电动力学复习提纲及复习习题参考答案.docx

2021级电动力学复习提纲数学打算理解散度、旋度、梯度的意义，熟识矢量的梯度、散度、旋度在直角、球、圆柱坐标系中的运算，以及散度定理高斯定理、旋度定理斯托克斯定理。章后练习1、2。第1章理解全章内容，会推导本章全部公式。重点推导麦克斯韦方程组，以及用积分形式的麦克斯韦方程组推出边值关系。章后练习1、2、5、9、10、12第2章能推导能量转化及守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。能相识电磁场动量及动量转化和守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。理解电磁场的角动量，理解电磁场有角动量且角动量转化和守恒的意义。P35例题，书后练习2、3第3章理解静电场和静磁场的势函数，为什么可以提出，在求解静电磁场时有什么意义。势的方程和边值关系及推导。深化理解唯一性定理，能应用其说明电磁现象，比方静电屏蔽现象。熟识电磁能量势函数表达式及意义。会独立完成P48例题1,，P55例1、例2，P57例5,。练习1、3、6、7第4章驾驭静像法、简洁情形下的别离变量法；理解多极矩法，驾驭电偶极矩的势、场，以及能量、受力等；知道电四极矩的表示，计算。理解磁偶极矩的表示、能量。熟识超导的根本电磁性质及经典电磁理论的说明。会独立娴熟计算P62例题1、P64例2及相关探讨；P69例1、P72例3；P74例1、例2。练习3、4、5、7、10、12第5章1、理解如何由麦克斯韦方程推导自由空间的波动方程，理解其意义。2、能推出电场和磁场的定态方程亥姆霍兹方程，娴熟驾驭自由空间平面电磁波表达式，并且能应用其证明平面电磁波性质；3、能推导反射、折射定律、费涅尔公式，并且能应用其探讨布儒斯特定律、半波损失等常见现象；4、理解全反射现象，知道什么情形下发生全反射，折射波表示，透射深度；5、熟识电磁波在导体空间表达式，理解其物理意义、理解良导体条件及物理意义；能推导导体中电荷密度；知道导体内电场和磁场的关系；理解趋肤效应，计算趋肤深度；志向导体的边值关系；6、理解波导管中电磁波的求解过程和结果，知道构造。能计算截止频率。理解谐振腔中的电磁场解，理解且求解共振频率。7、独立计算P103，P111，P120例1、P121的例2、例3。练习5、7、8、9，10第6章1、熟识并且理解时变电磁场的电磁势及及电磁场的关系；2、什么是标准变换和标准不变性，熟识库仑标准和洛仑兹标准；3、熟识达朗贝尔方程，理解什么是近区、感应区、辐射区及特点；理解多极绽开方法的应用；理解什么是推延势，物理意义和表达式；4、熟识电偶极辐射的电磁场及性质特点、偶极辐射的功率特点。5、独立完成练习2第7章1、理解狭义相对论的产生过程，对电磁学开展的意义；2、娴熟驾驭狭义相对论的原理；洛仑兹变换式、间隔的概念及表示；3、熟识物理量按变换性质分类；理解如何得到协变物理量、推断物理规律的协变性、熟识教材给出的四维物理量、洛伦兹变换矩阵；4、娴熟驾驭相对论的多普勒效应及特点；5、理解协变的电动力学规律；6、熟识如何求解以匀速运动的带电粒子的势函数、电磁场及特点；7、独立完成P159例4、P162例1、P164例2，P165例3、例4，练习2、8，9， 11,12第8章1、理解相对论的时空效应，能用洛仑兹变换式推出同时的相对性，长度收缩，动钟变慢，因果律及光速极限，并且可以应用计算；2、理解相对论的时空构造；熟识速度变换式并且能应用计算；3、熟识质能关系式并且理解怎么提出的，深化理解静能、动能的概念。4、独立完成P171例1，P173例2，P177例3，P180例1，P181例2，P182例3. 练习1、2、5、7、8、10、11第9章理解运动带电粒子的电磁场，什么时候能产生辐射；理解经典电动力学的适用范围。注：1、课堂上的补充例题及课堂练习要求驾驭；2、考题形式有填空22分，选择填空18分，证明10分，计算50分；3、总成果100分，平常作业20包括作业和课堂练习，考勤10，期末70。部分习题答案习题一1、2、12自己证明1用静电场的高斯定理说明电力线总是从正电荷发出，止于负电荷，且静电场线不行能是闭合的。