2+108x+378=6(x9)2+864(1x10),8分明显,当x=9时,ymax=864(元),即在一样的时间内,消费第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到y=6x2+108x+378.求导数,得y=12x+108,令y=12x+108=0,解得x=9.因x=91,10,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在一样的时间内,消费第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般状况下,对于实际生活中的优化问题,假如其目的函数为高次多项式函数、简洁的分式函数简洁的无理函数、简洁的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学学问在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】及最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， 、和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影局部成四边形.图1(1) 求证：四边形是正方形；(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 图2 【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，为等腰直角三角形， 四边形是正方形. 解析 (2) 设，则，每块地砖的费用为，制成、和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)， . 由，当时，有最小值，即总费用为最省. 答：当米时，总费用最省. 【名师指引】 处理较困难的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上挪动，桌面上有及点O间隔 为的另一点A，问电灯及点0的间隔 怎样，可使点A处有最大的照度？（照度及成正比，及成反比）【解题思路】如图，由光学学问，照度及成正比，及成反比，即（是及灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.解析：设到的间隔 为，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）及，在我们探讨的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯及点间隔 为时，点的照度为最大. （0，）+-点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所探讨的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.【名师指引】多参数的数学应用题要留意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比拟便利.【新题导练】.1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，则，令，得，解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函数在时获得极大值，结合实际状况，这个极大值就是函数的最大值.，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他及速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，总费用，令得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，当时，获得最小值，此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小 抢 分 频 道 根底稳固训练1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段答: 据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高状况有一组统计数据年龄/岁0.511.522.533.54身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12思路分析: 要推断这一个问题.必需要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比拟即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快2.（2008·深圳6校）某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间间隔 对时间的变更率是_.解析:间隔 对时间的变更率即瞬时速度。即此时间隔 函数对时间变量的导数。将物理学概念及数学中的导数概念迁