2用磁场的高斯定理说明磁力线总是闭合的。5试证明：在匀整介质内部，极化电荷密度及自由电荷密度的关系为，其中是介质的电容率 证明：因为，电容率及坐标无关，由，和，得一般介质，因此及符号相反。9平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和今在两极板间接上电动势为的电池，求电容器两板上的自由电荷面密度；介质分界面上的自由电荷面密度假设分界面是漏电的，电导率分别为和，当电流到达恒定时，上述两问题的结果如何？解 1求两板上自由电荷面密度和，在介质绝缘状况下，电容器内不出现电流. (1)边值关系为 , (2)在两种绝缘介质的分界面上，没有自由电荷分布， (3)因为两极板中导体中电场为0，;在导体和介质的分界面2处有得 在另一导体及介质的分界面1处有 4 联立解得 可见，整个电容器保持电中性2当介质略为漏电，并到达稳恒时，要保持电流连续性条件成立 即 在两介质界面上有自由电荷积累，此时，应有 极板的电导率远大于和，故极板中电场近似为0 依据边值关系最终得出,各交界面上自由电荷面密度为 , ,10试用边值关系证明：在绝缘介质及导体的分界面上，在静电状况下，导体外的电场线总是垂直于导体外表；在恒定电流状况下，导体内电场线总是平行于导体外表证明：因为 ，导体内1电场为0，所以导体外2电场的切向重量为0，电场线总是垂直于导体外表。在恒定电流状况下，那么有，又由欧姆定律 故导体中，所以电场仅有切向重量，电场线平行于导体外表。12.用静电场的环路定理说明，电力线不行能是闭合曲线。习题二内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非铁磁物质证明在介质中任何一点传导电流及位移电流严格抵消因此内部无磁场求随时间的衰减规律求及轴相距为的地方的能量耗散功率密度求长度为的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能削减率解：由高斯定理可得，那么 由欧姆定律微分形式 而位移电流密度，对其两边求散度 又由 ，得 ，所以 。因为介质是非铁磁性的，即，故随意一点，随意时刻有由，解这个微分方程得功率密度长度为的一段介质耗散的功率为 能量密度长度为的一段介质内能量削减率为 一很长的直圆筒，半径为，外表上带有一层匀整电荷，电荷量的面密度为在外力矩的作用下，从时刻开始，以匀角加速度绕它的几何轴转动，如下图z试求筒内的磁感应强度；试求筒内接近内外表处的电场强度和玻印廷矢量；试证明：进入这圆筒长为一段的的通量为 解：单位面电流 在圆筒的横截面内，以轴线为心，为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为 由法拉第定律，得 因为 所以 考虑到方向，那么有 在筒内接近外表处， 该处的能流密度为 负号说明，S垂直于筒外表指向筒内。进入这圆筒长为一段的S的通量为 而 所以 探讨：此结果说明，筒内磁场增加的能量等于S流入的能量。由于筒未转动时，筒内磁场为零，磁场能量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由外表输入的。习题三 试证明，在两种导电介质的分界面上，证明：因为 所以，又， 即 3. 试论证：在没有电荷的地方，电势既不能到达极大值，也不能到达微小值提示：分真空和匀整介质空间，用泊松方程证明证明：由 1没有电荷的地方 2假设为极大，那么，这不满意2式，可见没有电荷处，不能为极大。同理可以证明不能为微小。在匀整介质中，有，假设没有自由电荷，也就没有极化电荷。方程2照旧成立，证明和前面一样。 6三个同心薄金属球壳形成一个静电系统，内球半径为，中间球半径为,外球半径为 ，球壳之间为真空，内外球壳接地，电荷Q置于中间球壳上，试求：1内球壳上的感应电荷值;(2) 外球面上的感应电荷的值. 解 在所探讨场域内无电荷分布，故场域满意 .因为电场具有球对称的特点，应选用球坐标，且，于是 或在球坐标系中 (1)积分得 (2)同理得 (3)依据边界条件确定常数A 、B.由 , 得 (4)由 得5联立4、5式，得 ; 因此，球壳之间电场分布为;内球壳上感应电荷分布总电荷外球壳内外表感应电荷分布为 总电荷 .7.1依据电荷守恒定律证明稳恒电流状况下的边界条件：电流密度的法向重量连续.2证明导体外表电位移的法向重量(为面电流密度，但 D不在导体外表的法线方向. 解1在两种导电媒质的分界面上，作一扁圆柱体高，把连续性方程 用于这个圆柱面上，那么或，法向单位基矢n 由媒质1指向媒质2，因此电流密度在界面法线n上的重量连续.2由于介质中各点 ，故导电媒质及非导电媒质交界面上边界条件为 t ,因为电场有切向重量，所以D不在导体外表法线方向。分析 1在稳流场中，两种导电媒质界面上 连续，而界面上积累电荷密度激发的电场将影响整个空间的电场分布.2两种导电媒质的交界面不是等势面，当交界面上各点切向重量 ，界面才是等势面.3对志向导体 ，其内部电流密度有限，故 ，整个志向导体为等势体.在稳流场中，一般把供电电极作为志向导体运用，而不管其电导率的值为多大.习题四接地的空心导体球内外半径为和，在球内离球心为处置一点电荷，求空间的电势分布导体球上的感应电荷有多少？分布在内外表还是外外表？答案：，分布在内外表感应电荷不等于像电荷提示：该题的解法及例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。上题的导体球壳不接地，而是带电荷，或使其有确定的电势，试求这两种状况的电势又问和是何种关系时，两状况的解相等？解：由叠加原理，此题可以看作3题再叠加一个半径为的匀整带电球面，球面带电为。假设题给条件是导体球壳电势为，那么在3题根底上叠加一电势为球面。所以或者，当时，两种状况的结果相等在处和处有两个相互垂直的无限大导风光，设有一点电荷从无限远处准静态地移至，z=0处，试求电荷在这位置上所受的电场力及挪动中外力所做的功解：用电像法求点电荷所受电场力，即像电荷给点电荷的力，再求力的功。qq1q2q3abxy设点电荷电量为q，有三个像点电荷，如图示，q受到的力为3个像电荷的力外力的功为 为q所在点感应电荷电势，也即3个像电荷的电势叠加所以在接地的导体平面上有一半径为的半球凸起，半球的球心在导体平面上，点电荷位于系统的对称轴上，并及平面相距为，如题图求空间的电势题图解：有三个像电荷，如图示位置分别为空间的电势是及三个像电荷电势的叠加10匀整外电场中置入半径为的导体球。试用别离变量法求以下两种状况下空间的电势分布： 导体球上接有电池，使球及地保持电势; 导体球上带电荷解: 以球心为坐标原点，设原点处原来电势为，问题具有轴对称性.所以满意拉普拉斯方程 满意的边界条件有 由轴对称情形拉普拉斯方程通解 再由边界条件 那么有 再由得即，所以有 解拉普拉斯方程 边界条件：1、 2、 3、， 12. 在匀整外电场中置入一带匀整自由电荷的绝缘介质球介电常数，求空间各点的电势。解：设球外电势为，球内电势为，那么有由迭加原理，是拉普拉斯方程解，是匀整带电球解，故，由边界条件得R0，有限所以习题五5试用菲涅尔公式说明，当时，反射波电矢量及入射波电矢量反相，即半波损失现象。提示：干脆用菲涅尔公式即可得到。7有一个可见平面光波由水入射到空气，入射角为证明这时将会发生全反射，并求折射波的透入深度设该波在空气中的波长为，水的折射率为解：全反射临界角为，故会发生全反射透入深度为cm，试计算频率为的三种电磁波在海水中的透入深度解：那么透入深度分别为9频率为的电磁波，在的矩形波导中可能传播哪些波型？ 解：对一组 截止频率为 只有当截止频率小于，相应的波模才能在波导管内传播，计算得 因为TM波的最低波型波模为TM11，而如今，所以TM波都不行能传播。所以可以传播TE01和TE10波型。10试证明矩形波导中不存在波或波但可以有波和波。证：因为电场解为磁场解为有所以可以有波和波。而TM波有所以不存在波或波因为这样会仅有或，线为直线，从波导管的一个侧面到另一侧面，这及冲突习题六2. 1两圆形极板构成的平板电容器板间距为d。其中的介质是有损耗的，电导率为，介电常数为。假设平板间电场匀整并不计边缘效应，板间加电压U=Umsint，求电容器中任一点的磁场。（2） 试求及空间磁场H=A1相应的位移电流。解 1平板间电场匀整，且为E=因此，传导电流密度为位移电流密度依据电流分布可知距圆形极板的中心轴等远处磁场H数值相等，磁力线分布是一系列圆心在中心轴上的同心圆，设某点离轴r远，由安培环路定律H·dl= H=, B=（1） 依据 因为此空间没有传导电流 相应的位移电流为jD=A2习题七2用洛仑兹变换式和四维坐标矢量，导出洛仑兹变换矩阵。 解：洛仑兹变换式为 1令，按矢量的变换性质，那么 2为洛仑兹变换矩阵，设为 3由2式矩阵计算为 44式计算结果为 (5)将5式和1式比较，不难得出 其中 ，L中其余各量为0. 所以 .8某星球发出的Ha线在其静止参考系中波长为.假设地球上的视察者测得该星球的运动速度为,试计算以下状况下地球上的视察者看到从该星球发出的Ha.解 由多普勒效应 设波源对系静止，故多普勒效应的波长表示为 其中 c=3.0×108 v=3.0×105 表示星球逆着视察者视方向，迎视察者而来，此时故 紫移 表示星球顺着视察者的视方向，离视察者而去 红移表示星球的运动方向及视察者的视方向垂直；由(1)式 横向红移9设有一发光原子，当其静止时，辐射的光波波长为，现此原子以速度v相对于惯性系S运动，试求在该惯性系中顺v的方向和垂直v的方向传播的光波频率 。解 按Lorentz变换关系，设v沿S系中x轴正方向，那么S中视察光的频率及原子静止坐标系中光频率有如下关系设光波传播方向在S系中及x轴夹角为，那么 其中 沿着v方向光频率为 垂直v方向光频率为 。111计算，其中为四维速度矢量。2证明为四维矢量.解1 =是不变量。2，故是四维协变矢量算符。12证明：假设在一个惯性系中，那么在其他惯性系中必定有。解 依据电磁场变换关系，假设系中有E、B, 相对以v沿x轴运动中有、，那么有变换关系如是所以 明显，假设在中,在中亦有。习题八1设两根相互平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以一样的速率相对于某一参考系运动，但是运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。解：设1尺系沿系轴正向以速度运动，那么2尺系相对于系的速度为，因此在1尺上测得2尺的速度及其长度分别为 两尺看对方长度一样。 5火箭A和B分别以和的速度相对于地球向右和向左飞行。由火箭B的视察者测得火箭A的速度是多少？解 方法一：取如下对应关系：地球; 火箭B ; 火箭A运动物体P。这样一来问题变得十清晰确和简洁如下图：求 方法二：取火箭A；火箭B ；地球运动物体P，地球有两个速度，事实上是求相对于的运动速度。即 解得 这里的结果及方法一差一个符号，这只能说明速度的相对意义，因为只讲“一个物体的速度，而不讲“谁相对于谁的速度是毫无意义的。7写出能量动量矢量在Lorentz变换下的变换式。写出各个重量的变换显示式解: 能量及动量构成四维矢量由此得9两个相等质量m的物体由一个压缩弹簧连在一起，该组合体静止时，质量为M(见图)。突然弹簧断开，每一部分都以速度u相反的方向飞去，问如何用两个物体的质量m表示复合质量M。解: 在这种状况下，动量是守恒的。弹簧断开前后的总动量为零。而能量,能量守恒要求 从上式可知，复合质量不恰好等于总质量，因为这不是经典的情形。在这过程中质量不守恒。原来的静能的一部分转变成为动能。小于及之相对应的静能。另外，还可以这样理解：开始能量部分地存在于两个质量m的静能中，还有一部分能量存在于压缩弹簧的势能中，但留意到全部这些能量都在质量M 中反映出来。即。其中为弹簧的势能。明显弹簧的势能使复合质量增加。有了这样形象的例子，普遍地某一A粒子裂变为B粒子的情形就不难理解了。10静质量为的相对论的粒子的动能为碰撞并粘在静止的质量为的静止粒子上，求：a两粒子结合物的静止质量b结合物的速度。解: 碰撞前体系的总能量为 (1) 且 (2)从2解得 设碰撞后结合物的静止质量为M0，速度为,那么依据能量守恒 (3)依据动量守恒 (4)由(4)可得 即 (5)(3)式代入(5)式得将代入(3)。